Voici une liste d’affirmations, numérotées de 1 à 10, permettant de trouver un nombre naturel inconnu n.
Malheureusement, ces affirmations ne sont pas nécessairement vraies et, pour corser les choses, on ne dit pas lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses.
Au moins une des deux dernières affirmations de cette liste est vraie.
Ceci est soit la première affirmation vraie, soit la première affirmation fausse de cette liste.
Cette liste comprend au moins trois affirmations fausses consécutives.
La différence entre le numéro de la dernière affirmation vraie et le numéro de la première affirmation vraie est un diviseur de n.
La somme des numéros des affirmations vraies est égale à n.
Ceci n’est pas la dernière affirmation vraie.
Le numéro de chacune des affirmations vraies est un diviseur de n.
Cette liste contient n % d’affirmations vraies.
Le nombre de diviseurs de n (les diviseurs triviaux 1 et n étant exclus) est strictement supérieur à la somme des numéros des affirmations vraies.
Cette liste ne comprend pas trois affirmations vraies consécutives.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(10) Que vaut n ? Que vaut n ?
Si (2) est vraie, alors c’est la première vraie et (1) est fausse.
Si (2) est fausse, alors ce n’est pas la première fausse et (1) est fausse aussi.
(1) est fausse, ce qui implique que (9) et (10) sont fausses.
Si (6) est fausse alors (6) n’est pas la dernière vraie d’où une contradiction.
(6) est vraie, ce qui implique que (7) ou (8) est vraie.
Supposons (8) vraie:
alors (7) est fausse car (8) nous dit que n < 100 et que 10 | n
et (7) vraie nous dirait 7 | n et 8 | n
}
contradictionOn a donc
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F V F V F F
(3) ne peut pas être vraie car il est impossible d’avoir trois affirmations fausses consécutives.
(3) est fausse, ce qui implique que (2) est vraie.
Aussi, (10) fausse implique trois affirmations vraies consécutives (4) et (5) sont vraies.
Mais alors, d’après (5) : n = 2 + 4 + 5 + 6 + 8 = 25
et d’après (8) : n = 50
}
contradiction (8) vraie estimpossible
(8) est fausse et (7) est vraie.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F V V V F F F
Mais (6) vraie et (7) vraie impliquent que 42 | n (5) est fausse.
Or (10) est fausse trois affirmations vraies consécutives (2) et (4) sont vraies.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F V V V F V V F F F
5 | n 84 | n
n = 420*k (où k est un entier positif) Par (9) fausse, on sait que
le nombre de diviseurs de n (triviaux inclus) est inférieur ou égal à 24.
Or, 420 = 2².3.5.7 a 24 diviseurs
k = 1 et
