1 Chaˆıne de Markov Soient

Magist` ere d’´ economiste statisticien 2006–2007-Seconde ann´ ee

Examen du 25 janvier 2007

Dur´ ee 3h-Document autoris´ es :cours manuscrits-Calculatrices autoris´ ees.

1 Chaˆıne de Markov

Soient x ₀ , . . . , x k−1 les racines k-` eme de l’unit´ e (x _j = exp ^2ijπ _k , j = 0 . . . k − 1) et 0 < p < 1.

Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires dont la loi est d´ efinie par : X ₀ = x ₀

P (X _n+1 = x _j+1 |X _n = x _j ) = 1 − P (X _n+1 = x j−1 |X _n = x _j ) = p, (n > 0 et 0 < j < k − 1) P (X _n+1 = x ₀ |X _n = x k−1 ) = 1 − P (X _n+1 = x k−2 |X _n = x k−1 ) = p, (n > 0)

P (X _n+1 = x ₁ |X _n = x ₀ ) = 1 − P (X _n+1 = x _k−1 |X _n = x ₀ ) = p, (n > 0).

1) Montrer que (X _n ) est une chaˆıne de Markov irr´ eductible.

2) Etudier la p´ eriodicit´ e de la chaˆıne en fonction de la parit´ e de k.

3) Ecrire la matrice de transition P de la chaˆıne.

4) Quels sont les vecteurs v de R ^k satisfaisant v ^T P = v ^T ?

5) A partir de maintenant on se place dans le cas o` u la chaˆıne est ap´ eriodique. Que vaut lim n→∞ P ⁿ ?

6) Montrer que ¹ _n P n

i=1 1 {X

=x

} , j = 0 . . . k − 1 converge en probabilit´ e quand n tend vers l’infini vers une limite ind´ ependante de j .

2 Exponentielle double

Soit Z une variable al´ eatoire de densit´ e h(z) = ¹ ₂ exp(−|z|), (z ∈ R ). On appelle ϕ la fonction caract´ eristique de Z.

a) Calculer la fonction ϕ.

b) Soit l une fonction mesurable paire sur R on suppose que l est born´ ee, et qu’elle est nulle

`

a l’ext´ erieur de [−1, 1]. Montrer que Z 1

0

l(x)

1 + x ² = 1 4

Z Z

R

cos(tx)l(x) exp(−|t|)dxdt (1) (2) c) D´ eduire de (1) la valeur de l’int´ egrale

J ₁ = Z +∞

−∞

sin t

t exp(−|t|)dt

3 La ruine du joueur.

Les fluctuations d’un jeu peuvent ˆ etre mod´ elis´ ees par une suite (X n ) de variables al´ eatoires ind´ ependantes prenant la valeur +1 pour un succ` es et −1 pour un ´ echec. On suppose que, pour un r´ eel 0 < p < 1, P (X <sub>n</sub> = +1) = p et P (X <sub>n</sub> = −1) = q avec q = 1 − p. Le nombre de points gagn´ es apr` es n jeux est donc

S _n =

n

X

k=1

X _k . 1) Montrer que (S _n − n(2p − 1)) est une martingale.

2) Montrer que (q/p) ^S

est une martingale.

4 Poisson

Soit (N _t ) un processus de Poisson d’intensit´ e λ > 0.

1) Montrer que ^N _λt

converge en probabilit´ e vers 1 quand t tend vers l’infini.

2) Calculer la fonction caract´ √ eristique de N t (t > 0). Quelle est la loi asymptotique de

t( ^N _λt

− 1) ?