Série 24

L.S Marsa.Elriadh

Série 24 ^{Mr Zribi}

3

Maths

2009/2010

Exercice 1:

Soit f la fonction définie sur IR/{1} par f(x)= ² 1 1

x x

x

 

 ^et  sa courbe représentative dan un repère ( , , )O i j .

1) montrer que f est dérivable sur IR/{1} et que f'(x)= ( 2)₂ ( 1) x x

x



 ^. 2) dresser le tableau de variations de f.

3) a) soit aIR/{1}; écrire une équation de la tangente à  au point d'abscisse a.

b) déterminer le point de  ou la tangente passe par B(1,-2).

c)montrer qu'il existe deux points de  ou la tangente est parallèle à la droite

:x+2y+1=0.

Exercice 2:

Soit f la fonction définie par f x( ) x x² 1 et  sa courbe représentative dans un repère ( , , )O i j .

1) déterminer l'ensemble de définition de f.

2) a) montrer que pour tout xDf; f(x).f(-x)= -1.

b) calculer lim ( )

x f x

 puis lim ( )

x f x

 .

3) a) montrer que :y=2x est une asymptote à  au voisinage de . b) étudier la position de  et .

4) a) montrer que f est dérivable sur ] ,1[ et sur ]1,[ et sue ( ) '( ) ² 1 f x f x

 x

 ^. b) étudier la dérivabilité à droite en 1 et à gauche en -1; interprété graphiquement les résultats obtenu.

Exercice 3:

1) soit f la fonction définie par ²

( ) 1

ax b

f x x

 

 ^.

a) déterminer a et b tel que f admette un extremum local en 2 égale à -8.

Dans la suite on prend a=-2 et b=0.

b) calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

c) Dresser le tableau de variations de f et préciser la nature de chacune de ces extrema.

2) on considère la fonction g définie par g(x)= 2 ² 1 x x



 . Déduire à partir de f le tableau de variations de g.

3) soit f la fonction définie par ( ) ² 2 3 1

( ) ( ) 1

h x x x x si x

h x g x si x

      



  



a) déterminer l'ensemble de définition de h.

b) étudier la dérivabilité de h en -1; interpréter graphiquement les résultats obtenu.

c) Préciser les intervalles sur les quelles h est dérivable.

d) Ecrire une équation de la tangente à h au point d'abscisse 3.

e) Calculer h'(x) pour x < -1.

f) Montrer que pour tout x< -1; 1 x x²2x 3. g) Déduire le signe de h'(x) pour x < -1.

L.S Marsa.Elriadh

Série 24 ^{Mr Zribi}

3

Maths

2009/2010

h) Dresser le tableau de variations de h sur son domaine de définition.