D1919. Tangences ` a la chaˆıne
B0 sym´etrique de B par rapport `a AE: E est le milieu deBB0, M celui de BC, doncM E est parall`ele `aAC et coupe ABen son milieu.
L’application du th´eor`eme de Ceva dansEAB montre que : F E
F B = DE
DA ⇒F Dest parall`ele `a AB
Donc les m´ediatrices deABet deDH sont confondues et contiennent les cen- tres des cercles (ABDH), (O1DH) et ((O1AB): ⇒les 2 derniers cercles sont tangents enO1
De mˆeme, les m´ediatrices de AJ et deDI sont confondues et contiennent les centres des cercles(AJ DCI),(O2AJ)et(O2DI): ⇒les 2 derniers cercles sont tangents enO2
La m´ediatrice deADcontient les centresO1etO2. Elle contient aussiGparce queDGetAC sont sym´etriques par rapport `a elle.
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Soit L sym´etrique de G par rapport `a AD, donc sur AB. Les droites AB, AC, DG et DL sont sym´etriques par rapport `a AD et LG (m´ediatrice de AD).
On a une homoth´etie de centreK et de rapport KB
KD qui transformeA enI, LenG,DenC,ABDenDCI. Les cercles circonscrits `a ces 2 triangles sont aussi homoth´etiques, et en particulier leurs centresO1etO2.
Finalement les cercles (BO1A)et (DO2I)sont aussi homoth´etiques et donc tangents enK.
Propri´et´es additionnelles :
On simplifie la figure en tenant compte des sym´etries indiqu´ees plus haut.
L’intersection deKGet de la m´ediatrice deABfournit O1, et de mˆeme pour O2avec celle deDI.
1/ La droite des centresKO3O4 est perpendiculaire `aAC : GKO\3=GO\1O3
O1O3 est perpendiculaire `a AB. Par sym´etrie autour deAD, KO3est donc perpendiculaire `aAC.
2/B,D, LetO1sont cocycliques : Dans le cercle (ABD)on a
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BO\1D= 2×BAD\ =BLD\
De mˆeme,D,O2,GetC sont cocycliques et ce cercle est l’image du pr´ec´edent par l’homoth´etie de centreK.
3/D,O2etLd’une part, etD,O1etGd’autre part, sont cocycliques sur des cercles tangents `aBC enD :
Des puissances deKpar rapport aux cercles verts et de l’homoth´etie, on d´eduit que
KO2×KL= KO1×KG=KD2
SoitN intersection des cercles(ADC)et (AO1B) ... P intersection de AC et du cercle(ADC) ... Qintersection deKJ et du cercle(ABD) 4/J appartient au cercle(DO2L):
Dans(ADC): AJ D\ =ACK\ DL//CK : ACK\ =ADL\ et (DO2L)est tangent `aBC enD.
De mˆeme,P appartient au cercle(DO1G): Dans(ABD): AP D\ =π−ABK\
DG//DG: ABK\ = IDK\ et (DO1G)est tangent `a BC enD.
5/N appartient au cercle(DO1G), etQau cercle(DO2L):
Dans l’inversion de centre K et de rayon KD, les cercles mauves sont leur propre inverse, les cercles (ABD) et (ACD)d’une part, et les cercles verts d’autre part se correspondent, etAC est l’inverse du cercle(KABO1).
⇒N et P se correspondent; de mˆemeQet J se correspondent.
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