1 Chaˆıne de Markov

UPS TOULOUSE III MODELISATION

IMAT 1, TD 2015

Examen du 8 avril 2015 de 8h ` a 10h

Notes de cours et calculatrices autoris´ ees

1 Chaˆıne de Markov

Pour d un entier naturel strictement sup´ erieur ` a 1, on consid` ere la chaˆıne de Markov sur E = {1, 2, 3, · · · , d} de loi initiale P (X ₀ = j) = q _j , (j ∈ E) et de matrice de transition Π = (π _ij ) i,j∈E

sym´ etrique. On suppose que, pour tout i 6= 2 π 1i > 0 et π 12 ≥ 0.

1. Discuter suivant la valeur de π _1,2 ≥ 0 de la nature des ´ etats et de la chaˆıne.

2. On suppose que la chaˆıne est r´ ecurrente. Montrer que Π poss` ede une unique probabilit´ e invariante µ. Que vaut, pour i ∈ E, µ _i ? Montrer que la limite presque sˆ ure de n ⁻¹ P n

j=1 X _j vaut ^l+1 ₂ ?

3. On suppose que π 1,2 = 0 et que la chaˆıne n’est pas r´ ecurrente. Montrer que Π poss` ede deux probabilit´ es invariantes. On suppose q 2 = 0, que vaut la limite presque sˆ ure de n ⁻¹ P n

j=1 X _j ? On suppose q ₂ = 1, que vaut la limite presque sˆ ure de n ⁻¹ P n j=1 X _j ?

2 Vecteur gaussien

Soit X un vecteur gaussien de R ³ de moyenne m := (m ₁ , m ₂ , m ₃ ) ^T et de matrice de variance covariance

Γ :=





σ ₁ ² c ₂ c ₃ c 2 σ ₂ ² ρσ 2 σ 3

c ₃ ρσ ₂ σ ₃ σ ² ₃



 . On suppose det Γ 6= 0.

1. Montrer que la matrice ˜ Γ :=

σ ² ₂ ρσ ₂ σ ₃ ρσ ₂ σ ₃ σ ² ₃

est de rang plein.

2. Calculer ˜ Γ ⁻¹ .

3. Donner le pr´ edicteur optimal de X ₁ lorsque l’on observe seulement (X ₂ , X ₃ ) ^T .

4. Un agriculteur argentin a mod´ elis´ e les temp´ eratures (T ₁ , T ₂ , T ₃ ) ^T , moyenn´ ees sur un journ´ ee mesur´ ees en trois points de son hacienda comme un vecteur gaussien d’esp´ erance (25, 25, 25) ^T et de matrice de variance covariance

4





1 −ρ ρ ²

−ρ 1 −ρ ρ ² −ρ 1



 .

Un jour T 1 ne peut pas ˆ etre mesur´ ee mais T 2 vaut 26 et T 3 vaut 25. On suppose que ρ = 0.5 donner une pr´ ediction pour T ₁ .

1

3 Approximations de la loi binomiale

Soit X n une variable al´ eatoire de loi binomiale B(n, θ _n ), (n ∈ N ^∗ , 0 < θ n < 1).

1. On suppose que la suite θ n est constante. Soit θ cette constante. Montrer que, pour t ∈ R,

n→∞ lim P

X n − nθ

√ n < t

= Z t

−∞

exp

− _2θ(1−θ) ^x

p 2πθ(1 − θ) dx. (1)

2. On ne suppose plus que la suite θ _n est constante. Mais on suppose que

n→∞ lim nθ n = λ > 0.

Montrer que, pour k ∈ N,

n→∞ lim P(X n = k) = e ^−λ λ ^k

k! . (2)

3. La mutation d’un certain g` ene a une probabilit´ e p d’ˆ etre pr´ esente chez un individu donn´ e.

On observe un ´ echantillon de n = 10000 individus. En expliquant soigneusement la mod´ elisation utilis´ ee, donner une approximation num´ erique des probabilit´ es suivantes :

(a) P (Observer au moins un mutant), si l’on suppose que la mutation du g` ene est tr` es rare, p = 10 ⁻⁴ ,

(b) P (Observer plus de 3021 mutants), si l’on suppose que la mutation du g` ene est fr´ equente, p = 0.3.

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