MasterMiageM1 SurvoletexemplesPascalANDRE D´eveloppementdelogicielavecZ

(1)

Introduction Bases Relations Sch´emas Processus Merise et Z Bilan

D´eveloppement de logiciel avec Z

Survol et exemples

Pascal ANDRE

MIAGE Universit´e de Nantes

Master Miage M1

(2)

Plan

Introduction

La notation Z : logique et th´eorie des ensembles La notation Z : relations binaires et variantes La notation Z : sch´emas

La m´ethode de d´eveloppement Merise et Z

(3)

Contexte de l’intervention

Le d´eveloppement du logiciel 1. Avec rigueur

I Mod`eles, produits formels

I Processus d´erivatif

I Validation, v´erification

2. Qualité induite pour la sûreté de fonctionnement

Focus

I approche formelle (voir la pr´esentationintroMF) I notation Zet outils de v´erification (Z-EVES, ...)

Vers un usage rationnel

I bonnes pratiques de sp´ecification (pr´ecision)

I bonnes pratiques de conception (assertions, preuves)

I bonnes pratiques de programmation (tests)

(4)

La notation Z

I Mod´elisation math´ematique

I Abrial (Grenoble, Oxford)

I Ann´ees 70

I Principes

I sp´ecification math´ematique, axiomatique de Hoare

I abstraction

I sch´ema

I preuve de propri´et´es

I raffinement (raffinage, r´eification)

I VDM, B

(5)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(6)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(7)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(8)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(9)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(10)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(11)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

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La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(13)

La notation Z

I Ann´ees 70

I Principes

I abstraction

I sch´ema

I VDM, B

(14)

Quelques r´ef´erences autour de Z

I Notation Z [Spi94,WL88]

I M´ethodes formelles et Z [AV01,AV04]

I D´evelopper avec Z [PST96,Bow96,Jac97,Wor92]

(15)

Pascal Andr´e and Alain Vailly.

Sp´ecification des logiciels ; Deux exemples de pratiques r´ecentes : Z et UML, volume 2 of Collection Technosup.

Editions Ellipses, 2001.

ISBN 2-7298-0774-8.

Pascal Andr´e and Alain Vailly.

Exercices corrig´es en langage Z ; Les sp´ecifications formelles par la pratique, volume 4 of Collection Technosup.

Editions Ellipses, 2004.

ISBN 2-7298-1942-8.

Jonathan Bowen.

Formal Specification & Documentation using Z: A Case Study Approach.

International Thomson Publishing, 1996.

ISBN 1-85032-230-9.

Jonathan Jacky.

The Way of Z: Practical Programming with Formal Methods.

Cambridge University Press, 1997.

ISBN 0-521-55041-6.

(16)

International Series in Computer Science. Prentice-Hall, 2 edition, 1996.

ISBN 0-13-242207-7.

Mike Spivey.

La notation Z.

Collection M´ethodologies du logiciel. Editions Masson, 1994.

Traduit de l’anglais par Michel Lemoine, ISBN 2-225-84367-8.

J. Woodcock and M. Loomes.

Software Engineering Mathematics.

Addison Wesley, 1988.

John B. Wordsworth.

Software development with Z.

Addison Wesley, 1992.

ISBN 0-201-62757-4.

(17)

Plan

Introduction

La notation Z : logique et th´eorie des ensembles

La notation Z : relations binaires et variantes La notation Z : sch´emas

La m´ethode de d´eveloppement Merise et Z

(18)

La logique

I Logique des propositions

(19)

La logique

”Loin des yeux, loin du cœur.

Mieux vaut tard que jamais.

Le monde appartient à celui qui se lève tôt.

La raison du plus fort est toujours la meilleure.

G´erard est le plus fort.

G´erard se l`eve tard et vit la nuit.

Apr`es la pluie, le beau temps.”

(20)

La logique

”Loin des yeux, loin du cœur.

Mieux vaut tard que jamais.

Le monde appartient à celui qui se lève tôt.

La raison du plus fort est toujours la meilleure.

G´erard est le plus fort.

G´erard se l`eve tard et vit la nuit.

Apr`es la pluie, le beau temps.”

I exclusion : vrai ou faux

I contradiction : non (vrai et faux)

I combinaison : et, ou, non, ou exclusif, implique, etc.

(21)

La logique

I Logique des pr´edicats

(22)

La logique

I variables : param´etrer les propositions

I quantificateur : d´ecrire le domaine de la variable (le domaine sera le type en Z)

I port´ee : espace d’existence de la variable.

I combinaison : op´erateurs des propositions.

(23)

La logique

imp´eratif(x) la variablex est libre imp´eratif(Pascal) est une proposition fonctionnel(caml) est une proposition objet(C++) est une proposition

∀x •imp´eratif(x)⇒langage(x) x est li´ee

imp´eratif(C)⇒imp´eratif(C++) C est une constante

∀x •objet(x)⇒

fonctionnel(x)∨imp´eratif(x) x est li´ee

(24)

La logique

La logique des propositions

I Constantes : true et false

I Op´erateurs :

Op´erateur Sens Notations alternatives

¬P n´egation not P, ∼P, P P ∧Q conjonction P and Q, P.Q, P&Q P ∨Q disjonction P or Q, P +Q

P ⇒Q négation P implies Q, if P then Q P ⇔Q équivalence équivalence logique

A ces opérateurs peuvent être ajoutés de nouveaux opérateurs tels que leou exclusif (P xor Q).

(25)

La logique

I Op´erateurs :

Op´erateur Sens Notations alternatives

¬P n´egation not P, ∼P, P P ∧Q conjonction P and Q, P.Q, P&Q P ∨Q disjonction P or Q, P +Q

P ⇒Q négation P implies Q, if P then Q P ⇔Q équivalence équivalence logique

A ces opérateurs peuvent être ajoutés de nouveaux opérateurs tels que leou exclusif (P xor Q).

(26)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I Preuve⇒ raisonnement par

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

I autres (tables de vérité, Karnaugh, résolution)

++ D´etails : [AV01], chapitre 2, section 2

(27)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

Nom Propriété Proposition P1 Commutativité P ∧Q ⇔Q ∧P

P₂ P ∨Q ⇔Q ∨P

P7 Lois DE MORGAN ¬(P ∧Q)⇔ ¬P ∨ ¬Q P₈ (formes normales) ¬(P ∨Q)⇔ ¬P ∧ ¬Q P₉ Forme normale P ⇒Q ⇔ ¬P ∨Q

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(28)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

I autres (tables de vérité, Karnaugh, résolution) ++ Détails : [AV01], chapitre 2, section 2

(29)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(30)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(31)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(32)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(33)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(34)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(35)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(36)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes

I r´eduction

I d´eduction

I l’absurde

I cas

I hypoth`ese

I r´ecurrence

(37)

La logique

La logique des pr´edicats

I Quantificateurs :

variable libre

P(x) prédicat paramétré par la variablex variable liée

∀x•P(x) P est vrai pour toute valeur dex

∃x•P(x) il y a au moins une valeur de x telle que P soit vrai

∃!x •P(x) il y a une seule valeur dex

∃₁x •P(x) telle que P soit vrai

(38)

La logique

I Quantificateurs :

variable libre

P(x) prédicat paramétré par la variablex variable liée

∀x•P(x) P est vrai pour toute valeur dex

∃x•P(x) il y a au moins une valeur de x telle que P soit vrai

∃!x •P(x) il y a une seule valeur dex

∃ x •P(x) telle que P soit vrai

(39)

La logique

Interpr´etation :

I Domaine : d´efini ou pas (cf types)

I Op´erateurs de base : propositions

I Expressions : d´eduction naturelle

(40)

La logique

Interpr´etation :

(41)

La logique

Interpr´etation :

Nom R`egle d’inf´erence

∀-introduction P(a)

∀x•P(x) o`u aest un terme arbitraire

∀-´elimination ∀x•P(x)

P(a) où aest un terme arbitraire Règles de déduction du calcul des prédicats

(42)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Th´eor`emes : exemple de la distribution

I Preuve⇒ propositions

(43)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

I Théorèmes : exemple de la distribution Nom Propriété Formule

P⁰₅ ∀ sur∧ (∀x •P(x)∧Q(x))⇔ (∀x•P(x))∧(∀x •Q(x)) P⁰₆ ∀ sur∨ (∀x •P(x)∨Q(x))⇐

(∀x•P(x))∨(∀x •Q(x)) P⁰₇ ∃ sur∧ (∃x •P(x)∧Q(x))⇒

(∃x•P(x))∧(∃x •Q(x)) P⁰₈ ∃ sur∨ (∃x •P(x)∨Q(x))⇔

(∃x•P(x))∨(∃x •Q(x))

(44)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

(45)

La logique

Propri´et´es :

I Axiomes

(46)

Les types et les ensembles

I Ensemble : collection d’´el´ements

I Types : ensembles disjoints d’´el´ements

I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

I r´ecursifnat::=zero|succhhnatii

(47)

lettres chiffres

a b c d

1 2 3 4 caractères

&

?

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(48)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ |x ≥0•2∗x}

(49)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(50)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(51)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(52)

I vide (polymorphe)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai|faux

I d´eclar´es

(53)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(54)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(55)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(56)

I vide (polymorphe)

I d´eclar´es

(57)

I Op´erateurs

I éléments : égalité, différence

I éléments/ensemble : déclaration de type, appartenance

I ensembles : intersection, union, produit cart´esien, diff´erence, cardinal, puissance...

I exemples

ens =b {1,2,3} alpha::=a|b

1∈ens #ens = 3

ens ⊆IN

IP ens ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} ens×alpha={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} ens ∪IN=IN ∧ ens ∩IN=ens

(58)

I Op´erateurs

I exemples

1∈ens #ens = 3

ens ⊆IN

(59)

I Op´erateurs

I exemples

1∈ens #ens = 3

ens ⊆IN