EPFL 3 mai 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 23
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Si cela n’est pas précisé autrement, V est un F-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire.
L’exercice 3 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 10 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. 1. Soit T ∈ L(V) tel que T∗T = −T. Montrer que T est auto-adjoint et que Spec(T)⊆ {0,−1}.
2. Soit A ∈ Mat(n;R) ⊆ Mat(n;C) une matrice antisymétrique, c’est-à-dire telle que A = −At. Soit B = iA. Montrer que TB ∈ L(Cn) est auto-adjoint. En déduire que toutes les valeurs propres de TA∈L(Cn) sont imaginaires pures.
3. Soient A, B des matrices réelles symétriques. Montrer que TA+iB est normal si et seulement si A etB commutent.
Exercice 2. Soit T ∈L(V) un opérateur normal. Montrer que : 1. ker(T) = ker(T∗) etim(T) = im(T∗);
2. T∗◦Tk =Tk◦T∗ pour tout entier positif k, et en déduire que T ◦(T∗)k = (T∗)k◦T est aussi valable ;
3. Tk est normal pour tout entier positifk;
4. ker(T) = ker(Tk) etim(T) = im(Tk) pour tout entier positifk.
Le but du prochain exercice est de montrer que si V est un R-espace vectoriel de dimen- sion finie et T ∈L(V) un opérateur auto-adjoint, alors il existe une base de V formée de vecteurs propres de T.
Exercice 3. Soit V unR-espace vectoriel de dimension n, et T ∈L(V)un opérateur auto-adjoint.
1. Soit u un vecteur propre de T de norme 1 (qui existe d’après l’exercice 6 de la série 22), soit U = span(u). Montrer que U⊥ estT-invariant.
2. Montrer que T|U⊥ ∈L(U⊥) est auto-adjoint.
3. Utiliser cela pour montrer par induction sur n qu’il existe une base orthonormale de V formée de vecteurs propres deT.
Exercice 4. 1. Donner un exemple d’un R-espace vectoriel V muni d’un produit scalaire, de T ∈ L(V) et de deux nombres réels α, β ∈ R tels que α2 < 4β et T2 +αT +βIdV n’est pas inversible.Le résultat de l’exercice 6 de la série 22 n’est donc pas vrai siT n’est pas auto-adjoint.
2. Donner un exemple d’un F-espace vectoriel V muni d’un produit scalaire, d’un opérateur S ∈ L(V)et d’un sous-espace vectoriel S-invariantU ⊆V tel que U⊥ n’est pas S-invariant.
3. Montrer que si V est un F-espace vectoriel V muni d’un produit scalaire et tel que dimV ≥2, alors W ={T ∈L(V)|T normal } n’est pas un sous-espace vectoriel de L(V).
On se servira du prochain exercice dans la série 24 pour montrer la direction non dé- montrée dans le polycopié du théorème spectral pour un opérateur normal réel.
Exercice 5. (facultatif )SoitV unR-espace vectoriel de dimensionn,T ∈L(V)un opérateur normal, et soit U ⊆V un sous-espace T-invariant. Montrer que
1. U⊥ estT-invariant,
Indication : Cette partie est la plus difficile. Considérer une base orthonormée(e1, . . . , em)deU et la compléter en une base orthonormée(e1, . . . , en)deV. La matrice de T dans cette base a un bloc(n−m)×m nul en bas à gauche (pourquoi ?). Exprimer les sommesPm
i=1kT(ei)k2 et Pm
i=1kT∗(ei)k2 à l’aide des coefficients de cette matrice. Les comparer à l’aide de la caractérisation géométrique des opérateurs normaux et en déduire que le bloc supérieurm×(n−m) droit de la matrice est nul. Cela impliquera le résultat...
2. U est T∗-invariant,
Indication : Utiliser la preuve de la question précédente...
3. (T|U)∗ =T∗|U,
Indication : Utiliser la caractérisation de l’adjoint...
4. T|U ∈L(U) est un opérateur normal, 5. T|U⊥ ∈L(U⊥) est un opérateur normal.
ATTENTION : Il n’y aura pas de séance de “Réponses aux questions” le vendredi 30 avril.