EPFL 4 mai 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 24
L’exercice 1 est à rendre le 11 mai au début de la séance d’exercices.
Dans cette série, l’espace vectoriel V est toujours muni d’un produit scalaire. Dans le premier exercice, il s’agit d’appliquer les théorèmes spectraux.
Exercice 1. 1. Soit T ∈ L(Rn). Montrer que si T +T∗ est nilpotent (i.e. ∃p ∈ N tel que (T +T∗)p = 0) alors T∗ =−T.
2. Soient T ∈L(Rn)un opérateur auto-adjoint et A=T +iIn ∈L(Cn). Montrer que A est inversible.
3. SoitV unC-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que pour tout opérateur normal T ∈ L(V) il existe un opérateur S ∈ L(V) tel que S2 = T. (Un tel opérateur S sera appelé une racine carrée de T.)
4. Soit T ∈ L(Cn) un opérateur normal tel que T8 = T9. Montrer que T est auto-adjoint avecT2 =T.
Exercice 2. Soit V un R-espace vectoriel de dimension n, et T ∈ L(V) un opérateur auto- adjoint.
1. Soient α, β ∈R tels que α2 <4β. Montrer que T2+αT +βIdV est inversible.
Indication : On peut montrer queh(T2+αT+βIdV)(v), vi>0pour toutv6= 0en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée àhT(v), viet l’égalitéx2−αxy+βy2=“
x−α 2y”2
+
„ β−α2
4
«
y2pour toutx, y∈R...
2. Soit v 6= 0 un élément de V. Montrer qu’il existe a0, . . . , an∈R pas tous nuls tels que a0v+a1T(v) +. . .+anTn(v) = 0.
Le polynome p = a0 +a1X + . . .+ anXn est non-constant puisque sinon a0v = 0, ce qui impliquerait que a0 = 0 et donc que tous les coefficients a0, . . . , an sont nuls. On peut donc utiliser le résultat suivant : p possède une unique factorisation
p=c(X−λ1)·. . .·(X−λm)·(X2+α1X+β1)·. . .·(X2 +αMX+βM)
avec m, M ∈ N (pouvant être zéro, mais pas en même temps), et c, λ1, . . . , λm, α1, . . . , αM, β1, . . . , βM ∈R tels que αi2 <4βi pour i= 1, . . . , M.
3. En déduire que
(T −λ1IdV)◦. . .◦(T −λmIdV)(v) = 0,
et donc que T possède au moins une valeur propre réelle.
Le but du prochain exercice est de démontrer la partie du théorème spectral réel pour un opérateur auto-adjoint qui n’est pas prouvée dans le polycopié.
Exercice 3. Soit V un R-espace vectoriel de dimension n, et T ∈ L(V) un opérateur auto- adjoint.
1. Soit u un vecteur propre de T de norme 1 (qui existe d’après l’exercice précédent), soit U = span(u). Montrer que U⊥ est T-invariant.
2. Montrer que T|U⊥ ∈L(U⊥)est auto-adjoint.
3. Utiliser cela pour montrer par induction sur n qu’il existe une base orthonormale de V formée de vecteurs propres de T.
Exercice 4. Soit V un R-espace vectoriel de dimensionn,T ∈L(V) un opérateur normal, et soit U ⊆V un sous-espace T-invariant. Montrer que
1. U⊥ est T-invariant,
Indication : Cette partie est la plus difficile. Considérer une base orthonormée(e1, . . . , em)de Uet la compléter en une base or- thonormée(e1, . . . , en)deV. La matrice deT dans cette base a un bloc (n−m)×mnul en bas à gauche (pourquoi ?). Exprimer les sommesPm
i=1kT(ei)k2etPm
i=1kT∗(ei)k2à l’aide des coefficients de cette matrice. Les comparer à l’aide de la caractérisation géométrique des opérateurs normaux et en déduire que le bloc supérieurm×(n−m)droit de la matrice est nul. Cela impliquera le résultat...
2. U estT∗-invariant,
Indication : Utiliser la preuve de la question précédente...
3. (T|U)∗ =T∗|U,
Indication : Utiliser la caractérisation de l’adjoint...
4. T|U ∈L(U)est un opérateur normal, 5. T|U⊥ ∈L(U⊥)est un opérateur normal.
On se servira de cet exercice dans la prochaine série pour montrer la direction non démontrée dans le polycopié du théorème spectral pour un opérateur normal réel.
