1 Chaˆıne de Markov

(1)

Magist` ere d’´ economiste statisticien 2008–2009-Seconde ann´ ee

Examen du 8 janvier 2009

Dur´ ee 3h-Documents autoris´ es : cours manuscrits-Calculatrices autoris´ ees.

1 Chaˆıne de Markov

Pour 0 ≤ θ ≤ 1, on consid` ere la chaˆıne de Markov (X _n ) ` a six ´ etats {1, 2, 3, 4, 5, 6} de matrice de transition







2(1−θ) 3

(1−θ) 6

(1−θ)

6 θ 0 0

(1−θ) 2

(1−θ)

2 0 θ 0 0

0 ^(1−θ) ₂ ^(1−θ) ₂ θ 0 0 0 0 0 ¹ ₂ ¹ ₄ ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₂ ¹ ₄ ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₆ ¹ ₂ ¹ ₃







et d’´ etat initial X ₀ = 1.

1) On suppose que θ = 0.

a) Montrer que l’on ne visite jamais les ´ etats {4, 5, 6} mais qu’avec la condition initiale choisie les ´ etats {1, 2, 3} sont r´ ecurrents.

b) En d´ eduire que l’on peut restreindre l’´ etude en ne consid´ errant qu’une chaˆıne ` a trois

´ etats que l’on pr´ ecisera.

c) Ecrire la matrice de transition de cette nouvelle chaˆıne et calculer sa probabilit´ e inva- riante. Quelle est la limite presque sˆ ure de X _n := ¹ _n P n

j=0 X _j ? 2) On suppose maintenant que θ 6= 0. Soit A = {1, 2, 3}, on pose

N _A := inf{n ∈ N ^∗ : X _n 6∈ A}.

a) Montrer que la variable al´ eatoire N A est presque sˆ urement finie. D´ eterminer sa loi.

b) Montrer que pour n ≥ N _A on a X _n 6∈ A. Combien de temps, en moyenne, passe t’on sur l’ensemble A avant de le quitter d´ efinitivement ?

c) Soit, pour n ∈ N , Y n := X n+N

_A

. Montrer que (Y n ) est une chaˆıne de Markov sur un espace d’´ etats que l’on pr´ ecisera. D´ eterminer son ´ etat initial et sa transition.

d) Montrer qu (Y _n ) est r´ ecurrente et irr´ eductible. Calculer sa probabilit´ e invariante.

e) Quelle est la limite presque sˆ ure de Y n := _n ¹ P n

j=1 Y j ? En d´ eduire celle de X n .

2 Vecteur gaussien

On consid` ere une matrice al´ eatoire (X _i,j ) i=1,...,N,j=1,...,p constitu´ ee de variables i.i.d. de loi normale standard. On pose

X i. := 1 p

p

X

j=1

X ij , (i = 1 . . . N),

S ² :=

N

X

i=1 p

X

j=1

(X _ij − X _i. ) ² .

1) Montrer que la variable S ² est ind´ ependante de X _i. (i = 1, . . . , N ).

2) Quelle est la loi de S ² ?

(2)

Indication : pour l = 1, . . . , N , consid´ erer les sous espaces vectoriels E _l :=

(x _ij ) i=1,...,N,j=1,...,p ∈ R ^{N p} : x _lj = x _l. pour j = 1, . . . , p et x _ij = 0 pour i 6= l et j = 1, . . . , p ,

ainsi que le sous-espace vectoriel E := E ₁ + · · · + E _N . On montrera que les sous-espaces (E _i ) sont deux ` a deux orthogonaux et l’on d´ eterminera l’op´ erateur de projection orthogonale sur ces sous-espaces.

3 La ruine du joueur revisit´ ee

Soit ( n ) une suite de variables al´ eatoires i.i.d. avec

P ( ₁ = 0) = 2 P ( ₁ = 1) = 2 P ( ₁ = −1) = 1 2 .

Soit α la solution positive de l’´ equation cosh x = 3. On rappelle que la fonction cosh x vaut, pour x ∈ R , 1/2(exp(x) + exp(−x)). On pose, S ₀ = M ₀ = 0, N ₀ = 1 et pour n ∈ N ^∗

S _n :=

n

X

j=1

_j , M _n = S _n ² − n

2 , N _n := 1

2 ⁿ exp(αS _n ).

Soit a > 0, on pose T _a = inf{n ∈ N : S _n 6∈] − a, a[}. Le but du probl` eme est d’´ etudier la loi de S _T

_a

et de calculer E (T _a ) (on fera l’hypoth` ese que cette esp´ erance est finie).

0) Calculer α.

1) Montrer que les trois suites (S _n ), (M _n ) et (N _n ) sont des martingales.

2) Montrer que T _a est un temps d’arrˆ et pour les suites (S _n ), (M _n ) et (N _n ).

3) Appliquer le th´ eor` eme de Wald aux suites (S _n ) et (M _n ). En d´ eduire la loi de S _T

_a

et la

valeur de E (T _a ).

1 Chaˆıne de Markov

Magist` ere d’´ economiste statisticien 2008–2009-Seconde ann´ ee

Examen du 8 janvier 2009

Dur´ ee 3h-Documents autoris´ es : cours manuscrits-Calculatrices autoris´ ees.

1 Chaˆıne de Markov

Pour 0 ≤ θ ≤ 1, on consid` ere la chaˆıne de Markov (X n ) ` a six ´ etats {1, 2, 3, 4, 5, 6} de matrice de transition



















2(1−θ) 3

(1−θ) 6

(1−θ)

6 θ 0 0

(1−θ) 2

(1−θ)

2 0 θ 0 0

0 (1−θ) 2 (1−θ) 2 θ 0 0 0 0 0 1 2 1 4 1 4 0 0 0 1 2 1 4 1 4 0 0 0 1 6 1 2 1 3



















et d’´ etat initial X 0 = 1.

1) On suppose que θ = 0.

a) Montrer que l’on ne visite jamais les ´ etats {4, 5, 6} mais qu’avec la condition initiale choisie les ´ etats {1, 2, 3} sont r´ ecurrents.

b) En d´ eduire que l’on peut restreindre l’´ etude en ne consid´ errant qu’une chaˆıne ` a trois

´ etats que l’on pr´ ecisera.

c) Ecrire la matrice de transition de cette nouvelle chaˆıne et calculer sa probabilit´ e inva- riante. Quelle est la limite presque sˆ ure de X n := 1 n P n

j=0 X j ? 2) On suppose maintenant que θ 6= 0. Soit A = {1, 2, 3}, on pose

N A := inf{n ∈ N ∗ : X n 6∈ A}.

a) Montrer que la variable al´ eatoire N A est presque sˆ urement finie. D´ eterminer sa loi.

b) Montrer que pour n ≥ N A on a X n 6∈ A. Combien de temps, en moyenne, passe t’on sur l’ensemble A avant de le quitter d´ efinitivement ?

c) Soit, pour n ∈ N , Y n := X n+N

. Montrer que (Y n ) est une chaˆıne de Markov sur un espace d’´ etats que l’on pr´ ecisera. D´ eterminer son ´ etat initial et sa transition.

d) Montrer qu (Y n ) est r´ ecurrente et irr´ eductible. Calculer sa probabilit´ e invariante.

e) Quelle est la limite presque sˆ ure de Y n := n 1 P n

j=1 Y j ? En d´ eduire celle de X n .

2 Vecteur gaussien

On consid` ere une matrice al´ eatoire (X i,j ) i=1,...,N,j=1,...,p constitu´ ee de variables i.i.d. de loi normale standard. On pose

X i. := 1 p

p

X

j=1

X ij , (i = 1 . . . N),

S 2 :=

N

X

i=1 p

X

j=1

(X ij − X i. ) 2 .

1) Montrer que la variable S 2 est ind´ ependante de X i. (i = 1, . . . , N ).

2) Quelle est la loi de S 2 ?

Indication : pour l = 1, . . . , N , consid´ erer les sous espaces vectoriels E l :=

(x ij ) i=1,...,N,j=1,...,p ∈ R N p : x lj = x l. pour j = 1, . . . , p et x ij = 0 pour i 6= l et j = 1, . . . , p ,

ainsi que le sous-espace vectoriel E := E 1 + · · · + E N . On montrera que les sous-espaces (E i ) sont deux ` a deux orthogonaux et l’on d´ eterminera l’op´ erateur de projection orthogonale sur ces sous-espaces.

3 La ruine du joueur revisit´ ee

Soit ( n ) une suite de variables al´ eatoires i.i.d. avec

P ( 1 = 0) = 2 P ( 1 = 1) = 2 P ( 1 = −1) = 1 2 .

Soit α la solution positive de l’´ equation cosh x = 3. On rappelle que la fonction cosh x vaut, pour x ∈ R , 1/2(exp(x) + exp(−x)). On pose, S 0 = M 0 = 0, N 0 = 1 et pour n ∈ N ∗

S n :=

n

X

j=1

j , M n = S n 2 − n

2 , N n := 1

2 n exp(αS n ).

Soit a > 0, on pose T a = inf{n ∈ N : S n 6∈] − a, a[}. Le but du probl` eme est d’´ etudier la loi de S T

et de calculer E (T a ) (on fera l’hypoth` ese que cette esp´ erance est finie).

0) Calculer α.

Pour 0 ≤ θ ≤ 1, on consid` ere la chaˆıne de Markov (X _n ) ` a six ´ etats {1, 2, 3, 4, 5, 6} de matrice de transition

0 ^(1−θ) ₂ ^(1−θ) ₂ θ 0 0 0 0 0 ¹ ₂ ¹ ₄ ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₂ ¹ ₄ ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₆ ¹ ₂ ¹ ₃

et d’´ etat initial X ₀ = 1.

c) Ecrire la matrice de transition de cette nouvelle chaˆıne et calculer sa probabilit´ e inva- riante. Quelle est la limite presque sˆ ure de X _n := ¹ _n P n

j=0 X _j ? 2) On suppose maintenant que θ 6= 0. Soit A = {1, 2, 3}, on pose

N _A := inf{n ∈ N ^∗ : X _n 6∈ A}.

b) Montrer que pour n ≥ N _A on a X _n 6∈ A. Combien de temps, en moyenne, passe t’on sur l’ensemble A avant de le quitter d´ efinitivement ?

d) Montrer qu (Y _n ) est r´ ecurrente et irr´ eductible. Calculer sa probabilit´ e invariante.

e) Quelle est la limite presque sˆ ure de Y n := _n ¹ P n

On consid` ere une matrice al´ eatoire (X _i,j ) i=1,...,N,j=1,...,p constitu´ ee de variables i.i.d. de loi normale standard. On pose

S ² :=

(X _ij − X _i. ) ² .

1) Montrer que la variable S ² est ind´ ependante de X _i. (i = 1, . . . , N ).

2) Quelle est la loi de S ² ?

Indication : pour l = 1, . . . , N , consid´ erer les sous espaces vectoriels E _l :=

(x _ij ) i=1,...,N,j=1,...,p ∈ R ^{N p} : x _lj = x _l. pour j = 1, . . . , p et x _ij = 0 pour i 6= l et j = 1, . . . , p ,

ainsi que le sous-espace vectoriel E := E ₁ + · · · + E _N . On montrera que les sous-espaces (E _i ) sont deux ` a deux orthogonaux et l’on d´ eterminera l’op´ erateur de projection orthogonale sur ces sous-espaces.

P ( ₁ = 0) = 2 P ( ₁ = 1) = 2 P ( ₁ = −1) = 1 2 .

Soit α la solution positive de l’´ equation cosh x = 3. On rappelle que la fonction cosh x vaut, pour x ∈ R , 1/2(exp(x) + exp(−x)). On pose, S ₀ = M ₀ = 0, N ₀ = 1 et pour n ∈ N ^∗

S _n :=

_j , M _n = S _n ² − n

2 , N _n := 1

2 ⁿ exp(αS _n ).

Soit a > 0, on pose T _a = inf{n ∈ N : S _n 6∈] − a, a[}. Le but du probl` eme est d’´ etudier la loi de S _T

et de calculer E (T _a ) (on fera l’hypoth` ese que cette esp´ erance est finie).

1) Montrer que les trois suites (S _n ), (M _n ) et (N _n ) sont des martingales.

2) Montrer que T _a est un temps d’arrˆ et pour les suites (S _n ), (M _n ) et (N _n ).

3) Appliquer le th´ eor` eme de Wald aux suites (S _n ) et (M _n ). En d´ eduire la loi de S _T

valeur de E (T _a ).