Formulaire 1 Trigonométrie circulaire

Lycée Pierre de Fermat Formulaire MPSI 1

Formulaire 1 Trigonométrie circulaire

Les fonctions

R −→ [−1,1]

x 7−→ cos(x) et

R −→ [−1,1]

x 7−→ sin(x) sont définies surRet 2π-périodiques.

y= 1

y=−1 y= cosx

y= sinx

π

−π 2 2

3π

−3π 2

2 −π π

2π

−2π

Deux inégalités intéressantes :

• Majoration « brutale » du sinus

∀x∈R,|sin(x)|6min(|x|,1)

y= 1 y=|sinx|

y=|x|

π

−π 2 2

3π

−3π 2 2

−π π

• Inégalités de convexité de la fonction sinus, en restriction à h 0,π

2

i, est minorée par sa corde et majorée par satangente à l’origine:

∀x∈h 0,π

2 i

, 2x

π 6sin(x)6x

y= 1 1

0

y= sinx y=x

y= 2x π

π 2

La fonction





 R\n

x∈R|x≡π 2[π]o

−→ R

x 7−→ tan(x) = sinx

cosx

est définie surR\n

x∈R|x≡ π 2[π]o

et est π-périodique.

x=π x=−π 2

2 x=3π

x=−3π 2 2

−π π 2π

−2π 0

y= tanx

La fonction

( R\ {x∈R|x≡0[π]} −→ R

x 7−→ cotan(x) = cosx

sinx

est définie sur R\ {x∈R| x≡0[π]} et est π-périodique.

π

−π 2 2

3π

−3π 2 2

x=π

x=−π x= 2π

x=−2π

0

y= cotanx

O 1

1 A^′ A

A^′′

A^′′′

B

b

cosθ sinθ

tanθ

cotanθ

θ Axe de lecture du sinus

Axe de lecture du cosinus

Axe de lecture de la cotangente

A^′′′′ C

Cercle unité

cosθ=OA^′′, sinθ=OA^′, tanθ=BA^′′′, cotanθ=CA^′′′′ . Sur le graphique ci-dessus,

• on attachera une importance toute particulière à l’orientation et l’origine des axes sur lesquels on lit les valeurs des fonctions trigonométriques.

• on visualisera l’inégalités de convexité sinθ6θ pourθ∈h 0,π

2

ide la fonction sinus,

• on interprétera lesformules d’Euler: pour touta∈R, sina= e^ia−e^−ia

2i , cosa= e^ia+e^−ia

2 , tana=−ie^ia−e^−ia e^ia+e^−ia ,

• on interprétera laformule de Moivre: pour touta∈R, pour toutn∈Z, (e^ia)ⁿ= (cosa+isina)ⁿ=e^ina= cos(na) +isin(na).

θ 0 π

6 π 4

π 3

π 2

sinθ 0 1

2

√2 2

√3

2 1

cosθ 1

√3 2

√2 2

1

2 0

tanθ 0

√3

3 1 √

3 indét.

cotanθ indét. √

3 1

√3

3 0

∀x∈h 0,π

2

h, tan(x)>x

∀x∈R\ {x∈R| x≡0[π]}, cotan(x) = cos(x)

sin(x), 1 + cotan²(x) = 1 sin²(x),

∀x∈i 0,π

2 i

, cotan(x)6 1 x

∀x∈R\n

x∈R|x≡0[π] oux≡π 2[π]o

, cotan(x) = 1 tan(x).

Sous réserve de l’existence des quantités apparaissant de part et d’autre d’une égalité, on a :

• parparité de la fonction cosinus etimparité de la fonction sinus,

cos(−x) = cos(x), sin(−x) =−sin(x), tan(−x) =−tan(x), cotan(−x) =−cotan(x), ce qui se visualise sur le cercle trigonométrique :

O 1

1

b

θ

C

• par propriétés des relations angulaires sur le cercle trigonométrique,

cosπ 2 −x

= sin(x), sinπ 2 −x

= cos(x), tanπ 2 −x

= cotan(x), cotanπ 2 −x

= tan(x).

cos x+π

2

=−sin(x), sin x+π

2

= cos(x), tan x+π

2

=−cotan(x), cotan x+π

2

=−tan(x).

cos π−x

=−cos(x), sin π−x

= sin(x), tan π−x

=−tan(x), cotan π−x

=−cotan(x).

2 Trigonométrie hyperbolique (inspirée des formules d’Euler)

Pour toutx∈R, ch(x) = e^x+e^−x

2 , sh(x) = e^x−e^−x

2 et th(x) = sh(x)

ch(x) = 1−e^−2x 1 +e^−2x.

3 Formules de trigonométrie circulaire et hyperbolique

Pour tout (a, b)∈R², (et sous réserve d’appartenance des arguments au domaine de définition des fonctions, surtout dans les formules avec la fonction tangente)

sin²a+ cos²a= 1 , ch²a−sh²a= 1

sin(a+b) = sina.cosb+ cosa.sinb , sh(a+b) = sha.chb+ cha.shb sin(a−b) = sina.cosb−cosa.sinb , sh(a−b) = sha.chb−cha.shb cos(a+b) = cosa.cosb−sina.sinb , ch(a+b) = cha.chb+ sha.shb cos(a−b) = cosa.cosb+ sina.sinb , ch(a−b) = cha.chb−sha.shb

tan(a+b) = tana+ tanb

1−tana.tanb , th(a+b) = tha+ thb 1 + tha.thb tan(a−b) = tana−tanb

1 + tana.tanb , th(a−b) = tha−thb 1−tha.thb sin(a).cos(b) =1

2

sin(a+b) + sin(a−b)

, sh(a).ch(b) = 1 2

sh(a+b) + sh(a−b) cos(a).sin(b) =1

2

sin(a+b)−sin(a−b)

, ch(a).sh(b) = 1 2

sh(a+b)−sh(a−b) cos(a).cos(b) = 1

2

cos(a+b) + cos(a−b)

, ch(a).ch(b) =1 2

ch(a+b) + ch(a−b) sin(a).sin(b) =1

2

cos(a−b)−cos(a+b)

, sh(a).sh(b) =1 2

−ch(a−b) + ch(a+b)

sin(p) + sin(q) = 2.sinp+q 2

.cosp−q 2

, sh(p) + sh(q) = 2.shp+q 2

.chp−q 2

sin(p)−sin(q) = 2.sinp−q 2

.cosp+q 2

, sh(p)−sh(q) = 2.shp−q 2

.chp+q 2

cos(p) + cos(q) = 2.cosp+q 2

.cosp−q 2

, ch(p) + ch(q) = 2.chp+q 2

.chp−q 2

cos(p)−cos(q) =−2.sinp+q 2

.sinp−q 2

, ch(p)−ch(q) = 2.shp+q 2

.shp−q 2

cos(2a) = 2 cos²a−1 = 1−2 sin²a= cos²(a)−sin²(a) , ch(2a) = 2ch²a−1 = 1 + 2sh²a= ch²(a) + sh²(a) sin(2a) = 2 sina.cosa , sh(2a) = 2sha.cha

tan(2a) = 2 tana

1−tan²a , th(2a) = 2tha 1 + th²a cos(3a) = 4 cos³a−3 cosa= cos³a−3 cosa.sin²a

sin(3a) = 3 sina−4 sin³a= 3 cos²a.sina−sin³a tan(3a) = 3 tana−tan³a

1−3 tan²a

Formules de passage par la tangente de l’angle moitié :en posant, u= tana 2, tana= 2u

1−u² , cosa= 1−u²

1 +u² , sina= 2u 1 +u² . De même, en posantu= tha

2, tha= 2u

1 +u² , cha= 1 +u²

1−u² , sha= 2u 1−u² .

4 Tables de dérivées

Pour toutx∈R,

sin^′x= cosx , sh^′x= chx cos^′x=−sinx , ch^′x= shx tan^′x= 1

cos²x = 1 + tan²x , th^′x= 1

ch²x = 1−th²x cotan^′x=− 1

sin²x =−1−cotan²x , coth^′x=− 1

sh² = 1−coth²x Arccos^′x=− 1

√1−x² x∈]−1, 1[ , Argch^′x= 1

√x²−1 x∈]1, +∞[ Arcsin^′x= 1

√1−x² x∈]−1, 1[ , Argsh^′x= 1

√x²+ 1 x∈R Arctan^′x= 1

1 +x² x∈R , Argth^′x= 1

1−x² x∈]−1, 1[

Arccotan^′x=− 1

1 +x² x∈R , Argcoth^′x= 1

1−x² x∈]− ∞, −1[∪]1, +∞[

5 Expression explicite des fonctions hyperboliques réciproques

∀x∈R, Argsh(x) = ln x+p

x²+ 1

∀x∈[1,+∞[, Argch(x) = ln x+p

x²−1

∀x∈]−1, 1[, Argth(x) = 1

2ln1 +x 1−x

∀x∈]− ∞, −1[∪]1, +∞[, Argcoth(x) =1 2ln

−1 +x 1−x

6 Suites

Soit (uk)k∈N unesuite géométriquecomplexe de premier terme u0∈Cet de raisonq∈C,

n

X

k=0

uk =

n

X

k=0

u0q^k =







u0×1−qⁿ⁺¹

1−q =u0−un+1

1−q si q6= 1 (n+ 1)u0 si q= 1 et

∀(m, p)∈N²,sim6palors

p

X

k=m

uk=







um×1−q^p−m+1

1−q =um−up+1

1−q siq6= 1 (p−m+ 1)u0 siq= 1.

Soit (uk)k∈N unesuite arithmétiquecomplexe de premier termeu0∈Cet de raisonr∈C,

n

X

k=0

uk=

n

X

k=0

(u0+kr) = (n+ 1)u0+n(n+ 1)

2 r= (n+ 1)u0+un

2

7 Formules sommatoires

Pour toutn∈N^∗,

n

X

k=1

k= n(n+ 1) 2

n

X

k=1

k²= n(n+ 1)(2n+ 1) 6

n

X

k=1

k³=n²(n+ 1)²

4 =

n

X

k=1

k

!² .

n

8 Identités algébriques dans un anneau (A, +, × )

• Soitxun élément d’un anneau (A,+, .)non nécessairement commutatif, de neutre multiplicatif 1A, alors, pour toutn∈N^∗,

(x−1A)

1A+x+x²+· · ·+xⁿ⁻¹+xⁿ

= (x−1A) 1A+

n

X

k=1

x^k

= xⁿ⁺¹−1A.

• Soientxety deux éléments d’un anneau (A,+, .)commutatif, de neutre multiplicatif 1A, alors¹, pour toutn∈N^∗, laformule du binôme de Newtondonne :

(x+y)ⁿ =

n

X

k=0

n k

x^ky^n−k

= xⁿ+nxⁿ⁻¹y+n(n−1)

2 xⁿ⁻²y²+· · ·+n(n−1)

2 x²yⁿ⁻²+nxyⁿ⁻¹+yⁿ. Par ailleurs,

(x−y)

xⁿ+xⁿ⁻¹y+xⁿ⁻²y²+· · ·+x²yⁿ⁻²+xyⁿ⁻¹+yⁿ

= (x−y)Xⁿ

k=0

x^ky^n−k

= xⁿ⁺¹−yⁿ⁺¹, d’où, sinest pair, en posantn= 2p,

(x+y)

x^2p−x^2p−1y+x^2p−2y²− · · ·+x²y^2p−2−xy^2p−1+y^2p

= x^2p+1+y^2p+1.

• Quels que soient les élémentsaetb d’un anneauAquelconque²,

1A−a−b+ab= (1A−a)(1A−b) et (a+b)²+ (a−b)²= 2(a²+b²).

• Identité de Gauss :si (a, b, c) sont trois éléments d’un anneau quelconque quicommutent deux à deux, alors

a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)

a²+b²+c²−ab−bc−ac

2

a³+b³+c³−3abc

= (a+b+c)

(a−b)²+ (b−c)²+ (c−a)²

• Identité de Legendre : si (a, b, c, d) sont quatre éléments d’un anneau quelconque qui commutent deux à deux, alors

(a²+b²)(c²+d²) = (ac−bd)²+ (ad+bc)².

(Dans l’anneau commutatifC, sia,b,c etdsont des réels, cette identité exprime que le carré du module du nombre (a+ib)(c+id) est égal au carré du module de (ad+bc) +i(ac−bd) ce qui est une conséquence de la propriété de morphisme multiplicatif du module)

9 Identités classiques dans R ou C

• Multiplication par l’expression conjuguée(afin de supprimer les racines carrées au dénominateur) :

∀(a, b)∈R^∗₊²tels que a6=b , 1

√a+√ b =

√a−√ b

a−b et 1

√a−√ b =

√a+√ b a−b

• Factorisation par l’angle moitié:

∀θ∈R, 1−e^2iθ=e^iθ

e^−iθ−e^iθ

=−2isin(θ)e^iθ , 1 +e^2iθ=e^iθ

e^−iθ+e^iθ

= 2 cos(θ)e^iθ.

•

∀(θ, z)∈R×C, (z−e^iθ)(z−e^−iθ) =z²−2 cos(θ)z+ 1.

1. En posantx⁰= 1_Aety⁰= 1_A

2. Cette identité ne nécessite pas l’hypothèse de commutation entreaetb.

• Pour tous (a, b)∈C², la formule du binôme de Newton donne (a+b)² = a²+ 2ab+b²

(a−b)² = a²−2ab+b² (a+b)³ = a³+ 3a²b+ 3ab²+b³ (a−b)³ = a³−3a²b+ 3ab²−b³

(a+b)⁴ = a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴ (a−b)⁴ = a⁴−4a³b+ 6a²b² −4ab³+b⁴

(a+b)⁵ = a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵ (a+b)ⁿ = aⁿ+naⁿ⁻¹b+n(n−1)

2 aⁿ⁻²b²+n(n−1)(n−2)

6 aⁿ⁻³b³+. . . +. . .+n(n−1)(n−2)

6 a³bⁿ⁻³+n(n−1)

2 a²bⁿ⁻²+nabⁿ⁻¹+bⁿ (a−b)ⁿ = aⁿ −naⁿ⁻¹b+n(n−1)

2 aⁿ⁻²b² − n(n−1)(n−2)

6 aⁿ⁻³b³+. . . +. . .+(−1)ⁿ⁻³n(n−1)(n−2)

6 a³bⁿ⁻³+(−1)ⁿ⁻²n(n−1)

2 a²bⁿ⁻²+(−1)ⁿ⁻¹nabⁿ⁻¹+(−1)ⁿbⁿ

• Pour tous (a, b)∈C²,

a²−b² = (a−b)(a+b) a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) a⁴−b⁴ = (a−b)(a³+a²b+ab²+b³)

aⁿ−bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+. . .+a²bⁿ⁻³+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹) a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

a⁵+b⁵ = (a+b)(a⁴−a³b+a²b²−ab³+b⁴)

a^2p+1+b^2p+1 = (a+b)(a^2p−a^2p−1b+a^2p−2b²+. . .+a²b^2p−2−ab^2p−1+b^2p)

• Pour tous (a1, a2, a3)∈C³, pour tous (ak)16k6n (n∈N^∗),

(a1+a2+a3)² = a²1+a²2+a²3+ 2a1a2+ 2a1a3+ 2a2a3 n

X

k=1

ak

!²

=

n

X

k=1

a²_k+ 2 X

16k<l6n

akal

10 Inégalités classiques dans R

• Inégalité arithmético-géométrique :

∀n∈N^∗, ∀(x1, x2, . . . , xn)∈Rⁿ

+,

n

Y

i=1

xi

!n¹

6 1 n

n

X

i=1

xi

avec égalité si et seulement six1=x2=. . .=xn.

• Inégalité de Cauchy-Schwarz :

∀n∈N^∗, ∀(a1, a2, . . . , an)∈Rⁿ, ∀(b1, b2, . . . , bn)∈Rⁿ,

n

X

i=1

aibi

6 v u u t

n

X

i=1

a²_i v u u t

n

X

i=1

b²_i

avec égalité si et seulement si les vecteurs (a1, a2, . . . , an) et (b1, b2, . . . , bn) sont colinéaires.