Les types et les ensembles

Les types et les ensembles

I Ensemble : collection d’´el´ements

I Types : ensembles disjoints d’´el´ements

I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

I r´ecursifnat::=zero|succhhnatii

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I Ensemble : collection d’´el´ements

I Types : ensembles disjoints d’´el´ements

lettres chiffres

I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ |x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ |x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ |x ≥0•2∗x}

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I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai |faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ |x ≥0•2∗x}

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I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai|faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ |x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai|faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai|faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai|faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

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I Diff´erents types

I vide (polymorphe)

I de base (ind´efinis)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

I libres (´enum´erations, intervalles)bool ::=vrai|faux

I d´eclar´es

I extensionnat=b{0,1,2,3,4,5}

I compr´ehensionnat pair =b{x :ZZ|x ≥0•2∗x}

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Les types et les ensembles

Les types et les ensembles

I Op´erateurs

I ´el´ements : ´egalit´e, diff´erence

I ´el´ements/ensemble : d´eclaration de type, appartenance

I ensembles : intersection, union, produit cart´esien, diff´erence, cardinal, puissance...

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Les types et les ensembles

I Op´erateurs

I ´el´ements : ´egalit´e, diff´erence

I ´el´ements/ensemble : d´eclaration de type, appartenance

I ensembles : intersection, union, produit cart´esien, diff´erence, cardinal, puissance...

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I Op´erateurs

I ´el´ements : ´egalit´e, diff´erence

I ´el´ements/ensemble : d´eclaration de type, appartenance

I ensembles : intersection, union, produit cart´esien, diff´erence, cardinal, puissance...

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I Op´erateurs

I ´el´ements : ´egalit´e, diff´erence

I ´el´ements/ensemble : d´eclaration de type, appartenance

I ensembles : intersection, union, produit cart´esien, diff´erence, cardinal, puissance...

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I Op´erateurs

I ´el´ements : ´egalit´e, diff´erence

I ´el´ements/ensemble : d´eclaration de type, appartenance

I ensembles : intersection, union, produit cart´esien, diff´erence, cardinal, puissance...

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Les types et les ensembles

Les types et les ensembles

I Toutes les variables sont typ´ees en Z.

I d´eclaration librex1a,x1b:T1; x2:T2; ...xn:Tn I d´eclaration contrainte

x:ZZ 0≤x

I port´ee de la d´eclaration (global, sch´ema, liaison)

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Les types et les ensembles

Les types et les ensembles

I Toutes les variables sont typ´ees en Z.

I Diff´erents types

I vide∅,{}

I de base [PERSONNE] (global)

I de pr´ed´efinis (ZZ)

arbreBinaire::=FeuillehhEii |Noeud hharbreBinaire×arbreBinaireii

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Les types et les ensembles

I Op´erateurs

I ´el´ements : x∈/ S⇔ ¬(x ∈S)

I ´el´ements/ensemble : ∈

I ensembles :

S ⊆T (∀x:S •x∈T)

IP S S ∈IP T ⇔(∀x•x ∈S⇒x∈T) S×T {x :S;y :T •(x,y)}

S∩T {x :X |x ∈S ∧x∈T} avecS,T :IP X

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Les types et les ensembles

I Op´erateurs

I ´el´ements : x∈/S ⇔ ¬(x ∈S)

I ´el´ements/ensemble : ∈

I ensembles :

S ⊆T (∀x:S •x∈T)

IP S S ∈IP T ⇔(∀x•x ∈S⇒x∈T) S×T {x :S;y :T •(x,y)}

S∩T {x :X |x ∈S ∧x∈T} avecS,T :IP X

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I Op´erateurs

I ´el´ements : x∈/S ⇔ ¬(x ∈S)

I ´el´ements/ensemble : ∈

I ensembles :

S ⊆T (∀x:S •x∈T)

IP S S ∈IP T ⇔(∀x•x ∈S⇒x∈T) S×T {x :S;y :T •(x,y)}

S∩T {x :X |x ∈S ∧x∈T} avecS,T :IP X

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Les types et les ensembles

I Op´erateurs

I ´el´ements : x∈/S ⇔ ¬(x ∈S)

I ´el´ements/ensemble : ∈

I ensembles :

S ⊆T (∀x:S •x∈T)

IP S S∈IP T ⇔(∀x•x∈S⇒x∈T) S×T {x :S;y :T •(x,y)}

S∩T {x :X |x ∈S ∧x∈T} avecS,T :IP X

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Les types et les ensembles

Les types et les ensembles

I Propri´et´es

appartient ∀x •x ∈ {x}

vide ¬ ∃x •x∈ {}

extension (S =T)⇔(∀x•x∈S ⇔x ∈T) pr´edicat x ∈ {y :S |P(y)} ⇔(x ∈S ∧P(x))

motif x ∈ {y:S •t(y)} ⇔(∃y •y ∈S ∧x =t(y))

I Preuve⇒ logique

++ D´etails : [AV01], chapitre 2, section 5

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Les types et les ensembles

I Propri´et´es

appartient ∀x •x ∈ {x}

vide ¬ ∃x •x∈ {}

extension (S =T)⇔(∀x•x∈S ⇔x ∈T) pr´edicat x ∈ {y :S |P(y)} ⇔(x ∈S ∧P(x))

motif x ∈ {y:S •t(y)} ⇔(∃y •y ∈S ∧x =t(y))

I Preuve⇒ logique

++ D´etails : [AV01], chapitre 2, section 5

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I Propri´et´es

appartient ∀x •x ∈ {x}

vide ¬ ∃x •x∈ {}

extension (S =T)⇔(∀x•x∈S ⇔x ∈T) pr´edicat x ∈ {y :S |P(y)} ⇔(x ∈S ∧P(x))

motif x ∈ {y:S •t(y)} ⇔(∃y •y ∈S ∧x =t(y))

I Preuve⇒ logique

++ D´etails : [AV01], chapitre 2, section 5

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