EPFL 10 mai 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 24
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Si cela n’est pas précisé autrement, V est un F-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire.
L’exercice 2 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 17 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. 1. Soit T ∈L(Cn). Montrer que si T +T∗ est nilpotent alorsT∗ =−T.
2. Soient T ∈ L(Cn) un opérateur auto-adjoint et S = T +iIdCn ∈ L(Cn). Montrer que S est inversible.
3. Soit V un C-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que pour tout opérateur normal T ∈ L(V) il existe un opérateur S ∈ L(V) tel que S2 = T. (Un tel opérateur S sera appelé une racine carrée de T.)
4. Soit T ∈ L(Cn) un opérateur normal tel que T8 = T9. Montrer que T est auto-adjoint avec T2 =T.
Indication : Penser à utiliser les théorèmes spectraux...
Exercice 2. Répondre par oui ou non et justifier.
1. Soit T : P1(R) → P1(R) défini par T(a+bX) = a−√1
3b + √
3a+b
X. Existe-t-il p, q ∈ P1(R)tels que T(p) =p,T(q) = −q et R1
−1p(t)q(t)dt = 1?
2. SoitT ∈L(Cn)un opérateur tel queSpec(T)⊆i·R. Existe-t-il un produit scalaireφ surCnet S ∈L(Cn)tel que T =SS∗, où S∗ est défini par rapport à φ?
Exercice 3. Refaire le test du 29 avril et lire attentivement son corrigé.
Le but du prochain exercice est de démontrer la partie du théorème spectral réel pour un opérateur normal qui n’est pas prouvée dans le polycopié.
Exercice 4. (facultatif ) Soit V un R-espace vectoriel de dimension n, et T ∈ L(V) un opérateur normal.
1. Montrer que si n = 1 ou2, alors il existe une base BdeV telle que [T]B est diagonale en blocs, où chaque bloc est de taille 1×1ou 2×2 de la forme
ai −bi bi ai
avec ai, bi ∈R et bi >0.
Indication : utiliser l’exercice 4 de la série 22 et l’exercice 5 de la série 23...
2. Montrer par induction sur n qu’il existe baseB deV telle que[T]BB est diagonale en blocs, où chaque bloc est de taille 1×1 ou2×2 de la forme
ai −bi bi ai
avecai, bi ∈R etbi >0.
Indication : utiliser 5 l’exercice de la série 23... On rappelle que d’après un théorème du cours, il existe un sous-espaceT-invariantU deV de dimension 1 ou2.
