EPFL 21 mai 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 24
L’exercice 4 est à rendre le 4 juin au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 On considère le polynôme P(X) = 2X8−3X5+X4+X2−4. Calculer P(A) pour
A=
1 0 2 0 −1 1 0 1 0
(Remarque : le but de l’exercice n’est pas de calculer à la main les puissances de A jusqu’à 8 mais de se contenter du calcul de A2...)
Exercice 2 1. Montrer que pour n ∈N− {0,1}, A ∈M at(n, n;C) on a : CA(X) = Xn−tr(A)Xn−1+. . .+ (−1)ndet(A)
où tr(A) est la trace de la matrice A et det(A) le déterminant.
2. Application : soit A ∈ M at(2,2;C) de trace non-nulle, montrer que toute matrice M ∈ M at(2,2;C) qui commute avecA2 commute aussi avecA. (Indication : Cayley-Hamilton)
Exercice 3 Soient B0 la base canonique de R3 et T l’opérateur de R3 tel que
[T]B0,B0 =
4 1 −1
−6 −1 2
2 1 1
.
Déterminer une base B de R3 telle que
[T]B,B =
2 0 0 0 1 1 0 0 1
.
Exercice 4 1. Soit T ∈ L(V) un opérateur inversible, montrer qu’il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à dim(V)−1 tel que T−1 =P(T).
2. Application : soit A la matrice de l’exercice 1, déterminer A−1.
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