FSR TD-Méthodes Numériques 2019/2020
A. Rtibi Page 1
Série 3 Exercice 1.
Soit la fonction ( ) avec ⁄
1. Montrer que cette fonction a une et une seule racine dans ⁄ .
2. Expliciter la méthode de Newton. Donner une valeur de assurant la convergence vers . 3. Soit la méthode suivante :
( )
Montrer que l’on peut choisir un intervalle ⁄ telle que la méthode converge vers l (montrer que . Que vaut ?)
4. Montrer que l’on peut prendre ⁄ .
5. Calculer un nombre d’itérations suffisant pour obtenir une précision de ⁄ .
Exercice 2.
Méthode d’accélération d’Aitken : Soit ( ) une suite définie par :
{
( ) et convergente vers solution de ( ) .
On suppose que l’ordre de cette méthode est soit :
( ) , où , ( ), et . 1. Montrer que s’écrit (( ) ) avec . 2. Soit :
( )
3. Montrer que
( ) ( ) 4. Que vaut ?
Exercice 3.
Soient les deux fonctions suivantes : ( ) et ( ) ( ).
On cherche à calculer numériquement l’aire comprise entre ces deux courbes.
On note ( ) ( ) ( ).
1. Etudier la fonction .Montrerqu’ilexistedeuxvaleurspourlesquelles s’annule : une valeur évidente (laquelle ?) et une valeur que l’on note . Localiser dans un intervalle où est un entier.
2. Pour approcher ,on définit la suite suivante:
A. RTIBI Page 2 {
( )
Montrer que cette suite converge bien vers . Calculer deux itérés.
3. Ecrire la méthode de Newton qui permet de trouver une approximation de . Justifier le choix du qui assure la convergence et calculer quatre itérés. Donner une valeur approchée de α.
Exercice 4.
1. Montrer que la suite ( ) obtenue par la méthode de Dichotomie converge vers et on a :
2. Montrer que le nombre d'itération qu'on doit faire pour que approche à prés doit vérifier :
( ) 3. Application :
a. Montrer que l'équation admet une racine unique dans l'intervalle . b. En utilisant la méthode de Dichotomie quel est le nombre d'itérations nécessaires pour atteindre une précision de .
c. Donner une approximation à prés.
Exercice 5.
L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de √ à prés.
1. Soit ( ) , Montrer que l'équation ( ) admet une racine unique dans et localiser dans un intervalle de longueur 1.
2. En appliquant la méthodes de Newton donner une approximation à pour à prés.
3. En appliquant la méthode de Dichotomie pour . 4. Que peut on conclure ?
Exercice 6.
Soit la fonction ( )
1. Montrer que l'équation ( ) admet une racine unique dans [ ].
2. Par la méthode de Dichotomie déterminer une valeur approchée avec une précision .
3. Combien d'itérations sont nécessaires pour atteindre une précision de .
4. Par la méthode de Newton-Raphson donner une approximation pour à prés. Comparer les deux méthodes.
5. On pose ( ) .
a. Montrer que toute racine de est point fixe de et réciproquement.
b. Montrer que la méthode de substitution utilisant la fonction converge vers la racine .
