AB B-' A-A' AD\ * AD4 a AF3 AB44 *::jj=l '

Géométrie C2

' _{Leçon 48 : Cas de} similitude _{des triangles}

l. Activités

Sur

la figure ci-dessous,

(oE)//(BC) et (OF)/(CD).

Compléter les pointillés.

a. -

Les triangles

AEO

et

... sont

semlables.

on u

*::jj=l AB44

^soit

AE:1*-..=1"...-...

Les triangles AOF et

... sont

semlables, On

a AD4 AF3 _{=:j:::_}

SOit

AF=_x--.:...

b-

En effet

* AD\ ^=rii

^{on a}

^(m)//(no)

Donc les triangles AEF et

... sont

semblables.

2.

Essentiel

1.

Cas de

similitude

1"t cas

Lorsque deux triangles ont un angle égal compris entre

deul

côtés

proportionnels,

ils

sont semlables.

A-A' ,//<\

B-' \

À=

À' , ^A'B' AB =A'c'

^AC

Les triangles

ABC

et

A'B'C'sont

semblables.

2"

cas

Lorsque deux triangles ont deux angles respectivement égaux,ils sont semblables.

À=À',Ê:Ê'

Les triangles

ABC

et

A'B'C'sont

semblables.

213

Géométrie C2

3"

"",

Lorsque deux

triangles

ont leurs

trois

^côtés proportionnels, ils sont semblables.

AB' ^{B'C'_ A'i'} AB BC

^AC

Les triangles

ABC

^et

A'B'C' sont

^semlables.

2. Corollaires

I

"

^{Deux triangles} équilatéraux

sont

semlables (angles égaux).

2. Deuxtriangles

isocèles qui ont même angle au sommet (oumême angles adjacents à

la

base), équilatéraux sont semblables (angles égaux).

3.

Deux triangles rectangles qui

ont un

^angle aigu

égal

sont semblables.

4-

Deux triangles rectangles qui

ont

les côtés de

I'angle

droit proportionnels A'

3.

sont semblables.

Cas d'égalité

et

cas de

similitude

des triangles

Cas d'égalité Cas de similitude

I

Â: ^Â'

, AB ₌ A'B',

AC : _A'c' Â=Â';#:#3

2

Â:Â',Ê=È',AB=A'B' ^{Â=Â',Ê-Ê'}

3 AE|

: _AB"

BC ₌ BC" AC

:

A'C'

AB' B'C''

AC'

AB BC

^AC

Exemple ^:

Soit

un ^trapèze

ABCD,

la petiteCD

:

5 cm,la grande base AB=15 cm

et le

côté

AD:

t2 cm.La parallèle au côté

[eo]

^{passant par C, coupe la}

diagonale[no]

^en

I,et

le côté

[an]

^{en E.}

214

Géométrie _C2

a. Citer

tous les triangles _semlables.

b- calculer

les longueurs EA,

IE

et

IB

tels que BD =16 cm.

c. Calculer

les longueurs

IC

et

ID.

Solution

Un trapèze

ABCD

AB=15 cmF CD=5 cm BD ₌ 76 cm;

(CE)/(AD)F

(cr)

coupe

(no)

en r.

Conclusion

a. Citer les triangles semblables _; b. Calculer

EA, IE

et

IB

c. Calculer

IC

et

ID.

on a (cn)//(eo)F

les deux triangles

BEI

et

BAD

sont donc semlables.

De

même'

(an)//(ÇD),

les deux triangles

ICD

et

IEB

sont donc semlables.

Calculer

EA,

IE

et

IB

.DansletriangleBAD,ona _EA=cD

_=5cm

_el

FB=15-5 =r0cm

. les triangles

BEI

et

BAD

sont cronc semlabres,

on IE

^EB

"t ^eP =5 ^sort #:#

d'où * _-

^{lox 12} _=g cm

Hypothèse

a.

b.

l5

" #=# ^{,oit P:19 6,oi, 6= l6xl0}

l5

^=-cm

^3Ta'J

c. Calculer

IC et

ID

les triangles

ICD

et

IEB

sont donc semlabres, on a :

IC CD .IC

⁵

Ë=Ë soitli.=l d'où.t.=# =4cmet rD=BD-rB =ru-+=lr*.

2ts

2.

Géométrie C2

Exercices

l

-

^{La distance}

AB

ne peut pas être mesurée directement.

Pour

la

calculer, on

plante

deux piquets en B et C distants de 9om. On mesure les angles

n

"t

^{C .} On représente ce

triangle A'B'C,

sur une feuille de

papier

avec B'C'=9omm et Ê,=Ê,Ô,=Ô.

Ensuite, on mesure A' B'.

Sachant queAts' =225 ^mm

,

^calculer

AB.

B

A

et

B

sont deux

points

de la bissectrice de I'angle

r@'tel

^{que OB=}

^{2xoA. par} A,

on trace la perpendiculaire à [o<)en

H.

Par B,

on

trace la perpendiculaire à

[Q)en r.

Montrer

que BK

=2.ALl et

^OK = 2.OHD

3. ABC

est un triangle rectangle en

A.

[AD]

^{est la} hauteur issue de

A.

a. Montrer

que

ABCF ABD

et AeD

-

sont les triangles semblables,

b.

Écrire tous les rapports des côtés correspondants.

2t6