y=. ( vaut .…...........…….....….)3.

(1)

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)

Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a ¹ Calculer la dérivée de [u]^n

C4.b ¹ Savoir dériver une fonction composée de racine carrée

C4.c ¹ Savoir dériver une fonction composée

Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n

On définit une famille de fonctions gn par gn(x)=[u(x)]ⁿ, où

u

est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et

n

est un entier naturel positif.

1. Déterminer

g'

2 en fonction de

u et u'

. 2. Déterminer

g'

3 en fonction de

u et u'

. 3. Conjecturer

g'

n.

4. Démontrer la conjecture.

FIN de l’activité n°1

Cours n°1 : Dérivée de u puissance n

Rappel (Propriété n°0) :

1. Réviser les formules de dérivation ( Mathenpoche, livre...)→

2. Soit

f

une fonction dérivable, cf sa courbe représentative. Une équation de la tangente à cf au point d'abscisse

a

est donnée par :

y= ... ^{. (}  vaut .…...……...….)

3. Le taux d'accroissement est

... … ... … ...… .… .... …

...

et sa limite

quand

h

tend vers

0

est la ...…... de

f

en

a

.

I) Dérivée de ( ^u ⁽ ^x ⁾ )

ⁿ

Propriété n°1

Soit

n

un nombre entier relatif et

u(x)

une fonction dérivable sur un intervalle

I

. La fonction

u

ⁿ est dérivable sur

I

et sa dérivée vaut …...

Démonstration: cf activité 1.

Exemple n°1 :

Dériver la fonction

f

définie par

( ² ^x ^x−

²

⁻ ¹ ⁴ )

⁵

...

(2)

...

FIN du cours n°1 Se tester C4.1 (sur 3)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.a ¹ Calculer la dérivée de [u(x)]^n

(Se tester n°1) - Exercice n° 1

[d:1,f:1,r:1]

f

définie par

f(x) = ( ⁷ ^x ^{x –}

²

^– ⁴ ⁶ )

⁷^.

(3)

Résultats

1 ex

^er

: f ’(x) = 7 − 7 x

²

+ 12 x − 28

( x

²

− 4 ) ² ( ⁷ ^x ^{x –}

²

^– ⁴ ⁶ )

⁶^.

Se tester C4.1 (sur 3)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.a ¹ Calculer la dérivée de [u(x)]^n

(Se tester n°1) - Exercice n° 2

[d:1,f:1,r:1]

f

définie par

f(x) = ( ⁹ ^x ^{x –}

²

^– ⁴ ³ )

⁴^.

(4)

Résultats

1 ex

^er

: f ’(x) = 4 − 9 x

²

+ 6 x − 36

( x

²

−4 ) ² ( ⁹ ^x ^{x –}

²

^– ⁴ ³ )

³^.

Interrogation n°1 Interrogation n°1

Objectifs

C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n

(Cours n°1) - Exercice n° 3

Ex.5 p.84

Résultats :

Ex.5 p.84-

f ' (x)=2(x+1)

et

g' (x)=3(x+1)

²

(Cours n°1) - Exercice n° 4

Ex.7 p.84

Résultats :

Ex.7 p.84-

f ' (x)=6(2x+1)

²et

g' (x)=4(2x+1)(x

²

+x)

³

Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f

par

f(x)= √ ^u ⁽ ^x ⁾

^.

1. Exprimer le taux d'accroissement 

(h)

de

f

en

a

.

2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :



(h) = u ( a + h ) −u ( a )

h × 1

√ û ⁽ â ⁺ ^h ⁾ ⁺ √ û ⁽ â ⁾

3. En déduire la dérivée de f.

FIN de l’activité n°2

Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √ ^u

Propriété n°2

Soit

u(x)

I,

ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction

√ ^u

est dérivable et sa dérivée vaut

…...

Démonstration: cf activité 2.

Remarque : en considérant que

√ ^u ⁽ ^x ⁾ ^{= (u(x))}

^1/2, on « retombe » sur la formule du cours n°1.

Exemple n°2 :

(5)

f

définie par

√ ² ^x ^x

²

⁻ ⁻ ¹ ⁴

^.

...

FIN du cours n°2 Se tester C4.2 (sur 3)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.b ¹ savoir dériver une fonction composée de racine carrée

(Se tester n°2) - Exercice n° 5

(der:1, for:1, res:1)

f

définie par

f(x) = √ ⁵ ^x ^{x –}

²

^– ⁴ ⁶

(6)

Résultats

1 ex

^er

: f ‘(x)= ( − 5 x

²

+ 12 x − 20 ) √ ^x

²

⁻ ⁴

2 ( ^x

²

− 4 ) ^² √ ⁵ ^x ⁻ ⁶

^.

Se tester C4.2 (sur 3)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.b ¹ savoir dériver une fonction composée de racine carrée

(Se tester n°2) - Exercice n° 6

(der:1, for:1, res:1)

f

définie par

f(x) = √ ³ ^x ^{x –}

²

^– ³ ⁷

(7)

Résultats

1 ex

^er

: f ‘(x)= ( − 3 x

²

+ 14 x − 9 ) √ ^x

²

⁻ ³

2 ( ^x

²

− 3 ) ^² √ ³ ^x ⁻ ⁷

^.

Interrogation n°2 Interrogation n°2

Objectifs

C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée

(Cours n°2) - Exercice n° 7

Ex.3 p.84

Résultats :

Ex.3 p.84-

f ' (x)= 1

√ ² ^x ⁺ ¹

^et

^{g' (x)=}

3 x

√ ³ ^x

²

⁺ ¹

(Cours n°2) - Exercice n° 8

Ex.4 p.84

Résultats :

Ex.4 p.84-

f ' (x)= x

√ ^x

²

⁺ ¹

^et

^{g' (x)=}

3 x

√ ³ ^x

²

⁺ ¹

Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )

Propriété n°2

Soit

f

I

. La fonction

g

définie par

g(x)=f(x+  )

est dérivable et sa dérivée vaut...

Démonstration :

Le taux d'accroissement de

g

en

a

est donné par :

...

Ce qui donne :

...

En posant

T=  ^a+ 

^et

^H=  ^{h :}

...

D'où :

...

(8)

...

Exemple n°3 :

Dériver la fonction f définie par

f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .

...

Propriété n°3 (admise)

Soit

u

une fonction dérivable sur un intervalle I

.

Soit

f

J

contenant

u(I)

. La fonction

g

définie par

g(x)=f(u(x))

est dérivable sur I et sa dérivée vaut...

Exemple n°4 :

Dériver la fonction fn définie par fn (x) =

1 ( √ ^x ⁾

ⁿ^.

...

FIN du cours n°3 Se tester C4.3 (sur 6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée

(Se tester n°3) - Exercice n° 9

1. [/4] On sait que

h

est une fonction. Soit la fonction

f

définie par :

f(x) = [h(x)]

⁹

– 4h(x)

Dériver

f

en fonction de

h

et

h'

(sans se servir de la question suivante) :

(9)

2.

^[/2]On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=6x – 2. Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de

f

.

(10)

Résultats

1

^er

ex :

1. f ’ (x) = 9 × h’(x) × [h(x)]

⁸

– 4× h’(x)

. 2.

f ’ (x) = 54 × (6x – 2)

⁸

– 24

.

Se tester C4.3 (sur 6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.c ¹ Savoir dériver une fonction composée

(Se tester n°3) - E xercice n°1 0

1. [/4] On sait que

h

est une fonction. Soit la fonction

f

définie par :

f(x) = [h(x)

^]4

–

⁶

h(x)

Dériver

f

en fonction de

h

et

h'

(sans se servir de la question suivante) :

2.

^[/2]On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=6x – 4. Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de

f

.

(11)

Résultats

1

^er

ex :

1. f ’ (x) = 4 × h’(x) × [h(x)

]3

– 6× h’(x)

. 2.

f ’ (x) =

24

× (6x – 4

)3

–

36.

Interrogation n°3 Interrogation n°3

Objectifs

C4.c_Niv1 : savoir dériver une fonction composée.

(Cours n°3) - E xercice n°1 1*

Ex.53 p.86

Résultats : Ex.53 p.86-

1.

f '(x)= 2v'(x)(2x–1)

,

g'(x)= – 3v'(x)(–3x)

, et

h'(x)= –v'(x)(5 – x).

2.

f'(x)= 1

2 x

²

− 2 x + 1 , g' (x)= − 3

( − 3 x )

²

+ 1 et h' (x)= − 1 ( ⁵ − x )

²

+ 1 (Cours n°3) - E xercice n°1 2**

Sujet A p.97

Résultats : Sujet A p.97- 1.

x ∈ ^[0;1[

2.

A(x) = ( 2+ 2 x ) √ ¹⁻ ^x

²

2

^et

V(x)=2(1+x) √ ¹ ⁺ ^x

²

3.

V’(x)=2 × 1− x −2 x

²

√ ¹⁻ ^x

²

4.

x=0,5.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

y=. ( vaut .…...........…….....….)3.

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)

Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n

u

n

g'

u et u'

g'

u et u'

g'

FIN de l’activité n°1

Cours n°1 : Dérivée de u puissance n

Rappel (Propriété n°0) :

f

a

y= ... . (  vaut .…...……...….)

... … ... … ...… .… .... …

...

h

0

f

a

I) Dérivée de ( u ( x ) )

Propriété n°1

n

u(x)

I

u

I

Exemple n°1 :

f

( 2 x x−

− 1 4 )

FIN du cours n°1 Se tester C4.1 (sur 3)

Objectifs :

(Se tester n°1) - Exercice n° 1

[d:1,f:1,r:1]

f

f(x) = ( 7 x x –

– 4 6 )

Résultats

1

ex

: f ’(x) = 7 − 7 x

+ 12 x − 28

( x

− 4 ) ² ( 7 x x –

– 4 6 )

Se tester C4.1 (sur 3)

Objectifs :

(Se tester n°1) - Exercice n° 2

[d:1,f:1,r:1]

f

f(x) = ( 9 x x –

– 4 3 )

Résultats

1

ex

: f ’(x) = 4 − 9 x

+ 6 x − 36

( x

−4 ) ² ( 9 x x –

– 4 3 )

Interrogation n°1 Interrogation n°1

Objectifs

C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n

(Cours n°1) - Exercice n° 3

Ex.5 p.84

f ' (x)=2(x+1)

g' (x)=3(x+1)

(Cours n°1) - Exercice n° 4

Ex.7 p.84

f ' (x)=6(2x+1)

g' (x)=4(2x+1)(x

+x)

Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f

f(x)= √ u ( x )

(h)

f

a

y= ... ^{. (}  vaut .…...……...….)

I) Dérivée de ( ^u ⁽ ^x ⁾ )

( ² ^x ^x−

⁻ ¹ ⁴ )

f(x) = ( ⁷ ^x ^{x –}

^– ⁴ ⁶ )

− 4 ) ² ( ⁷ ^x ^{x –}

^– ⁴ ⁶ )

f(x) = ( ⁹ ^x ^{x –}

^– ⁴ ³ )

−4 ) ² ( ⁹ ^x ^{x –}

^– ⁴ ³ )

f(x)= √ ^u ⁽ ^x ⁾

√ û ⁽ â ⁺ ^h ⁾ ⁺ √ û ⁽ â ⁾

Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √ ^u

√ ^u

√ ^u ⁽ ^x ⁾ ^{= (u(x))}

√ ² ^x ^x

⁻ ⁻ ¹ ⁴

f(x) = √ ⁵ ^x ^{x –}

^– ⁴ ⁶

+ 12 x − 20 ) √ ^x

⁻ ⁴

2 ( ^x

− 4 ) ^² √ ⁵ ^x ⁻ ⁶

f(x) = √ ³ ^x ^{x –}

^– ³ ⁷

+ 14 x − 9 ) √ ^x

⁻ ³

2 ( ^x

− 3 ) ^² √ ³ ^x ⁻ ⁷

√ ² ^x ⁺ ¹

^{g' (x)=}

√ ³ ^x

⁺ ¹

√ ^x

⁺ ¹

^{g' (x)=}

√ ³ ^x

⁺ ¹