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Théorie des ensembles

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Université d’Eleuthéria-Polites

Cours de Licence—/

Bruno Deschamps Version.

"There mube some way out of here" said the joker to the thief

"There’s too much confusion", I can’t get no relief Businessmen, they drink my wine, plowmen dig my earth None of them along the line know what any of it is worth.

"No reason to get excited", the thief he kindly spoke

"There are many here among us who feel that life is but a joke But you and I, we’ve been through that, and this is not our fate So let us not talk falsely now, the hour is getting late".

All along the watchtower, princes kept the view While all the women came and went, barefoot servants, too.

Outside in the diance a wildcat did growl Two riders were approaching, the wind began to howl.

Table des matières

 Eléments de théorie des ensembles 

. Introduion au calcul propositionnel . . . 

.. Aspesyntaxique . . . 

.. Aspesémantique . . . 

. Ensembles . . . 

.. Généralités . . . 

.. Ensemble des parties . . . 

.. Produit cartésien . . . 

 Applications 

. Généralités . . . 

. Image diree et réciproque . . . 

. Injeivité, surjeivité, bijeivité . . . 

. Caraérisation de l’injeivité et de la surjeivité . . . 

 Relations binaires 

. Généralités . . . 

. Relations d’équivalence . . . 

. Partitions et relations d’équivalences . . . 

. Représentation matricielle d’une relation binaire . . . 

 Ordres 

. Généralités . . . 

.. Ensembles ordonnés . . . 

.. Eléments remarquables . . . 

. Treillis . . . 

. Ensembles complets et bien fondés . . . 

.. Principe d’induion Noethérienne . . . 

.. Ensembles complets . . . 

 Cardinalité 

. Le dénombrable . . . 

.. Propriétés axiomatiques deN . . . 

.. Arithmétique surN. . . 

.. Ensembles finis . . . 

.. Analyse combinatoire . . . 

. Ensembles infinis . . . 

.. Cardinalité . . . 

.. Ensembles dénombrables . . . 

Chapitre 

Eléments de théorie des ensembles

 .  Introdu ion au calcul propositionnel

.. Aspe syntaxique

On se donne une colleion de symbôlesA, B, C· · ·que l’on appelle "formules atomiques" à laque- lle on rajoute les cinq symbôles¬(négation),∧(conjonion),∨(disjonion), =⇒(implication),⇐⇒

(équivalence) que l’on appelle "conneeurs". On rajoute finalement les deux symbôles ( et ) On considère les "ensembles"E de suites finis de symbôles vérifiant :

/ Les formules atomiques sont des éléments deE.

/ SiP etQsont des éléments deE, alors¬(P), (P)∧(Q), (P)∨(Q), (P) =⇒(Q), (P)⇐⇒(Q) sont aussi éléments deE.

Parmis ces ensembles, il en exie un plus petit au sens de l’inclusion. On l’appelle l’ensemble des formules du calcul propositionnel et ses éléments sont appelés des "formules".

Convention : Lorsqu’une formule atomiqueAapparait dans une formule, on omet les parenthèses autour deA. Par exemple, on note¬Aà la place de¬(A).

Exemples :/ (¬(A=⇒A))∨(C=⇒(A⇐⇒(B∧(¬A)))) eune formule.

/A=⇒B=⇒Cn’epas une formule.

Théorème.—(Principe d’induion)SoitC l’ensemble des formules du calcul propositionnel etC0⊂C un sous-ensemble. Si

/ Toute formule atomique appartient àC0.

/ SiP etQsont des formules dansC0alors les formules¬(P),(P)∧(Q),(P)∨(Q),(P) =⇒(Q),(P)⇐⇒(Q) sont dansC0.

alors on aC₀=C.

Corollaire.—(Preuve par induion)SoitP une propriété relative aux formules du calcul proposition- nel. Si/P evraie pour toutes les formules atomiques.

/ SiPevraie pour les formulesP etQalors elle eaussi vraie pour les formules¬(P),(P)∧(Q),(P)∨(Q), (P) =⇒(Q),(P)⇐⇒(Q)sont dansC0.

alorsP evraie pour toutes les formules du calcul propositionnel.

Exercices.—Montrer que dans une formule du calcul propositionnel, le nombre de parenthèses ouvrantes eégal au nombre de parenthèses fermantes.





 .  .  Aspe sémantique

On noteA, B, C· · ·les formules atomiques qui prennent la valeur 0 (faux) ou 1 (vrai). A toute formule, on on affee une valeur 0 ou 1 en fonion de celles prises parA, B, C· · ·, le tout étant assujeti aux règles sémantiques suivantes :

•Négation.¬P

P 0 1

¬P 1 0

•Conjonion.P∧Q

Q\P 0 1

0 0 0

1 0 1

•Disjonion.P∨Q

Q\P 0 1

0 0 1

1 1 1

•Implication.P =⇒Q

Q\P 0 1

0 1 0

1 1 1

•Equivalence.P ⇐⇒Q

Q\P 0 1

0 1 0

1 0 1

La "fonion" qui à une formuleP associe sa valeur en fonion des valeurs prises par les formules atomiques, s’appelle la "table de vérité" deP.

Définition.—On appelle tautologie toute proposition qui ne prend que la valeur 1quelle que soit la valeur des propositions élémentaires qu’elle contient.

Exemples.—P∨ ¬(P),P =⇒P, 0 =⇒P. Exercices.—Montrer que la formule

((A⇒B)∧(B⇒C)) =⇒(A⇒C) eune tautologie.

Définition.—Deux propositions sont dites équivalentes si elles ont même table de vérité.

Théorème.—SoitP etQdeux propositions ayants les même propositions élémentaires. AlorsP etQont même table de vérité si et seulement siP ⇐⇒Qeune tautologie.

Théorème.—Quelques équivalences remarquables :

/(¬(¬(P)))⇐⇒(P)(caraère involutif de¬).

./(P∧Q)⇐⇒(Q∧P)(commutativité de∧).

./(P∨Q)⇐⇒(Q∨P)(commutativité de∨).

./(P ⇐⇒Q)⇐⇒(Q⇐⇒P)(commutativité de⇐⇒).

./(P∧P)⇐⇒P (idempotence de∧).



./(P∨P)⇐⇒P (idempotence de∨).

./((P ∧Q)∧R)⇐⇒(P∧(Q∧R))(associativité de∧).

./((P ∨Q)∨R)⇐⇒(P∨(Q∨R))(associativité de∨).

./(¬(P ∧Q))⇐⇒((¬P)∨(¬Q))(∨et∧sont des conneeurs duaux par¬).

./(¬(P ∨Q))⇐⇒((¬P)∧(¬Q)).

./(P∧(Q∨R))⇐⇒((P∧Q)∨(P ∧R))(diributivité de∧sur∨).

./(P∨(Q∧R))⇐⇒((P∨Q)∧(P ∨R))(diributivité de∨sur∧).

./(P ⇒Q)⇐⇒((¬P)∨Q).

./(P =⇒Q)⇐⇒(¬Q=⇒ ¬P)(contraposée).

./(P =⇒Q)⇐⇒[(P ∧ ¬Q) =⇒0](preuve par l’absurde).

/(P ⇐⇒Q)⇐⇒((P =⇒Q)∧(Q=⇒P)).

Théorème.—Toute formule du calcul propositionnel équivaut à une conjonion de disjonions (resp.

à une disjonion de conjonions) de formules atomiques.

Preuve :S’obtient par induion.

Exercices.—Mettre sous forme de disjonions de conjonions, puis sous forme de conjonions de disjonions l’énoncé suivant:

(A⇐⇒B) =⇒[(C=⇒B) =⇒(C=⇒A)]

 .  Ensembles

.. Généralités

•On appelleensembleune colleion d’objets assujétie à certaines contraintes que nous n’énoncerons pas ici. Les objets de cette colleion s’appelle les éléments de l’ensemble. SiEeun ensemble et si

· · · sont ses éléments, on note alorsE={· · · }ou alors on représenteEpar une patate (ce qui eplus visuel, car l’ordre d’énumération des éléments d’un ensemble n’a aucune importance).

•L’ensemble qui ne contient aucun élément eappellél’ensemble videet enoté∅ou parfois{}. On remarquera bien queE={∅}n’epas l’ensemble vide puisqu’il contient un élément.

•SiEeun ensemble et sixeun objet, on écrirax∈Epour symboliser le fait que x eélément de E, et on écrirax<Epour symboliser le fait que x n’epas élément deE.

•SiEeun ensemble et siP désigne une propriété pourtant sur les éléments de l’ensembleE, on écrira

∀x∈E P(x) pour dire "pour toutxla propriétéP(x)" de même, on écrira

∃x∈E P(x) pour dire "il exiextel que la propriétéP(x)".

Les symbôles∀et∃s’appellent des quantificateurs (respeivement universel et exientiel). On enrichit alors le calcul propositionnel de ces quantificateurs. On a alors

• ¬(∀x∈E, P(x))⇐⇒ ∃x∈E, ¬P(x).

• ∀x∈E, ∀y∈E, P(x, y)⇐⇒ ∀y∈E, ∀x∈E, P(x, y) (idem pour∃).

• ∃y ∈E, ∀x∈E, P(x, y) =⇒ ∀x∈E, ∃y ∈E, P(x, y) (donner un exemple pour montrer que la ré- ciproque n’epas toujours vraie).

 Exercices .— Etudier le caraère diributif ou non des quantificateurs sur la conjeion et la disjonion.

Définition.—SoitAetBdeux ensembles. Si tout élément deAeun élément deB, on dit queAe un sous-ensemble deBet l’on noteA⊂B.

i.e. A⊂B⇐⇒ ∀x∈A, x∈B

On dit que deux ensemblesAetBsont égaux et l’on noteA=BsiA⊂BetB⊂A.

SiA⊂BetA,Bon parle d’inclusionrie et l’on noteA B,

Exemple.—SoitE={x, y,{x, y}}etA={x, y}. On a alors à la foisA∈EetA⊂E.

Définition.—SoientAetBdeux ensembles. On appelle réunion deAet deBl’ensemble, notéA∪B, conitué des éléments appartenant àAou àB

i.e.x∈A∪B⇐⇒x∈A ou x∈B

De même, On appelle interseion deAet deBl’ensemble, notéA∩B, conitué des éléments appartenant àAet àB

i.e.x∈A∩B⇐⇒x∈A et x∈B

Proposition.—SoitA, B, Ctrois ensembles. On a

./A∪B=B∪A(commutativité de∪).

./A∩B=B∩A(commutativité de∪).

./A∪A=A(idempotence de∪).

./A∩A=A(idempotence de∩).

./(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(associativité de∪).

./(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(associativité de∩).

./A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)(diributivité de∩sur∪).

./A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)(diributivité de∪sur∩).

Définition.—SoitEun ensemble etAun sous-ensemble deE. On appelle complémentaire deAdans El’ensemble, noté

C

EA, conitué des éléments deEqui n’appartiennent pas àA.

Proposition.—SoitEun ensemble etA, Bdes sous-ensembles deE. On a:

/

C

E(

C

EA) =A(caraère involutif de

C

E).

/ siA⊂Balors

C

_EB⊂

C

_EA(

C

_Erenverse les inclusions).

./

C

_E(A∪B) = (

C

_EA)∩(

C

_EA)(

C

_Edualise∪en∩).

./

C

_E(A∩B) = (

C

_EA)∪(

C

_EA)(

C

_Edualise∩en∪).

Définition.—SoientEetF deux ensembles. On appelle différence deEparFl’ensemble, notéE−F, conitué des éléments deEqui ne sont pas éléments deF.

Exemple.— Soient 5N={0,5,10,· · · } l’ensemble des entiers multiples de 5 et 3N={0,3,6,· · · } l’ensemble des entiers multiples de 3. L’ensemble 5N−3Nedonc conitué des entiers multiples de 5 qui ne sont pas multiples de 3. Or, les entiers multiples de 5 et multiples de 3 sont exaement les entiers multiples de 15. On en déduit donc que :

5N−3N=

C

₅N15N={5,10,20,25,35,· · · } Proposition.—SoientE, F, Gtrois ensembles. On a

/E−F=

C

EE∩F=

C

E∪FF,



/E−(F∪G) = ((E∪G)−F)∩((E∪F)−G),

./E−(F∪G) = (E−F)∩(E−G),

./E−(F∩G) = (E−F)∪(E−G).

Exercices.—

.—SoitI un ensemble. A touti∈Ion associe un ensembleX_i. On dit alors que la colleion (X_i)_i∈I

eune famille d’ensembles indexée par l’ensembleI (et queI eun ensemble d’indices). On note

alors : [

i∈I

Xi={x,∃i∈I, x∈Xi}

\

i∈I

X_i={x,∀i∈I, x∈X_i}

Lorsque tous lesXi sont des parties d’un même ensembleX, on dit que (Xi)i∈I e une famille de parties deXindexée parI.

a) SoitI=∅et (X_i)_i∈I une famille de parties d’un ensembleEindexée par l’ensembleI. Que valent S

i∈IX_i etT

i∈IX_i ?

b) SoitI un ensemble et (I_λ)_λ∈Λune famille de parties deI telle queS

λ∈ΛI_λ=I. Considérons une famille d’ensembles (X_i)_i∈I indexée par l’ensembleI. Montrer que :

[

i∈I

Xi =[

λ∈Λ









 [

i∈I_λ

Xi











\

i∈I

Xi =\

λ∈Λ











\

i∈I_λ

Xi











c) Soient (Xi)i∈I et (Yj)j∈Jdeux familles d’ensembles indexées parI etJ non vide. Montrer que :







 [

i∈I

X_i









∩









 [

j∈J

Y_j











= [

(i,j)∈I×J

X_i∩X_j









\

i∈I

X_i









∩











\

j∈J

Y_j











= \

(i,j)∈I×J

X_i∪X_j







 [

i∈I

Xi









×









 [

j∈J

Yj











= [

(i,j)∈I×J

Xi×Xj









\

i∈I

X_i









×











\

j∈J

Y_j











= \

(i,j)∈I×J

X_i×X_j

d) Soit (X_i)_i∈I une famille de parties d’un ensembleX. Montrer que X−[

i∈I

X_i=\

i∈I

(X−X_i)

X−\

i∈I

Xi=[

i∈I

(X−Xi)

e) Soit (X_i,j)_(i,j)∈I×June famille de parties d’un ensembleX. Montrer que [

i∈I

\

j∈J

Xi,j⊂\

j∈J

[

i∈I

Xi,j



et prouver, en donnant un exemple, que cette inclusion peut êtrerie.

.—SoitEun ensemble etA, B, Ctrois parties deE.

a) Montrer que

B=C ⇐⇒

( A∪B = A∪C A∩B = A∩C b) Montrer queA=Bsi et seulement siA∩B=A∪B.

.—SoitEun ensemble etA, B, C, Ddes parties deE. Etablir les formules suivantes : a)A∪B= (A−B)∪B= (B−A)∪A.

b)A−B=C_A(A∩B) =A−(A∩B) = (A∪B)−B.

c)A−(B∪C) = (A−B)∩(A−C).

d)A−(B∩C) = (A−B)∪(A−C).

e) (A−B)−C=A−(B∪C).

f)A−(B−C) = (A−B)∪(A∩C).

g)A∩(B−C) = (A∩B)−(A∩C).

h) (A−B)∩(C−D) = (A∩C)−(B∪D).

.—SoitEun ensemble. SoitA, B∈P(E), on appelledifférence symétriquedeAet deB, l’ensemble : A∆B=

C

_A∪BA∩B

a) Montrer que (P(E),∆,∩) eun anneau commutatif unitaire.

b) PourA, B∈P(E), on pose

A∗B=C_EA∆B Montrer que (P(E),∗,∪) eun anneau commutatif unitaire.

.—(Paradoxe de Russel) On considère lacolleionF des ensemblesEtels queE<E. Montrer que F n’epas un ensemble. En déduire que lacolleionde tous les ensembles n’epas un ensemble.

 .  .  Ensemble des parties

Définition .— Soient E un ensemble. On appelle ensemble des parties de E l’ensemble, noté P(E) conitué des sous-ensembles deE.

On remarquera bien que les éléments deP(E) sont des ensembles.

Exemples.—SiE={x, y}alors

P(E) ={∅,{x},{y}, E} On a

P(∅) ={∅}

de même,

P(P(∅)) ={∅,{∅}}

Exercices.—(Filtres sur un ensemble)

/ UnfiltreF sur un ensembleE non vide eune partie non vide deP(E) (i.e. un ensemble non vide de sous-ensembles deE) qui vérifie les 3 axiomes suivants :

A:∅<F .

A: siA, B∈F alorsA∩B∈F. A: siA∈F etA⊂B⊂EalorsB∈F .



.a/ Montrer que siEeinfini alors l’ensembleF conitué des parties cofinies deE(i.e. les parties dont les complémentaires sont des ensembles finis) eun filtre. On l’appellefiltre de FréchetsurE.

.b/ Etant donné un élémenta∈E, montrer que l’ensemble Fa={A⊂E/ a∈A} eun filtre.

/ Unebase filtreBsur un ensembleEnon vide eune partie non vide deP(E) (i.e. un ensemble non vide de sous-ensembles deE) qui vérifie lesaxiomes suivants :

B:∅<F .

B: siA, B∈F alors il exieC∈F tel queC⊂A∩B.

.a/ Montrer que tout filtreF eune base de filtre.

.b/ Montrer que siB⊂P(E)− {∅}eune partieable par interseion finie, alorsBeune base de filtre surE.

.c/ Montrer que siB⊂P(E) désigne une base de filtre, alors il exie un plus petit filtreF surE tel queB⊂F .Ce filtre eappelé le "filtre engendré" parB.

/ Un ultrafiltre surE, eun élémént maximal (pour l’inclusion) dans l’ensemble des filtres surE: c’edonc un filtreF tel que siF ⁰désigne un autre filtre et queF ⊂F ⁰alors on aF =F ⁰.

.a/ Montrer qu’un filtreF surEeun ultrafiltre si et seulement si, il vérifie l’axiome supplémen- taire suivant :

A: siA⊂Ealors, soitA∈F , soitA^c∈F (A^cdésigne le complémentaire deAdansE).

.a/ Montrer que les filtresFadéfinis à la queion.b/ sont des ultrafiltres. surE. Montrer que ces ultrafiltres possèdent un élément minimal ((qui ed’ailleurs un plus petit élément).

.b/ On dira d’un ultrafiltre qu’il eprincipals’il possède un élément minimal.

SiF désigne un ultrafiltre sur un ensembleEmontrer que les proprositions suivantes i)F eprincipal,

ii) il exiea∈Atel queF =Fa, iii)F contient une partie finie, sont équivalentes.

.c/ En déduire que, siEeun ensemble fini, alors tout ultrafiltre surEeprincipal.

.d/ En tuilisant le lemme de Zorn, montrer que siEdésigne un ensemble infini, alors il exie un ultrafiltre non principal surE.

/ On considère un ultrafiltre non principalF sur un ensembleEinfini.

.a/ Montrer que siA₁,· · ·, A_n∈F , alors l’ensemble

\n

i=1

A_i eune partie infinie.

.b/ Montrer que siX⊂Eeune partie infinie, alors il exieA∈F tel queX∩A^csoit une partie infinie.

/ (Application) On considère l’intervalle I = [0,1] et l’espace topologique produitE =I^I qui cor- respond à l’ensemble{f :I −→I}muni de la convergence simple (E ecompa). On se donne un ultrafiltre non principal F sur l’ensembleN des entiers naturels. Le cardinal deF e la puis- sance du continu (ceci eune conséquence de la théorie des ensembles) et l’on peut donc énumérer F ={Ax}_x∈I.

On définit alors la suite (f_n)_n d’éléments deE de la manière suivantes : pourn≥0 etx∈[0,1], on pose :

f_n(x) =



^Ax(n)



où



^Edésigne, pour tout ensembleE, la fonion caraériique deE. On considère aussi la fonion f ∈E conante égale à 1.

Montrer quef eune valeur d’adhérence de la suite (fn)nmais quef n’elimite d’aucune sous- suite de (f_n)_n.

 .  .  Produit cartésien

Définition.—SoitAetBdeux ensembles, on appelle couple (ou paire ordonnée) d’élément deAet de Btout ensemble de la forme{a,{a, b}}aveca∈Aetb∈B. Un tel ensemble se note alors(a, b). L’ensemble conitué des couples d’éléments deAet deBs’appelle le produit cartésien deAparBet se noteA×B.

Il faut bien remarquer que (a, b),(b, a) le plus souvent. En fait :

Proposition.—SoientAetBdeux ensembles et(a, b)et(c, d)deux éléments deA×B. Les propositions suivantes sont équivalentes:

i)(a, b) = (c, d), ii)a=cetb=d.

Proposition.—SoitA, B, Ctrois ensembles. On a:

•A×(B∪C) =A×B∪A×C,

•A×(B∩C) =A×B∩A×C.

Remarque.—SiE₁,· · ·, E_nsont des ensembles, on définit par récurrence le produit cartésienE₁×

· · · ×E_ndes ensemblesE₁,· · ·, E_n, par la relation

E1× · · · ×En= (E1× · · · ×En−1)×En

Les éléments deE1× · · · ×Ensont alors appellés desn-uplets et notés (x1,· · ·, xn) avecxi ∈Ei pour tout i= 1,· · ·, n. On a alors

Proposition.—SoientE₁,· · ·, E_ndes ensembles et(x₁,· · ·, x_n)et

(y₁,· · ·, y_n)deux éléments deE₁× · · · ×E_n. Les propositions suivantes sont équivalentes:

i)(x₁,· · ·, x_n) = (y₁,· · ·, y_n), ii)xi=yipour touti= 1,· · ·n.

Chapitre 

Applications

 .  Généralités

Définition.—SoientEetFdeux ensembles. On appelle graphe (ou graphe fonionnel) deE×Ftoute partieX⊂E×Fvérifiant :

∀(a, b)∈X, ∀(a⁰, b⁰)∈X, a=a⁰=⇒b=b⁰ Exemple.—PourE=F,

•X=∅,

•X={(a, a)/ a∈E}

Définition.—•On appelle fonion la donnée d’un triplet(E, X, F)oùEetFsont des ensembles etX un graphe de E×F. On notef = (E, X, F)ou plus classiquementf :E →F une fonion. L’ensembleE s’appelle l’ensemble de départ def, l’ensembleFs’appelle l’ensemble d’arrivé def, etXs’appelle de graphe def. On dit alors quef eune fonion deEdansF de grapheX.

•Sif = (E, X, F)eune fonion, on appelle ensemble de définition def le sous-ensembleAdeEconitué des élémentsa∈Etel qu’il exieb∈Fvérifiant(a, b)∈X.

•On dit qu’une fonionf = (E, X, F)etotale et on parle alors d’application, si le domaine de définition def eE.

Notations : Sif = (E, X, F) eune application et que (x, y)∈X, on note alorsy =f(x). Par ailleurs, on utilise volontier des diagrammes de Venn pour représenter une application. Si f = (E, X, F) e une application, on représente les ensemblesE etF sous forme de patates et l’on relie les couples (x, y)∈Xpar des flêches.

Lemme.—SoitEetFdeux ensembles etXun graphe fonionnel deE×F. SoitU⊂E. L’ensemble XU={(a, b)∈X/ a∈U}





eun graphe fonionnel deU×F.

Définition.—Soitf :E−→Fune fonion,Xson graphe etU⊂E. La fonion deUdansFde graphe XUs’appelle la reriion def àUet se notef^|U(c’eune fonion). En particulier, siAele domaine de définition def, alorsf^|Aeune application.

Notation :SiEetFsont deux ensembles, on noteF (E, F) l’ensemble des applications deEdansF.

Exemples.—•SiEeun ensemble etX={(a, a)∈E×E, a∈E}, l’applicationf = (E, X, E) s’appelle l’application identité deEet se note Id_E.

• Si E ⊂F sont deux ensembles et X ={(a, a)∈ E×F, a∈ E}, l’application f = (E, X, F) s’appelle l’injeion canonique deEdansF. Dans le cas oùE=Fil s’agit alors de IdE.

Définition.—SoitE, F, Gtrois ensembles,X₁un graphe fonionnel deE×FetX₂un graphe fonion- nel deF×G. On appelle graphe composé deX₁etX₂l’ensemble

X={(a, b)∈E×G/∃c∈F, (a, c)∈X₁et(c, b)∈X₂} (C’eun graphe fonionnel deE×G)

Proposition.— Sif :E → F eune application de E dans F de grapheX₁ et g : F → G eune application deFdansGde grapheX₂, le graphe composé deX₁etX₂ele grapheXd’une application de EdansG.

Définition.—Avec les notation précédente, l’application(E, X, G)s’appelle la composée def etget se noteg◦f.

Proposition.—Soientf :E→F,g:F→G,h:G→Hsont trois applications. Les deux applications (h◦g)◦f eth◦(g◦f)sont identique (i.e. ont même graphe).

Remarque.—La loi◦ e donc associative. Dans F (E, F) elle e rarement commutative. Par exemple si f , g :R→ Rsont définie par, f(x) =x+ 1 et g(x) =x²; on a alors f ◦g(x) =x²+ 1 et g◦f(x) = (x+ 1)².

 .  Image dire e et réciproque

Définition.—Soitf :E→F une application. Pour toute partieA⊂E, on appelle image diree deA parf l’ensemble

f(A) ={y∈F/∃x∈A, f(x) =y} et pour tout partieBdeF, on appelle image réciproque deBparf l’ensemble

f⁻¹(B) ={x∈E/ f(x)∈B}

Exemple.—Soitf :R→Rdéfinie parf(x) =x². SoitB= [1,2], on a alors f⁻¹(B) = [−

√

2,−1]∪[1,

√ 2]



Soit maintenantA= [1,

√

2], on af(A) = [1,2] =B. On remarqu’alorsf⁻¹(f(A)),A.

Proposition.—Soitf :E→Fune application.

/∀A, B⊂F,f⁻¹(A∩B) =f⁻¹(A)∩f⁻¹(B)etf⁻¹(A∪B) =f⁻¹(A)∪f⁻¹(B).

/∀A, B⊂E,f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)etf(A∪B) =f(A)∪f(B).

/∀B⊂F,f(f⁻¹(B))⊂B.

/∀A⊂E,A⊂f⁻¹(f(A)).

/∀B⊂F,f⁻¹(

C

FB) =

C

Ef⁻¹(B).

Exercices.—

.—Donner des exemples qui montrent que les inclusions présentes dans les propriétés/,/,/ de la proposition précédente peuvent êtreries.

.—Montrer, en donnant un exemple explicite, que siA⊂Ealorsf(

C

_EA) et

C

_Ff(A) sont des en- sembles incomparables.

 .  Inje ivité, surje ivité, bije ivité

Définition.—Soitf :E→Fune application. On dit quef e:

•injeive si∀x, y∈E,f(x) =f(y)⇒x=y,

•surjeive si∀y∈F,∃x∈E,f(x) =y,

•bijeive si∀y∈F,∃!x∈E,f(x) =y.

Exemples.—(Exercice)/f :N−→Ndéfinie parf(n) =n²einjeive et non surjeive.

/f :Z−→Zdéfinie parf(n) =n²enon injeive et non surjeive.

/f :R⁺−→R⁺définie parf(x) =x²ebijeive.

/f :N×N−→N^∗définie parf(p, q) = 2^p3^qeinjeive et non surjeive.

Lemme.—Soitf :E→F une application. Les propositions suivantes i)f ebijeive,

ii)f einjeive et surjeive, sont équivalentes.

Proposition.— Soient f :E → F et g : F →G deux applications. Si f et g sont injeives (resp.

surjeives) alorsg◦f eune application injeive (resp. surjeive).

On a une réciproque significative à cette propriété :

Proposition.—Soientf :E→Fetg:F→Gdeux applications. On a alors g◦f injeive (resp. surjeive)=⇒f injeive (resp.gsurjeive)

Proposition.— Soient f :E → F et g : F →G deux applications. Si f et g sont injeives (resp.

surjeives) alorsg◦f einjeive (resp. surjeive).

Proposition.—Soitf :E→Fune application. Sif ebijeive, alors il exie une unique application g:F→Etelle que

g◦f =Id_Eet f ◦g=Id_F

Cette application s’appelle la réciproque (ou l’inverse) def et se notef⁻¹. On a alors:

/f⁻¹ebijeive,



/(f⁻¹)⁻¹=f.

Remarque.—Il ne faut pas confondref⁻¹"application réciproque" etf⁻¹"image inverse".

Proposition.—Soientf :E→Fetg:F→Edeux applications telles queg◦f =Id_Eetf ◦g=Id_F. Les applicationsf etgsont bijeives etf⁻¹=getg⁻¹=f.

Remarque.—Si seulement une seule des égalitésg◦f = Id_Eetf◦g= Id_F evérifiée, on ne peux rien dire. En effet, soitf , g:N→Ndéfinies par,f(n) = 2netg(n) =E(n/2). On a alorsg◦f = IdNet pourtant,f n’epas surjeive etgn’epas injeive.

Proposition.—Soientf :E→Fetg:F→Gdeux applications. Sif etgsont bijeives alorsg◦f e bijeive et(g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹.

Définition.—Soitf :E→Eune application. On dit quef eune involution deEsif ◦f =Id_E. Définition.—Soitf :E→Eune application. Les proposition suivantes sont équivalentes : i)f einvolutive,

ii)f ebijeive etf⁻¹=f.

 .  Cara érisation de l’inje ivité et de la surje ivité

Proposition.—Soitf :E→Fune application. Les propositions suivantes sont équivalentes : i)f einjeive,

ii)∀A, B⊂E,f(A∩B) =f(A)∩f(B), iii)∀A⊂E,f⁻¹(f(A)) =A.

Proposition.—Soitf :E→Fune application. Les propositions suivantes sont équivalentes : i)f esurjeive,

ii)∀B⊂F,f(f⁻¹(B)) =B.

Exercices.—

.—Soitf :E→Fune application.

a) Montrer quef einjeive ssi pour tout ensembleDet tout couple d’applicationsg, h:D→Eon a

f ◦g=f ◦h⇒g=h

b) Montrer quef esurjeive ssi pour tout ensembleGet tout couple d’applicationsg, h:F→Gon a

g◦f =h◦f ⇒g=h

.—SoitEun ensemble etA, Bdeux parties non vides deE. On considère l’applicationf :P(E)→ P(A)×P(B) définie par :

∀X∈P(E), f(X) = (A∩X, B∩X)

a) Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour quef soit injeive, surjeive, bijeive.

b) Expliciterf⁻¹lorsquef ebijeive.

.—Soitf :E→F,g:F→G,h:G→H, trois applications. Montrer queg◦f eth◦gsont bijeives ssif , g, hle sont aussi.

.—Soitf :E→F,g :F →G,h:G→E, trois applications. Montrer que si deux des applications h◦g◦f,g◦f◦h,f ◦h◦g, sont surjeives et que la troisième einjeive alorsf , g, hsont bijeives.

.—Soitf :E→Fune application. On définit

g:P(F)→P(E)



par

∀A∈P(F), g(A) =f⁻¹(A)

Montrer quef einjeive (resp. surjeive) si et seulement sigesurjeive (resp. injeive).

.—SoientX etY deux ensembles non vides etf :X→Y une application. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

i)f einjeive,

ii) il exie une application une applicationg:Y →Xtelle queg◦f = Id_X.

.—Soitf :X→Yune application. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : i)f einjeive,

ii) pour toute famille (Ai)i∈I (I,∅) de parties deX,

f









\

i∈I

A_i









=\

i∈I

f(A_i)

iii) pour toutA, B∈P(X),

f(A∩B) =f(A)∩f(B) iv) pour toutA, B∈P(X),

A∩B=∅ ⇒f(A)∩f(B) =∅ v) pour toutA, B∈P(X),

A⊂B⇒f(B−A) =f(B)−f(A) vi) pour toutA∈P(X),

f⁻¹(f(A)) =A

.—(Théorème de Cantor-Bernein) SoitX etY deux ensembles etf :X→Y etg :Y →X deux applications injeives. On poseϕ=g◦f,Y0=g(Y),A=Y0−ϕ(X) etB=S

n≥0ϕⁿ(A) (avecϕ⁰= Id etϕⁿ=ϕ◦ · · · ◦ϕ nfois).

a) Montrer que l’applicationθ:X→Y₀définie par θ(x) = x si x∈B

= ϕ(x)si x∈X−B eune bijeion.

(Ind. On pourra remarquer queB=A∪ϕ(B).)

b) Montrer alors que les ensemblesXetY sont équipotents.

c) Calculer explicitement la bijeion trouvée précédemment dans le cas oùX=Y =Net où∀n∈N, f(n) =g(n) =n+ 1.

Chapitre 

Relations binaires

 .  Généralités

Définition.—SoientAetBdeux ensembles. On appelle relation binaire deAversBtoute partie de A×B. SiReune relation binaire deAversBet si(a, b)∈ R, on note alorsaRbouR(a, b). On appelle relation binaire sur un ensembleE, toute relation binaire deEdansE.

Exemples.—•

•E=RetxRy⇐⇒x≤y.

•Eensemble etR=∅.

•EetFdeux ensembles etf :E→F. Le graphe def eune relation binaire, on a alorsxRy⇐⇒y= f(x).

Graphe d’une relation binaire sur un ensemble : Le graphe orienté d’une relation binaireRsur un ensembleEele graphe dont les sommets sont les éléments deEet les arrêtes orientées sont les [x, y] oùx, y∈EvérifientxRy.

Notations:•La relation binaire sur un ensembleE{(x, x), x∈Ese note Id_E.

•SiReune relation binaire sur un ensembleE, on note

• R={(x, y)∈E×E/(x, y)<R}(i.e.R=

C

_E×ER),

• R⁻¹={(y, x)∈E×E/ (x, y)∈ R}

• R⁰= IdE,R¹=R.

Définition.—SoitRetT deux relations binaires sur un ensembleE. On note:

R ◦ T ={(x, y)∈E×E/∃z∈E, xRz et zTy}

Définition.—SoientEun ensemble etRune relation binaire surE. On dit queRe:

•reflexive si∀a∈E,aRa(i.e. Id_E⊂ R,

•symétrique si∀a, b∈E,aRb⇒bRa(i.e.R=R⁻¹),

•antisymétrique si∀a, b∈E,aRbetbRa⇒a=b(i.e.R ∩ R⁻¹=∅),

•antireflexive si∀a∈E,(a, a)<R(i.e.R ∩Id_E=∅),

•transitive si∀a, b, c∈E,aRbetbRc⇒aRc.

Exemples.—/ Sur un ensembleE,R=∅.

/ Sur un ensembleE,R= IdE.

/ SurP(E),ARB⇔A⊂B.

/ SurR,aRb⇔a < b.





/ Sur un ensembleE,aRb⇔a,b.

/ Soit Ωun ensemble à au moins deux éléments. SurP(Ω),ARBsi et seulement si il exie une bijeionf :A→B.

 .  Relations d’équivalence

Définition .— Soit E un ensemble et R un relation binaire sur E. On dit que R e une relation d’équivalence siRereflexive, symétrique et transitive.

Exemple.—Congruence surZ.

Notation:SiReune relation d’équivalence sur un ensembleE, pour toutx∈E, on note x={y∈E/ xRy}

Cet ensemble s’appellela classe d’équivalence dexmoduloR.

Proposition.—SoitEun ensemble etRune relation d’équivalence surE.

a) Six, y∈Esont tels quex,y, alorsx∩y=∅. b) Les propositions suivantes sont équivalentes:

i)xRy, ii)x=y.

Définition.—SoitEun ensemble etRun relation d’équivalence surE. On appelle ensemble quotient deEparRl’ensemble des classes d’équivalences des éléments deEmoduloR. On note cet ensembleE/R (c’eun sous-ensemble deP(E).

Exemple.—Z/nZ.

Proposition.—Soit E un ensemble, R et T deux relations d’équivalences surE. Les propositions suivantes sont équivalentes:

i)R=T, ii)E/R=E/T.

 .  Partitions et relations d’équivalences

Définition.—SoitEun ensemble. On appelle partition deEtoute partie{E_i}_i∈I deP(E)telle que :

• ∀i∈I,E_i,∅,

• ∀i,j,E_i∩E_j=∅,

•S

iE_i=E.

Proposition.—SoitEun ensemble etRune relation d’équivalence surE. L’ensembleE/R ⊂P(E)e une partition deE.

Réciproquement, si{E_i}_i∈I⊂P(E)eune partition deE, alors il exie une unique relation d’équivalence RsurEtelle queE/R={E_i}_i∈I.

Il y a donc une correspondance bijeive entre les partitions d’un ensemble E et les relations d’équivalence surE.

Définition.—SoitEun ensemble. SoientP1etP2deux partitions deE. On dit queP1eplus fine que P2si

∀A∈P1,∃B∈P2, A⊂B

SiRetT sont deux relations d’équivalence surE, on dit queReplus fine queT siE/Reune partition deEplus fine queE/T.



Proposition.—Soit E un ensemble etΩ l’ensemble des relations d’équivalence sur E. La relation binaire surΩ"être plus fine que" eune relation d’ordre (i.e. eréflexive, antisymétrique et transitive).

Lemme.—SiRet T sont deux relations d’équivalence surE, la relation binaireS =R ∩ T eune relation d’équivalence. De plus,Seplus fine queRet queT.

Exercices.—

.—Soitf :E→Fune application etRune relation d’équivalence surF. On définit surEla relation binaireR⁰par :

∀x, y∈E, xR⁰y ⇐⇒ f(x)Rf(y) Montrer queR⁰ eune relation d’équivalence surE.

.—SoitE1etE2deux ensembles etR₁etR₂des relations d’équivalences surE1etE2. Sur l’ensemble E=E₁×E₂, on définit la relation binaireRpar :

∀(x₁, x₂),(y₁, y₂)∈E₁×E₂,(x₁, x₂)R(y₁, y₂) ⇐⇒ x₁R₁y₁et x₂R₂y₂ a) Montrer queReune relation d’équivalence surE.

b) Montrer qu’il exie une bijeion deE/RsurE₁/R₁×E₂/R₂.

.—SoitAetBdeux sous-ensembles d’un ensemble donné. SurA×B, on considère la relation binaire Rdéfinie par

(a, b)R(a⁰, b⁰) ⇐⇒ a=a⁰ a) Montrer queReune relation d’équivalence.

b) Montrer queAenaturellement en bijeion avec (A×B)/R.

Problème .— L’objet de ce problème, e de démontrer le théorème de Cantor- Bernein : si f :A→Betg:B→Asont deux applications injeives, alors il exie une bijeionϕ:A→B.

On poses=g◦f :A→Aett=f ◦g:B→B.

Montrer quesettsont des applications injeives.

Montrer quef ◦s=t◦f.

Pour tout entiernon posesⁿ=s◦s◦ · · · ◦sets⁰= IdA. On définit une relation binaireS surApar xSy⇔ ∃n∈N, y=sⁿ(x)ou x=sⁿ(y)

et une relation binaireT surBpar

aT b⇔ ∃n∈N, b=tⁿ(a)ou a=Tⁿ(b)

Montrer queS(resp.T) eune relation d’équivalence surA(resp. surB).

On dit qu’une classe d’équivalenceCsurAeS-admissible si

∀x∈

C

,∃y∈A tel que x=s(y)

On dit qu’une classe d’équivalenceDeS-inadmissible si elle n’epasS-admissible.

SoitDune classe d’équivalence deA S-inadmissible. Montrer qu’il exie un uniquex₀∈ Dtel que D={x₀, s(x₀), s²(x₀),· · · }. On appellex₀le générateur deD.

Enoncé et démontrer des propriétés analogues pour les classes d’équivalences surB. (On utilisera à cet effet la terminologie de classe d’équivalenceT-admissible.)

.aMontrer quef envoie l’ensemble des classes d’équivalencesS-admissibles dans l’ensemble des classes d’équivalencesT-admissibles.

.bSoitDune classe d’équivalenceS-inadmissible. Montrer quef(D) econtenu dans une classe d’équivalenceT-inadmissible.



 Soit Dune classe d’équivalence S-inadmissible,x₀ le générateur de Det y₀ le générateur de la classa d’équivalenceT-inadmissible qui contientf(D). Montrer quef(x₀) =y₀oug(y₀) =x₀.

(Ind on pourra utiliser, après l’avoir démontré, le fait queg◦(f◦g)ⁿ= (g◦f)ⁿ◦g.)

SoitDune classe d’équivalenceS-inadmissible etx0son générateur. SoitEla classe d’équivalence contenantf(D) ety₀son générateur. Montrer que l’application

sⁿ(x₀)7→tⁿ(x₀), n∈N eune bijeion deDdansE.

Sixedans une classeC,S-admissible, montrer quex7→f(x) eune bijeion deCdansf(

C

).

Soitϕ:A→Bl’application définie par

•sixedans une classeS-admissible:ϕ(x) =f(x).

•sixedans une classeS-inadmissible (x=sⁿ(x₀)):ϕ(x) =tⁿ(x₀).

(les notations étants celle du. et du). Montrer queϕeune bijeion deAdansB.

 .  Représentation matricielle d’une relation binaire

Définition .— On appelle matrice booléenne d’ordre n, toute matrice nxnà coefficients dans {0,1}. Dans l’ensemble des matrices booléenne d’ordren, on définit deux lois de composition+et.définie, pour A= (ai,j)1≤i,j≤netB= (bi,j)1≤i,j≤n, par

A+B= (ci,j)1≤i,j≤navec ci,j= max(ai,j, bi,j) et

A.B= (d_i,j)₁≤i,j≤navec d_i,j= max

k=1,···,n(a_i,kb_k,j)

Définition.—SoitE={x1,· · ·, xn}un ensemble fini etRune relation binaire surE. On appelle matrice booléenne associée àRla matriceM^R= (ai,j)1≤i,j≤ndéfinie par:

∀1≤i, j≤n

( a_i,j= 1 si x_iRx_j ai,j= 0 sinon Proposition.—Dans cette situation, on a :

• Rereflexive si et seulement siM^Rne possède que des1sur sa diagonale.

• Resymétrique si et seulement si^tMR=MR.

Proposition.—SoitE un ensemble fini etRetT deux relations binaire surEde matrice booléenne respeiveM^RetM^T. La matrice booléenne deR ∪ T vaut

MR∪T =MR+MT

et celle deR ◦ T e

MR◦T =MR.MT

Exercice.—SoitEun ensemble etRune relation binaire surE. On pose R⁰= Id_EetR¹=R

et on définit par récurrence, pourn≥1,:

Rⁿ=Rⁿ⁻¹◦ R a) Montrer que pour toutn≥1,

Rⁿ=R ◦ Rⁿ⁻¹



b) Montrer que siRetransitive, alorsRⁿ⊂ Rpour toutn≥1.

c) Montrer que siT eune relation binaire surEtransitive telle queR ⊂ T, alors pour toutn≥1, Rⁿ⊂ T

d) On appelle fermeture transitive (resp. reflexo-transitive) deRla relation binaire R⁺=[

n≥1

Rⁿ

resp. la relation binaire

R^∗=[

n≥0

Rⁿ

Montrer queR⁺ela plus petite (au sens de l’inclusion) relation binaire transitive surE telle que R ⊂ R⁺.Que représenteR^∗?

e) SiE e fini et si M^R désigne la matrice booléenne associée à R que vautM^R+ (resp. M^R+), la matrice booléenne associée à la relationR⁺(resp.R^∗)?

f) (Application) CalculerR⁺etR^∗pour

R=











0 0 1

0 1 0

0 0 0











et

R=











1 1 0

0 0 1

1 1 0











Chapitre 

Ordres

 .  Généralités

.. Ensembles ordonnés

Définition.—SoientEun ensemble etRune relation binaire surE. On dit queRe:

•un pré-ordre surE, siReréflexive et transitive,

•un ordre surE, siReréflexive, transitive et antisymétrique,

•un ordrerie surE, siReantiréflexive, antisymétrique et transitive.

Si≤eun ordre surE, on dit que(E,≤)eun ensemble ordonné.

Exemples.—•SurN,≤eun ordre.

•SurR,<eun ordrerie.

•SurP(E),⊂eun ordre.

•SurN^∗,.|.(défini para|b ⇐⇒ adiviseb) eun ordre.

•SurZ^∗,.|.n’epas un ordre, mais eun pré-ordre.

Convention sur le graphe d’un ordre : Pour le graphe d’un ordre≤sur un ensembleEon omettra de faire figurer les arrêtes dues à la réfléxivité et, quand cela epossible (en particulier quandEe fini), à la transitivité.

•SurP(E),≤(défini parA≤Bs’il exie une injeion deAdansB) n’epas un ordre, mais eun pré-ordre.

Proposition.—Soit(E1,≤₁)et(E2,≤₂)deux ensembles ordonnés. SurE=E1×E2, la relation≤définie par :

(e₁, e2)≤(f₁, f2) ⇐⇒ e1≤₁f1et e2≤₂f2

eun ordre. On appelle cet ordre, "l’ordre produit".

Proposition.—Soit(E₁,≤₁)et(E₂,≤₂)deux ensembles ordonnés. SurE =E₁×E₂, la relation ≤_lex définie par :

(e₁, e₂)≤_lex(f₁, f₂) ⇐⇒











e₁≤₁f₁ et e₁,f₁ ou

e₁=f₁ et e₂≤f₂ eun ordre. On appelle cet ordre, "l’ordre lexicographique".

Définition.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné. On dit que≤etotal si pour toutx, y∈E, on ax≤y ouy≤x. Si≤n’epas total, on dit que≤epartiel.

Proposition.—Soit(E1,≤₁)et(E2,≤₂)deux ensembles totalement ordonnés. L’ordre lexicographique

≤_lexsurE=E₁×E₂etotal.





Définition.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné etAune partie deE. On appelle ordre induit parEsur A, la relation≤_A=≤ ∩(A×A). C’eun ordre surA; s’il n’y a pas d’ambiguité, on continue à le noté≤. Exercice.—

.—SoitRune relation de préordre sur un ensembleE. SurE, on définit la relation binaireρpar :

∀x, xy∈E, xρy ⇐⇒ xRy et yRx a) Montrer queρeune relation d’équivalence surE.

b) Soitα, β∈E/ρetx, y∈Edes représentants deα etβ(i.e. x∈αety∈β). On poseα≤β ssixRy.

Montrer que la définition de≤ne dépend pas du choixx, ydes représentants deαetβ.

c) Montrer que≤eune relation d’ordre surE/ρ.

.—Pour touti= 1,· · ·, n, on considère un ensemble ordonné (E_i,≤_i). SurE₁× · · · ×E_n on définit la relation≤_lexdéfinie pour (x₁,· · ·, x_n),(y₁,· · ·, y_n) par (x₁,· · ·, x_n)≤_lex(y₁,· · ·, y_n) si et seulement si

xn₀≤_n

0yn₀pour n0= inf(k= 1,· · ·, n/ xk,yk) a)Quelle ecette relation pourn= 2?

b) Montrer que≤_lexeun ordre.

c) Montrer que si chaque≤_i etotal, alors≤_lexl’eaussi.

 .  .  Eléments remarquables

Définition.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné,A⊂Eetα∈E. On dit queαe:

•un majorant (resp. minorant) deAsi

∀x∈A, x≤α(resp. α≤x)

•un élément maximal (resp. minimal) deA, siα∈Aet si

∀x∈A, α≤x⇒x=α(resp. x≤α⇒x=α)

•un plus grand élément (resp. plus petit élément) deA, siα∈Aet si

∀x∈A, x≤α(resp. α≤x)

•une borne supérieure (resp. inférieure) deA, siαele plus petit des majorants (resp. le plus grand des minorants).

Proposition.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné,A⊂Eetα∈E. On a :

/αplus grand élément⇒αélément maximal.

/αplus grand élément⇒αborne supérieure.

/αborne supérieure⇒αmajorant.

Exercices.—

.—Donner des exemples de

a) Majorant qui n’epas une borne supérieure.

b) Borne supérieure qui n’epas un plus grand élément.

c) Elément maximal qui n’epas un plus grand élément.

d) Elément maximal qui n’epas un majorant.

e) Majorant qui n’epas un élément maximal.