1 Chaˆıne de Markov

Magist` ere d’´ economiste statisticien 2007–2008-Seconde ann´ ee

Examen du 31 janvier 2008

Dur´ ee 3h-Document autoris´ es : cours manuscrits-Calculatrices autoris´ ees.

1 Chaˆıne de Markov

Pour 0 ≤ θ ≤ 1, on consid` ere la chaˆıne de Markov (X <sub>n</sub> ) ` a trois ´ etats {1, 2, 3} de matrice de transition





1 3

2θ 3

2(1−θ) 3

θ (1 − θ) ² θ(1 − θ)

1 3

1 3

1 3





a) Pour quelles valeurs de θ la chaˆıne est-elle irr´ eductible ? b) Discuter suivant les valeurs de θ de la nature des ´ etats.

c) On suppose que θ est tel que la chaˆıne est r´ ecurrente. D´ eterminer la probabilit´ e invariante.

En d´ eduire la limite presque sˆ ure de 1 n

n

X

j=1

log X _j .

e) On suppose que θ = 0.5 et l’on consid` ere l’espace ` a 9 ´ etats :

E := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.

On pose pour n ≥ 1, Y _n = (X _n , X n−1 ). Montrer que (Y _n ) est une chaˆıne de Markov ` a espace d’´ etats dans E. D´ eterminer sa matrice de transition.

2 Int´ egration

Montrer que pour t < 1

log(1 − t) ≤ t.

Pour n ≥ 1, on pose

I n :=

Z n 0

(1 − x/n) ⁿ dx.

Montrer que I _n converge vers une limite ` a d´ eterminer.

3 Branchement

Soit (X _ij ) un tableau infini de variables al´ eatoires enti` eres positives i.i.d de carr´ e int´ egrable et d’esp´ erance λ > 0. On pose N ₀ = 1 et pour n ≥ 0

N _n+1 :=

N

X

j=1

X _n+1,j .

Montrer que la suite (N n /λ ⁿ ) est une martingale. Que vaut son esp´ erance ?