Notation
La proposition “x ∈X” se lit “x est un élément deX”, “x appartient àX” ou “x est dans X”.
L’ensemble vide∅est l’ensemble n’ayant aucun élément.
Remarque
Valeur vérité de “∀x ∈ ∅,P(x)” et “∃x∈ ∅,P(x)”.
� Inclusion:Aest inclus dansB, noté A⊂B, si tout élément de A est aussi un élément deB.
Définition
SoitAet B deux ensembles.
� Inclusion:Aest inclus dansB, noté A⊂B, si tout élément de A est aussi un élément deB.
� Egalité :Aet B sont égaux, notéA=B, s’ils ont les mêmes éléments.
� Inclusion:Aest inclus dansB, noté A⊂B, si tout élément de A est aussi un élément deB.
� Egalité :Aet B sont égaux, notéA=B, s’ils ont les mêmes éléments.
� Complémentaire : le complémentaire deAdans B, noté B\A (se lit "B moins A"), est composé des éléments deB qui ne sont pas dans A. Aussi noté �B(A)ou A.
Définition
SoitAet B deux ensembles.
� Inclusion:Aest inclus dansB, noté A⊂B, si tout élément de A est aussi un élément deB.
� Egalité :Aet B sont égaux, notéA=B, s’ils ont les mêmes éléments.
� Complémentaire : le complémentaire deAdans B, noté B\A (se lit "B moins A"), est composé des éléments deB qui ne sont pas dans A. Aussi noté �B(A)ou A.
� Intersection : l’intersection deA etB, notée A∩B ("Ainter B"), est composée des éléments qui appartiennent à la fois à A etB.
� Inclusion:Aest inclus dansB, noté A⊂B, si tout élément de A est aussi un élément deB.
� Egalité :Aet B sont égaux, notéA=B, s’ils ont les mêmes éléments.
� Complémentaire : le complémentaire deAdans B, noté B\A (se lit "B moins A"), est composé des éléments deB qui ne sont pas dans A. Aussi noté �B(A)ou A.
� Intersection : l’intersection deA etB, notée A∩B ("Ainter B"), est composée des éléments qui appartiennent à la fois à A etB.
� Réunion: la réunion deA etB, notéeA∪B ("B unionA"), est composée des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux simultanément.
Exemple
On considère les ensemblesA= [−1,2[ etB = [0,3]. A-t-on A⊂B ou B ⊂A? ExpliciterA∩B etA∪B,A\B et B\A.
SoitAet B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
� A⊂B ≡ ∀a∈A,a∈B
� A⊂B ≡ (x ∈A) ⇒ (x ∈B)
� A⊂B ≡ (x ∈A) ⇒ (x ∈B)
� A=B ≡ (A⊂B)et(B ⊂A)
SoitAet B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
� A⊂B ≡ ∀a∈A,a∈B
� A⊂B ≡ (x ∈A) ⇒ (x ∈B)
� A=B ≡ (A⊂B)et(B ⊂A)
� A=B ≡ (x ∈A) ⇔ (x ∈B)
� A⊂B ≡ (x ∈A) ⇒ (x ∈B)
� A=B ≡ (A⊂B)et(B ⊂A)
� A=B ≡ (x ∈A) ⇔ (x ∈B)
� x ∈ A\B ≡ (x∈A)et(x ∈/B)
SoitAet B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
� A⊂B ≡ ∀a∈A,a∈B
� A⊂B ≡ (x ∈A) ⇒ (x ∈B)
� A=B ≡ (A⊂B)et(B ⊂A)
� A=B ≡ (x ∈A) ⇔ (x ∈B)
� x ∈ A\B ≡ (x∈A)et(x ∈/B)
� x ∈ A∩B ≡ (x ∈A)et(x∈B)
� A⊂B ≡ (x ∈A) ⇒ (x ∈B)
� A=B ≡ (A⊂B)et(B ⊂A)
� A=B ≡ (x ∈A) ⇔ (x ∈B)
� x ∈ A\B ≡ (x∈A)et(x ∈/B)
� x ∈ A∩B ≡ (x ∈A)et(x∈B)
� x ∈ A∪B ≡ (x ∈A)ou(x∈B)
Définition
SoitE un ensemble, l’ensemble des parties deE, noté P(E), est l’ensemble de tous les ensembles inclus dansE.
Exemple.Ensemble des parties de l’ensemble vide ? De l’ensemble {0,1,2}?
Cardinal de cet ensemble lorsqueE est fini ?
une partie deE, alors on peut définir : la réunion �
i∈I
Ai : x∈�
i∈I
Ai ⇔ ∃i ∈I, x ∈Ai
l’intersection �
i∈I
Ai : x ∈�
i∈I
Ai ⇔ ∀i ∈I, x∈Ai
Définition
SoitE etI deux ensembles, pour touti ∈I on suppose que Ai est une partie deE, alors on peut définir :
la réunion �
i∈I
Ai : x∈�
i∈I
Ai ⇔ ∃i ∈I, x ∈Ai
l’intersection �
i∈I
Ai : x ∈�
i∈I
Ai ⇔ ∀i ∈I, x∈Ai
Exemple.Décrire �
n∈N
[n,n+1[ et �
n∈N
� 0,1
n
� .
couples de la forme(e f) où e ∈E etf ∈F.
Définition
Leproduit cartésienE×F est l’ensemble formé par tous les couples de la forme(e,f) où e ∈E etf ∈F.
Exemple.L’ensembleR×R, aussi notéR2 est l’ensemble R×R={(x,y) : x,y ∈R}
qui est une représentation du plan... cartésien !
une partie deE ×F. On dit alors quee est en relation avec f, qu’on noteeRf, si et seulement si (e,f)∈G :
eRf ⇔(e,f)∈G QuandF =E, on parle de relation sur E.
Définition
UnerelationRdeE vers F est donnée par son grapheG qui est une partie deE ×F. On dit alors quee est en relation avec f, qu’on noteeRf, si et seulement si (e,f)∈G :
eRf ⇔(e,f)∈G QuandF =E, on parle de relation sur E.
Exemple.On représente le graphe de la relation ≤sur l’ensemble E ={0,1,2}.
propriété que tout élémente ∈E est en relation avec au plusun élémentf ∈F par ϕ.
Définition
Unerelation d’ordreRsurE est une relation qu’on note souvent ≤ (ou≥) et qui vérifie les trois propriétés :
� réfléxivité :∀e ∈E, e ≤e
� antisymétrie :
∀e ∈E,∀f ∈E, ((e ≤f)ET (f ≤e)⇒e =f
� transitivité :
∀e ∈E,∀f ∈E,∀g ∈E, ((e ≤f)ET (f ≤g)⇒(e ≤g)
(ou≥) et qui vérifie les trois propriétés :
� réfléxivité :∀e ∈E, e ≤e
� antisymétrie :
∀e ∈E,∀f ∈E, ((e ≤f)ET (f ≤e)⇒e =f
� transitivité :
∀e ∈E,∀f ∈E,∀g ∈E, ((e ≤f)ET (f ≤g)⇒(e ≤g) Exemple.L’ordre usuel≤ surRest une relation d’ordre.
L’ordre alphabétique est un ordre sur les mots.
Définition
SoitF ⊂E un sous-ensemble non vide. Un élément e deE est un
� unminorant deF si :∀f ∈F, e ≤f,
� unmajorant deF si :∀f ∈F, e ≥f.
SiE =F, on note min{E} le minorant deE etmax{E} le majorant deE quand ils existent.
� On appelle infimum de F le plus grand minorant de F (par convention−∞ siF n’a pas de minorant). Il est noté inf{F}.
� On appelle suprémum deF le plus petit majorant deF (par convention+∞ siF n’a pas de majorant). Il est noté sup{F}.
Définition (Fonction numérique)
Unefonction numériquef est une fonction deRdansR. C’est un procédé qui à tout nombre réelx d’un sous-ensemble Df
deR associe un unique nombre réel noté f(x). On écrit alors :
f: Df →R x�→f(x)
L’ensembleDf est appeléensemble de définition def.
� La fonction valeur absolue| · |:x�→|x|
� La fonction partie entière E :x�→E(x)
� La fonction inverse f :x�→ x1
