1+ l’esp´erance def(n−r)

Enonc´e n^oG130 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soitf(n) l’esp´erance du nombre de pelotons lorsqu’il y an v´ehicules.

Supposons que le v´ehicule le plus lent ait le rang r (de 1 `a n) `a partir de la queue. Alors il y a r v´ehicules dans le peloton de queue, et en moyenne f(n−r) autres pelotons.

Doncf(n) = 1+ l’esp´erance def(n−r).

Sir=n, tous les v´ehicules sont dans le peloton de queue, et on est conduit

`

a prendref(0) = 0.

Puisque r peut prendre toutes les valeurs de 1 `a n de fa¸con ´equiprobable, on a

f(n) = 1 + 1 n

n

X

r=1

f(n−r)

ce qui s’´ecrit, en comparant avec la relation analogue pour f(n−1), f(n) = 1 + 1

n(f(n−1) + (n−1)(f(n−1)−1)) =f(n−1) + 1 n Il en r´esulte

f(n) =

n

X

k=1

1 k

C’est la somme partielle de la s´erie harmonique, qui peut ˆetre approch´ee par ln(n+ 1/2) +C, constante d’Euler, avec une erreur (∗) de partie principale 1/24n².

D’o`u, num´eriquement, f(2007) = 8,18186111. . . (∗) L’expression exacte du terme d’erreur est

n

X

k=1

1 k −ln

n+1

2

−C = Z ∞

0

1

te^t/2 − 1 e^t−1

e^−ntdt

1