Théorie des ensembles
Introduction à la sémantique
Exercice 1
Soit A={a;b;d;{b};{e;f};g;i},B ={b;c;d;e}
etC={{a;c};{a;e;h;j};d;e;i}.
1. Calculez :
(a) A∩B,A∩C,B∩C,A∩B∩C; (b) A∪B,A∪C,B∪C,A∪B∪C; (c) ArB,ArC;
(d) ℘(B) ;
2. Déterminez l’extension d’un ensembleDqui vérifie à la fois les conditions suivantes :D⊂A, D6⊂B,D∩C =∅et|D|= 3.
Exercice 2
Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : 1. {a;b;c} ⊂ {{a;b;c}}
2. {a;b} ∈℘({a;b;c;d})
3. {a;d} ⊂ {a;b;d;{a;b;c};{{a;c};{b;d}}}
4. {b;d} ∈ {a;b;d;{a;b;c};{{a;c};{b;d}}}
5. {a;c} ⊂ {a;b;d;{a;b;c};{{a;c};{b;d}}}
Exercice 3
SiA est un ensemble non vide, que signifieB ⊂℘(A) ?
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Solutions
Exercice 1 1. A={a;b;d;{b};{e;f};g;i},B ={b;c;d;e}
etC={{a;c};{a;e;h;j};d;e;i}.
(a) Intersections. On prend chaque élément d’un des deux ensembles (choisissez le plus petit) et on regarde s’il est aussi dans l’autre ensemble ; si oui, on le met dans l’ensemble résultat.
i. A∩B={b;d}, ii. A∩C={d;i}, iii. B∩C ={d;e}, iv. A∩B∩C={d};
(b) Unions. On recopie dans l’ensemble résultat tous les éléments des deux ensemble (mais en enlevant les doublons).
i. A∪B={a;b;c;d;{b};{e;f};g;i;e},
ii. A∪C={a;b;d;{b};{e;f};g;i;{a;c};{a;e;h;j};e}, iii. B∪C ={b;c;d;e;{a;c};{a;e;h;j};i},
iv. A∪B∪C={a;b;c;d;e;{b};{e;f};g;i;{a;c};{a;e;h;j}},
(c) Différences. On prend chaque élément du premier ensemble, et s’il n’apparaît pas dans le second, on le met dans l’ensemble résultat.
i. ArB ={a;{b};{e;f};g;i}, ii. ArC ={a;b;{b};{e;f};g};
(d) ℘(B) ={∅;{b};{c};{d};{e};{b;c};{b;d};{b;e};{c;d};{c;e};{d;e};{b; c;d};{b;c;e};{b;d;e};{c;d;e};{b;c;d;e}};
2. D⊂A,D6⊂B,D∩C =∅et|D|= 3.
Plusieurs réponses possibles : D={a;b;{b}}
D={a;b;g}
D={a;{e;f};g}
D={{b};{e;f};g}
D={b;{e;f};g}
etc.
Exercice 2
1. {a;b;c} ⊂ {{a;b;c}} :faux
Car aucun élément de{a;b;c}n’est un élément de{{a;b;c}}. Les éléments de{a;b;c}
sonta,betc, alors que {{a;b;c}} n’a qu’un seul élément {a;b;c}.
2. {a;b} ∈℘({a;b;c;d}) : vrai
℘({a; b ;c ; d}) est l’ensemble de tous les sous-ensembles de {a ;b ; c ;d}; ses éléments sont∅,{a}, {b},{c}, {d},{a;b}, {a;c}, {a;d},{b;c}, etc. jusqu’à{a;b;c;d}. Donc {a;b} est bien un de ces éléments.
3. {a;d} ⊂ {a;b;d;{a;b;c};{{a;c};{b;d}}} :vrai Car aappartient bien à l’ensemble de droite etdaussi.
4. {b;d} ∈ {a;b;d;{a;b;c};{{a;c};{b;d}}} :faux
Car{b;d}n’est pas un élément de l’ensemble de droite. Dans l’ensemble de droite on trouve l’élément{{a;c};{b;d}}, mais pas {b;d} tel quel.
5. {a;c} ⊂ {a;b;d;{a;b;c};{{a;c};{b;d}}} :faux Car cn’est pas un élément de l’ensemble de droite.
Exercice 3 B ⊂℘(A) signifie queB est un ensemble de sous-ensembles deA.
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