Nombres complexes

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:

1)a) M(z) invariant par f  f(M)=M

B A

z² i

z z² ( 1 i )z i 0 z i z ou z 1 z

2z ( 1 i )

            

 

d’où les points A et B sont les seuls points invariants par f.

b) f(M)=I 

I

z² i 1 i z² i

z 2z( z ( 1 i )) 0

2z ( 1 i ) 2 2z ( 1 i ) z 0 ou z 1 i

  

      

   

   

les antécédents de I sont O et le point d'affixe 1+i.

1) a)

2

z² i

z' i 2z ( 1 i ) i z² i 2iz i( 1 i ) z² 2iz 1 ( z i )² z i

( )

z² i

z' 1 1 z² i 2z ( 1 i ) z² 2z 1 ( z 1 )² z 1

2z ( 1 i )

 

               

         

 

b) ^{z' i} ( ^{z i} )^{2 | z' i |} (^{| z i |})^{2 BM '} ( ^BM )²

z' 1 z 1 | z' 1| | z 1| AM ' AM

   

    

   

z' i z i 2 z i

arg( ) arg( ) [ 2 ] 2 arg( )[ 2 ]

z' 1 z 1 z 1

( AM ' ,BM ' ) 2( AM ,BM )[ 2 ]

 



  

 

  



c) M est sur le cercle de diamètre [AB]

( AM ,BM ) [ ] 2( AM ,BM ) 0[ ] ( AM ' ,BM ' ) 0[ ]

 2  

     

 M' est sur la droite (AB) privée de A et B.

2) a) M  MB=MA  BM'=AM'  M'.

b) le point M' est le centre du cercle circonscrit au triangle AMB.

Exercice 2:

1) =(2cos  +i)²-4(1+sin  +icos  )=4cos² -4sin  -5=4-4sin² -4sin  -5 =[i(2sintt +1)]²

i

i

i i

( 2 cos i ) ( 2i sin i )

z' i cos i sin i e

2

( 2 cos i ) ( 2i sin i )

z'' cos i sin e

2 S { i e ,e }





 

   

    ^



  

     

  

   

 

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www.zribimaths.jimdo.com Page 2 2)



i

i i B

B B i

B

| z i | | e |

z i e z i e [ 0, ]

arg( z i ) arg( e )[ 2 ] [ 2 ] 2 JB 1

[ 0, ] ; J( i ) ( i,JB ) [ 2 ] 2

  



 

  

 

 

  

       

  



 

  

 

 B décrit l'arc LPdu cercle de centre J(0,1) et de rayon 1 ou L(1+i) et P(2i).

 Ona

i i

A O

I

I I

I I

z z i e e 1

z i cos

2 2 2

x cos [ 0, ] 1

2 y

I I 2

1 x [ 0,1]

y 2

 



  

   

   

   

 

 

   

   



I décrit le segment [RQ] avec R(¹i

2 ) et Q(¹i 1 2  ) b)

i( )

i i 2

B

2 2 2 i( )

i i( ) i( ) i( ) i

2 2 2 2 2 2 4

i( )

2 4

z i e i( 1 ie ) i( 1 e )

e e ( e e ) e e 2 cos( )

2 4

2 cos( )e

2 4

 

 

  

    

 

 

 

 



  







     

 

 

 

   

 

 

 

 

on a : 0 0 0 cos( ) 0

2 2 4 4 2 4 2 4

       



             .

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www.zribimaths.jimdo.com Page 3 c)

B A

B A

O, A,B aligniés ( OA,OB ) 0[ ] arg(z ) 0[ ] z

arg z arg z 0[ ] ( ) 0[ ] 3 [ ]

2 4 2 4

2k ; k

6 3

2k 1 2 1

0 0 0 k ; k

2 6 3 2 6 3 2

3 k 1 k 1

4 2

 

   

   

 



   



 

   

          

    

            

      

3) OACB rectangle  OACB est un parallélogramme et ( OA,OB ) [ 2 ] 2

 

 .

 I est le milieu de [OC]  ^zC z_I z_C 2 cos i

2     



3 4k

( OA,OB ) [ 2 ] 2k ; [ 0, ]

2 2 4 2 6 3 2

6

          

 

        

 

 z_C  3i Exercice 3:

1)a)

i 2 i 2 i 2 i 2

i i i

i

i i

i

i i

4( 1 e ) 8( 1 e ) 4( 1 e ) [ 2i( 1 e )]

2( 1 e ) 2i( 1 e ) ( 1 i )( 1 e )

z' i( 1 e )

2( 1 i ) ( 1 i )

2( 1 e ) 2i( 1 e )

z'' 1 e

2( 1 i ) S { 1 e ,i( 1 e )}

   

   

 



 

        

    

   

 

  

  



  

b)

i i i i

i 2 2 2 2

i i i( )

i 2 2 2 2

1 e e ( e e ) 2 cos e ( ]0 [ cos 0 )

2 2 2 2

i( 1 e ) e 2 cos e 2 cos e

2 2

   



   



   

 





      

  

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www.zribimaths.jimdo.com Page 4

O J

I B

I B

O J

I C

J

O

2)

 i

i i 1

1 1 i

1 1

1

| z 1| | e |

z 1 e z 1 e

arg( z 1 ) arg( e )[ 2 ]

IM 1

; I( 1 ) ( i,IM ) [ 2 ]

  

 

 

  

      

 



 

  

 M₁ décrit le demi cercle supérieur privé de O et B(2)

 z2=i(1+e^{i }) = -sin  +i(1+cos  ) donc le point M2 est de coordonnées : ^{x sin}

y 1 cos





  

  



on a : x²+(y-1)²=1  M₂ est sur le cercle de centre J(0,1) et de rayon 1.

Comme: 0 <  <   -1  -sin  < 0 et 0 < 1+cos  < 2 Alors -1  x <0 et 0 < y < 2

Par suite M2 décrit le demi cercle indiqué sur la figure.

3) a)

1 1 2 2

OM | z | 2 cos ; OM | z | 2 cos

2 2

 

   

OM1=OM2 le triangle OM1M2 est isocèle en O.

1 2 2 2 1

1

1 2

( OM ,OM ) arg z [ 2 ] arg z arg z [ 2 ] [ 2 ]

z 2 2 2

( OM ,OM ) [ 2 ] 2

  

  

 

     



 le triangle OM1M2 est rectangle en O.

b) l'affixe du milieu de [OB] est i l'affixe du milieu de [M₁M₂] est

( 1 ei )( 1 i ) 2

  

OM1BM2 est un parallélogramme si et seulement si:

(1+e ^{i })(1+i)=2i  ^{1 ei 2i ei 2i 1 1 i i ei2}

1 i 1 i 1 i

    

       

  

et ]0, [   = 2



2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 5 pour  =

2

 OM1BM2 est un parallélogramme et OM1M2 est un triangle rectangle isocèle en O alors OM₁BM₂ est un carré.

Exercice 4:

1) a) M(z) invariant par f  f(M)=M  z=(1-i)z-1  z=i le point A est le seul point invariant par f.

b)

i i( )

i 4 i 4

4 4 4 i( )

i( ) i( ) i( )

2 8

2 2 2

i( ) i( 3 )

2 8 2 2 8

z' 1 ie 1 e e 1 e 1

2

e e e e 2i sin( )

2 8

2 sin( )e 2 sin( )e

2 8 2 8

  

 

  

    

    

 

   

 

  





  

      

 

 

 

   

 

 

 

   

on a : 3 sin( ) 0

2 4 2 2 8 2 8 8 2 8

                    . 2) a)

arg( z') arg(( 1 i )z 1 )[ 2 ] arg(( 1 i )( z 1 ))[ 2 ] 1 i

arg( 1 i ) arg( z 1 i)[ 2 ] ( i,BM )[ 2 ]

2 4

 

  

     



       

b)

z' * arg z' [ 2 ] ( i,BM ) [ 2 ]

4 ( i,BM ) 5 [ 2 ]

4

    

 

       

 

par suite E=[BA)\{B}.

3) z'=z-iz-1  z'-z=i(i-z)

 |z'-z|=|i||i-z|  |z'-z|=|i-z|  MM' =MA donc MAM' est isocèle en M.

 arg(^{z' z} ) arg i[ 2 ] ( MA,MM ' ) [ 2 ]

i z 2

  

   



d'ou MAM' est rectangle en M.

b)

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 Étant donnée un point M , on place le point M' tel que MAM' est un triangle direct rectangle isocèle en M. (

( M , ) 2

M ' r _ ( A ))

 z''= z' par suite M'' =

( O,i )

S (M').

étant donnée un point M, on place le point M' puis le point M''=S_{( O,i )}(M')

Exercice 5:

1) =  4 4( 1 e ^2i ) 4e2i ( 2ie )^{i 2}

i i

i i

2i 2ie 2i 2ie

z' i ie ; z'' i ie

2 2

 

 

 

     

i i

S  { i ie ,i ie }^  ^ 2) a)

i i i

i i 2 2 2

i i

i i i

2 2 2

2i sin

z'' i ie 1 e e ( e e ) 2 itg

z' i ie 1 e 2 cos 2

e ( e e ) 2

  

 

    

 







   

     

 

 b) ^{z' z''} i et ^{zA zO} i

2 2

   

 OM'AM'' est un parallélogramme.

( OM ' ,OM '' ) arg z''[ 2 ] arg( itg )[ 2 ] [ 2 ]

z' 2 2

 

  ^ 

   

 OM'AM'' est un rectangle.

c) on a : ^z'' tg ^{OM ''}

z' 2 OM '

  

pour que OM'AM'' soit un carré il suffit que OM'=OM''

OM ' OM '' tg 1 k k

2 2 4 2 2

comme 2 3

2

      

    

        

   

si ³

2

    OM'AM'' est un carré.

d)

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i( )

i( ) 2

i 2

i( )

2

| z' i | | e | 1 z' i ie e

arg( z' i ) arg( e )[ 2 ] JM ' 1

J( i ) ( i,JM ' ) [ 2 ]

2

3 5

comme 2 ( i,JM ' )

2 2

 

 



 



  

 

  

 



   

    

  



 

 

  

    

par suite M' décrit l'arc OA du cercle de centre J et de rayon 1 privé des points O et A.

Exercice 6:

1/a/ = e^2i(12-16i)=e^2i(4-2i)² d’où une racine de  est = e ^i(4-2i) z’’= 2e ^{(i 1)}

2 ) i 2 4 e ( ie

2 ^i ^i   _i  ; z’= 2e 2

) i 2 4 e ( ie

2 ^i ^i   _i. en fin SC={z’, z’’}.

2/ a/ on a OM’=|2e^i|=2 d’où M’ appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

b/ N=r(M’) alors n=iz’=2ie^i.

c/ on a aff(^M'O)= -2e^i et aff(^NM'')=-2e^i d’où ^M'O=^NM'' et par suite M’OM’’N est un parallélogramme.

d/ on a : ^M'O=^NM'' d’où ^t _M'O(N)=M’’ et par suite M’’= ^t _M'O o r (M’) M’ étant donné on place le point M’’= ^t _M'O o r (M’).

3/a/ -2(1-i)e^i=e^i 2 2e^-i4

 e^i=22 e^i(+ 4 3 ₎

.

b/ on a z’’= 22 e^{i(+34 )} signifie OM’’=22 et = (u,OM^ '')³₄^[2^]

Si ]0,

2

 [ alors M’’ est sur le cercle de centre O et de rayon 22 et est tel que

]-

4 3 ,-

4

 [.

4/a/ les racines cubiques de -2(1-i)e^i sont les racines dans C de l’équation u³= -2(1-i)e^i

on pose u= re^i d’où r ³ e^3i=22 e^i(+ 4 3 ₎

 r³=22 et 3=+

4

3 +2k, kZ

d’où u { 2 e ⁱ⁽3

₊ 4

 ₎

; 2eⁱ⁽3

 ₊ 12 11 ₎

; 2e ⁱ⁽3

₊ 12 19 ₎

} b/ x]0,2[\{} ;

e ) 1 ( 2 z 2 2e

z 1 z 2

ix

ix   

  ( on a :

2 gx cot i

2 gx cot i e^ix





  )

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O

O A

II

A J

M K M'

H N

2 gx cot i

2 gx cot i 1

1 2

z 2





 



 .

i 2

2 i gx cot 2 z 2



 



⁾

2 gx cot 1 4 ( z 2 

 .

c/ (2z-1)³=(-2+2i)e^iz³   ) z

1 z ( 2

3 (-2+2i)e^i  u³=(-2+2i)e^i avec

u= z

1 z 2 

 u{ 2 e ⁱ⁽3

 ₊ 4

 ₎

; 2eⁱ⁽3

 ₊ 12 11 ₎

; 2e ⁱ⁽3

 ₊ 12 19 ₎

}

 z { ₄^{2(1icotg(}₆^₈⁾⁾ ; ₄^{2(1icotg(}₆^11₂₄^)) ; ₄^{2(1icotg(}₆^19₂₄^{ ))}} Exercice 7:

1/a/ [IJ] étant un diamètre de  et N\{I,J} alors INJ est rectangle en N.

b/ tIR\{

2

 +k ,kZ} ;

on pose : u

e i e i i e

i e ie 1

ie 1 ) e i e (

) e i e ( e i e i

u _{it it it}^it _it^it _it^it

it it it

it 



 

 





 



 



  _^ _^ _^ _^

d’ou u est imaginaire pur.

2/a/ on a r(A)=I alors  ‘ est le cercle de centre I et de rayon 1 b/ z’-zO= eⁱ2

 (z-zO) d’ou z’=iz.

c/ zK=izH d’ou zH =1-i.

3/a/ on a ^OMOAOHalors ^{aff(OM)aff(OA)aff(AM)} d’ou z=1+e^i.

b/

e i e i i i e

e 1 i i e 1 1

i 1 e ) 1 ( i ) i 1 ( z

) i 1 ( iz ) i 1 ( z

) i 1 ( ' z

i i i i i

i



 



 











 







 



















 . c/ on a M  {H,K} alors  {

2

 +k ,kZ} d’ou

e i e i

i i







 est imaginaire pur alors i

e i e i

i i





 est réel alors arg(i

e i e i

i i







 )=0[] alors arg (^z_z^'_^₍⁽₁¹_^_iⁱ₎⁾)=0[] et (MH r(M)r(H) M’K) alors (KM^,KM'⁾⁰[] d’ou K, M et M’ sont alignés.

d/ on a : M d’ou M’ ’ et M’ (MK)\{K} d’ou M’= ‘ (MK)\{K}.

on trace la droite (MK), elle coupe le cercle  ‘ en K et un deuxième point M’.

Exercice 8 :

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www.zribimaths.jimdo.com Page 9 1/ M(z) est invariant par f  f(z)=z  z=

 cos 2 z 2

1

² z



  z²-2cos z +1=0 ’=cos² -1= - sin² une racine carrée de ’ est  = i sin.

Z’= cos -i sin ; z’’= cos +i sin

d’où f admet deux points invariants A(e^i) et B(e ^-i) .

2/a/ 2cos e ^i-1= 2cos² -1+2i cos sin = cos2 +1 sin2 = e ^2i. b/

e )² z (

e )² z ( e

ze 2

² z

e ze 2

² z cos e

e 2 z 2 1

² z

cos e e 2

z 2 1

² z ' e

z ' e z

i i i

2 i

i 2 i i

i

i i

i i







































 

 







 











 



 = )²

z e z e

( _i

i





 



c/ 



 e

' z

' e z

i i





)² z e

z e

( _i

i





 

 

MA)² (MB A ' M

B ' et M

] 2 )[ MA , MB 2( ) A ' M , B ' M

( ^  ^   .

3/ a/si M appartient au cercle de diamètre [AB] 

] 2 ) [ A ' M , B ' M ] (

2 2 [ ) MA , MB

(    





 ^



 M [AB].

b/ soit E’=f(E) ; zEIR  zE’IR d’où E  (O,_e1) et d’après 3/a/ E’ [AB]

alors {E’}=[AB] (O,_e1).

mais A et B sont symétriques par rapport à (O,_e1) alors (O,_e1) est la médiatrice de [AB] alors

[AB] (O,_e1) est le milieu de [AB] ; en fin E’=A*B De même pour le point F

En conclusion f(E)=f(F)=A*B 4/on a (M'B^,M'A) 2(MB^,MA)[2]

or (IB^,IA) 2(MB^,MA)[] alors (M'B^,M'A)(IB^,IA)[]

d’où M’, A, B et I sont alignés ou sur un même cercle.

Exercice 9 :

1/ z1 ; P(z)(1-z)=(1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶)(1-z)=1-z⁷

z 1 1 z ) z ( P

; 1 z

7



 





2/ les racines septièmes de l’unité sont les racines dans C de l’équation z⁷=1 on pose z= re^i rIR+ et IR ; z⁷=1  r⁷=1 et 7=2k, kZ

 r=1 et  =

7 k 2 

, kZ.

d’ou z  {1, e ,e ,e ,e ,e ,_e ⁷

i 12 7

i 10 7 i 8 7 i 6 7

i 4 7 i

2     

}.