Formulaire trigonométrie

Licence de Mathématiques. Université d’Artois.

P. Lefèvre.

Formulaire trigonométrie

ll

O O

M M J

J

H H

K K

II 1

Cercle Trigonométrique

On remarque que

tanpθq “IH et cotanpθq “J K

Fonctions sinus et cosinus

θ cospθq

0 1

π

2 0

3π

2 0

π ´1

π 6

?3 2 π

4

?2 2 π

3

1 2

θ sinpθq

0 0

π

2 1

3π

2 ´1

π 0

π 6

1 2 π

4

?2 2 π

3

?3 2

Fonction tangente

La fonction tanest définie pourxPRavecx‰ π

2 `kπ(oùkPZ) par tanpxq “ sinpxq cospxq

θ 0 π π

6 π 4

π 3 ˘π

2

tanpθq 0 0 1

?3 1 ?

3 _B

Premières formules

Pour xPR, on a

. cos²pxq `sin²pxq “1

. cospx`2πq “cospxq

. sinpx`2πq “sinpxq

. cosp´xq “cospxq

. sinp´xq “ ´sinpxq

. cospx`πq “ ´cospxq

. sinpx`πq “ ´sinpxq . cospπ´xq “ ´cospxq . sinpπ´xq “sinpxq . cospx`π{2q “ ´sinpxq . sinpx`π{2q “cospxq . cospπ{2´xq “sinpxq . sinpπ{2´xq “cospxq

Ecrire les formules correspondantes pourtan.

Forme polaire

‚ e^iθ“cospθq `isinpθq ‚ cospθq “ e<sup>iθ</sup>`e^´iθ

2 ‚ sinpθq “ e^iθ´e^´iθ

2i

Formules de duplication

. cosp2xq “2 cos²pxq ´1“1´2 sin²pxq “cos²pxq ´sin²pxq

. sinp2xq “2 sinpxqcospxq . tanp2xq “ 2 tanpxq

1´tan²pxq

Formules d’addition

. cospa`bq “cospaqcospbq ´sinpaqsinpbq . sinpa`bq “sinpaqcospbq `cospaqsinpbq

. tanpa`bq “ tanpaq `tanpbq 1´tanpaqtanpbq

. cospa´bq “cospaqcospbq `sinpaqsinpbq . sinpa´bq “sinpaqcospbq ´cospaqsinpbq

. tanpa´bq “ tanpaq ´tanpbq 1`tanpaqtanpbq

Formules angle moitié

(très utiles en intégration)

Pour x‰ p2k`1qπ(oùkPZ) et t“tan^x₂

. cospxq “ 1´t² 1`t²

. sinpxq “ 2t 1`t²

. tanpxq “ 2t 1´t²

2

Compléments

Savoir les déduire directement (et rapidement) des formules précédentes...

Formules de linéarisation

‚ cospaqcospbq “1 2

´

cospa´bq `cospa`bq

¯

‚ sinpaqsinpbq “1 2

´

cospa´bq´cospa`bq

¯

‚ sinpaqcospbq “ 1 2

´

sinpa`bq`sinpa´bq

¯

Formules de factorisation

• cosppq `cospqq “2 cos´p`q 2

¯

cos´p´q 2

¯

• cosppq ´cospqq “ ´2 sin

´p`q 2

¯ sin

´p´q 2

¯

• sinppq `sinpqq “2 sin´p`q 2

¯

cos´p´q 2

¯

• sinppq ´sinpqq “2 sin

´p´q 2

¯ cos

´p`q 2

¯

Autres Formules

• cosp3xq “4 cos³pxq ´3 cospxq

• sinp3xq “3 sinpxq ´4 sin³pxq

• 1`cospxq “2 cos²px{2q

• 1´cospxq “2 sin²px{2q

• Pour xR π

2 `πZ, on a 1`tan²pxq “ 1 cos²pxq

3