D1919 ‒ Tangences à la chaîne [**** à la main]

D1919 ‒ Tangences à la chaîne [**** à la main]

Dans un triangle ABC (AB < AC), le point M est le milieu du côté BC et la bissectrice issue de A coupe ce côté au point D. Soit E le pied de la perpendiculaire issue de B sur AD. La droite BE coupe AM au point F..

On trace les cercles (ABD) et (ACD) circonscrits aux triangles ABD et ACD, de centres O₁ et O₂. La droite DF coupe respectivement la droite AC au point G, le cercle (ABD) en un

deuxième point H et le cercle (ACD) en un deuxième point I. Le cercle (ACD) coupe la droite AB en un deuxième point J. On trace enfin les cercles (O₁AB), (O₁DH), (O₂DI) et (O₂AJ).

Démontrer que:

Q₁ : les cercles (O₁AB) et (O₁DH) sont tangents au point O₁, Q₂ : les cercles (O₂AJ) et (O₂DI) sont tangents au point O₂,

Q₃ : les cercles(O₁AB) et (O₂DI) sont tangents en un point K situé sur la droite BC et aligné avec les points O₁,O₂ et G.

Solution proposée par Bernard Vignes

Lemme n°1 La droite DF est parallèle à AB et le triangle AGD est isocèle de sommet G.

La démonstration de la première partie de ce lemme est donnée dans ma solution du problème D1807-Le square de Pythagore.

Les droites DF et AB étant parallèles, il en résulte que GDA = DAB = DAC → AGD est isocèle de sommet G.

Q₁

Par l'inversion de pôle O₁ et de puissance O₁A² ,le cercle (ABD) étant le cercle d'inversion, la

droite AB devient le cercle (O₁AB) et la droite DF devient le cercle (O₁DH). Comme DF est parallèle à AB, les cercles (O₁AB) et (O₁DH). sont tangents au point O₁.

Q₂

Par l'inversion de pôle O₂ et de puissance O₂A² avec le cercle (ACD) comme cercle d'inversion, la droite AB devient le cercle (O₂AJ) et la droite DF devient le cercle (O₂DI).

Comme DF est parallèle à AB, les cercles (O₂AJ) et (O₂DI) sont tangents au point O₂.

Q₃

Les points O₁, O₂ et G étant situés sur la médiatrice de AD sont alignés. La droite O₁O₂ rencontre la droite BC au point K.

Comme AKD est isocèle de sommet K, on a AKB = 180° ‒ 2ADB et AO₁B = 2ADB.

Les quatre points A,O₁,B et K sont cocyliques. Le point K appartient donc au cercle (O₁AB).

Par ailleurs les triangles KBA et KDI sont semblables avec : - DI parallèle à AB,

- KBA = KDA et KID = AID = ACD

- KAB = KAD ‒ BAD = KDA ‒BAD = ACD + CAD ‒ BAD = ACD.

Les points I,A et K sont donc alignés Les centres ω₁ et ω₂ des cercles (O₁AB) et (O₂DI) , respectivement à l'intersection des médiatrices de KB et de AB d'une part, de KD et DI d'autre part, sont homothétiques l'un de l'autre par une homothétie de centre K et de rapport KB/KD , Ils sont alignés avec le point K et les cercles(O₁AB) et (O₂DI) sont tangents en ce point.