HAL Id: jpa-00233168
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Submitted on 1 Jan 1933
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Remarque sur un théorème de conservation dans la
théorie des métaux
F. Bloch
To cite this version:
REMARQUE
SUR
UNTHÉORÈME
DE CONSERVATION
DANS
LA
THÉORIE
DES
MÉTAUX
Par F. BLOCH.Sommaire. - La structure en réseau des métaux nécessité l’invariance de l’énergie totale du système mécanique, composé des électrons de conductibilité et des vibrations
élastiques par rapport à une certaine transformation de variables. Elle permet de démon-trer l’existence d’une intégrale de mouvement, qui pour un certain choix de variables
a déja été trouvée par Peierls; puisque notre démonstration est indépendante du choix de variables, elle fait objection à une critique de Wilson, qui, avec d’autres variables, nie l’existence de l’intégrale de Peierls.
L’étude du mécanisme de l’interaction des électrons de conductibililé et des vibrations
élastiques
du réseau a conduit l’auteur(i),
il y aquelques
années,
aurésultat,
que pour unetempérature
T >>
0(0
~température
deDebye)
la résistanceélectrique R, d’après
la théorieondulatoire,
doit suivre une loitandis que pour T on obtient
le
rapport
des constantes ci et c2 dans(1)
et(2)
dépendant uniquement
de latempéra-ture 6.
Ce
résultat,
qui,
d’ailleurs,
semble être en très bonne concordance avecl’expé-rience
(1),
a été obtenu en admettant que, àchaque instant,
les ondesélastiques
du réseau sont enéquilibre thermique,
comme dans la théorie bien connue deDebye
de la chaleurspécifique
des corps solîdes. Or Peierls(3),
dansplusieurs
travaux a étudié d’une manièreassez
complète,
non seulement les influencesqui
établissentl’équilibre thermique
desondes
élastiques
mais aussi leur interaction avec les électrons de conductibilité. Il adémontré,
au moins pour des unicristauxparfaits
et destempératures
basses,
que cettehypothèse
n’est pasjustifiée. D’après
Peierls,
les électrons de conductibilité eux-mêmespeuvent
jouer
un rôleimportant
dans l’établissement del’équilibre thermique
des ondesélastiques.
Donc,
en touterigueur,
dans la théorie de la résistanceélectrique
il fautregarder
à la fois les transitions que subit le réseau et celles des électrons.Ce
qui complique
surtout leproblème,
c’estqu’il
existe une certaineintégrale
demou-vement du
système
total(réseau
+
électrons),
si l’onnéglige
une certaineespèce
detran-sitions que Peierls a nommées « processus de retournement »
(Umklapprozesse).
L’actiond’un
champ électrique
extérieur sur les électronsaugmente
deplus
enplus
cetteintégrale
tandis que sa valeur ne
peut
êtrechangée
que par les processus de retournement.Donc,
il est
évident,
que ceux-cijouent
un rôleimportant
pour l’établissement d’un étatquasi
stationnaire,
c’est-à-dire pour lagrandeur
du courantstationnaire,
produit
par lechamp
électrique.
Wilson
(4)
apensé pouvoir
éviter cettecomplication
en choisissant d’autres variables(1) F. BLOCH, Z.
Physik,
52 (1928), 555.(2) Comp. E. GRÜNEISEN,
Leipziger
Vortriige (1930).(J) R. PEIERLâ, Ann. der Physik, 3 (4929), ~055; 4 (1930), 121; 12 (1932), 154.
(;) A. H. WILSON, Proc.
of
the Roy. Soc, 138 (1932), 594.487
qui
décrivent la vibration duréseau,
que celles de Peierls. Peierlsprend
comme variables--i- +
les
amplitudes
d’ondesplanes complexes
If
= vecteurd’onde; r
= vecteur de,
L
-+-+ ++
positions];
Wilson lesremplace
par celles desondes
réelles cos(f
r)et
sin( f r).
Cechoix,
eneffet,
al’avantage
que les variables sontindépendantes ;
chezPeierls,
aucontraire,
il faut
---toujours
admettre quel’amplitude
de l’onde ei«’r) soit leconjugué complexe
de celle++
de l’onde e-i(f r). Mais le choix de variables
indépendantes
nechange
que lafoî,me,
souslaquelle apparaît l’intégrale
dePeierls;
c’est cequi
semble avoiréchappé
à Sacritique, qui
nie l’existence del’intégrale
de Peierls n’est pasjustifiée, puisqu’il
neregarde
que le carré absolu des
amplitudes
deprobabilité
tandis que leursphases
sont aussi impor-tantes pour lespropriétés
dusystème
total ;
et avec les variables de Wilson c’est dans lesphases
que,se trouve cachéel’intégrale
de Peierls(1).
Le but
du~ présent
travail est de démontrer que, ennégligeant
les processus deretour-nement .de
Peierls,
sonintégrale
subsiste,
quelles
que soient les variablesqu’on
emploie.
La démonstration est très
analogue
à celle de la conservation de laquantité
de mouvement d’unsystème mécanique
surlequel
n’agissent
pas de forces extérieures. Tout demême,
ilfaut remarquer, que notre
intégrale
n’est pas celle de laquantité
demouvement;
eneffet,
on admettoujours qu’en
moyenne le centre degravité
du réseau reste en repos, c’est-à-dire on admet l’existence de forces extérieuresqui
fixent le réseau et parconséquent
détruisent la conservation de laquantité
de mouvement. Laquantités,
dont,
sous certainesconditions,
nous allons démontrer laconstance,
n’a pasd’interprétation
en termesphysiques
connus;on
pourrait peut-être l’appeler
la « conservation des vecteurs d’onde ».Pour éviter toute
complication
inutile,
nous n’allons donner la démonstration que ,,pour le cas d’un réseau linéaire. Son extension à un réseau à trois -dimensions
quelconque
donnerait des formules
plus longues
mais aucune difficulté nouvelle. Dansl’énergie
élas-tique
duréseau,
nous voulonsnégliger
tous les termes depuissance plus
élevée que ladeuxième,
contenant lesdéplacements
des ions.Aussi,
nous voulons admettrequ’on
peut
employer
la méthode du «champ
self-consistent »(1),
c’est-à-dire quechaque
électron deconductibilité se trouve sous l’action d’un
potentiel V (x), qui
est le même pour tous les électrons et dont la forme nedépend
qrre de laposition
desions;
il suffira deconsidérer,
dans cepotentiel,
les termes linéaires parrapport
auxdéplacements
des ions."
Soit d la constante du
réseau,
u(n)
ledéplacement
d’un, ion de sa coordonnéed’équi-libre n
d,
Xi lacoordonnée,
pi laquantité
de mouvement de l’électron i. Sous lesrestric-tions
faites,
l’énergie
totale dusystème,
composé
d’électrons de masse m et des ions de masse rrii, s’écrit sous la formeLe second terme en
(1)
signifie l’énergie potentielle
duréseau,
due auxdéplacements
des
ions;
le dernier contient l’interaction entre les électrons et lesdéplacements.
L’exis-tence d’un
réseau,
c’est-à dire le fait que,après chaque
distanced,
lespropriétés
inté-rieures du
système
serépètent,
demande’
(1) La même remarque a été faite par PEIFRLS
(2. Physik,,
81 (’1933), 69 î) dans une réponse à la critiquede WILSON. Mais puisqu’il ne donne pas la forme explicite de son intégrale en variables indépendantes, la rédaction de cette note ne nous semblait pas superflue.
Pour notre
but,
ce ne sont que les relations(4), qui
sontimportantes.
En
introduisant,
comme c’est bien connu, la conditioncyclique,
que les mouvements sereproduisent identiques après
unedistance Gd,
où G est un iioinbreentier,
suffisam-nient
grand,
onpeut
choisir au lieu desdéplacements
u de nouvellesvtiriables -’
(/)
et1j
(f),
définies par :Le Hamiltonien
(3)
seprésente
alors sous la forme :M = j
est la moitié de la masse totale desions,
contenus dans un intervalle delongueur G
d du réseau. Lesfréquences w
( f ) dépendent
des constantes d’élasticité1
c’est-à-dire pour leslongueurs
d’ondesélastiques,
grandes
par
rapport
à la constante d duréseau,
on aoù v est la vitesse du son dans le réseau.
Les fonctions vi et v2 dans
(5) sontddéfinies
parEn
appliquant
(4c),
on obtient immédiatement :Les relations les
plus
générales
qui
satisfont aux conditions(7)
s’écriventavec
Dans la
mécanique
ondulatoire,
il fautremplacêr I)j
paranologue
et d’une manière
par
489
En tenant
compte
de (8),
on a alors au lieu de(5)
La
première
somme de(10)
représente
l’énergie
d’unsystème
d’oscillateurs,
caracté-risés par le nombref,
dont chacun estisotrope
et décrit son mouvement dans leplan
des ~
(j), y (t).
Onpeut
encoresimplifier
(10),
en introduisant dans ceplan
descoordon-nées
polaires.
,Mettant
on a
Ce
qui
estessentiel,
c’est que Il resteinchangé, d’après
et(9),
si on fait la trans-formation suivante :Exprimé
parles ~
( f)
et ~
( f)
suivant(t1),
onpeut
aussidire,
que H reste invariantpar
rapport
à la transformation .Cette invariance a pour
conséquence
immédiate,
quel’opérateur
0, qui exprime
latransformation
(13)
ou(13’)
est uneintégrale
du mouvement. Eneffet,
on aIl est facile de trouver la forme de
l’opérateur 0, quand
on choisit les variables Xi;Puisque
est laquantité
de mouvement de l’électron ~i etle moment
angulaire
de l’oscillateurisotrope
f,
onpeut
écrire(15)
sous la formeA
chaque
état stationnaire dusystème, composé
de l’électron i et des oscillateursr
non-couplés
doitcorrespondre
une valeur propre 0’ del’opérateur
(i6).
On l’obtient parla relation ’
~~
est une fonction propre dusystème;
dans notre cas elleprend
laformes
où §
(si)
est une fonction de xiseulement, ~
(/)
une fonction des coordonnées del’oscil-lateur
f.
Puisque
est la fonction propre d’un électron dans unchamp périodique,
il estbien connu
qu’elle
a la formeavec
et
Donc,
on a :Puisque
la valeur propre p du momentangulaire
m (/*) 2013
est unmultiple
entier de 27’:la valeur propre de m
( f )
est un nombreentier,
disons Donc la valeur propre del’opérateur
0 est donnée parD’après
(14),
les transitionsproduites
parl’interaction
des électrons et du réseau nela font pas
changer.
Donc laquantité
’
ne fera que des transitions
Il est facile de voir que les transitions avec
n #0
sont j justement
les processus de retour-nement de Peierls. Si on lesnéglige,
enposant B
1 =0,
laquantité
I est uneintégrale
demouvement,
cequi
est bien la conclusion de Peierls.°
491
D’abord,
elle reste à peuprès
inchangée
pour le cas d’un réseau de Bravais à troisdimen-sions
quelconque ;
il faut remarquer seulementqu’on
a alorsrépétition
du réseau en troisdirections dans
l’espace.
Parconséquent,
au lieu de la seulequantité (17)
on trouvetrois
expressions analogues,
c’est-à-dire quel’intégrale
de Peierls sera un vecteur.Aussi,
onpeut
avoir despuissances
plus
élevées parrapport
auxdéplacements
des ions dansl’énergie
élastique
du réseau et dans sonénergie
d’interaction avec lesélectrons,
sans rencontrer denouvelles difficultés.
Enfin,
il n’est pas nécessaire d’admettre la validité de la méthode duchamp
self-consistent. Onpeut
considérerrigoureusement l’énergie potentielle
des électrons,
+ +
°
qui
se compose dupotentiel
V(r;)
des ions(ri
= vecteur deposition
de l’électroni)
et deleur interaction de Mais
alors,
il faut remarquerqu’elle
ne resteplus inchangée,
que si tous les étectrons sontdéplacés parallèlement.
Tandis que, avec la méthode duchamp
self-consistent,
nous avons trouvé uneintégrale
de Peierls pourchaque
électron,
dans le cas
général
seule la des termes(17)
parrapport
à l’index ipeut
former une constante dumouvement.
Dans la théorie ordinaire de la
conductibilité,
qui
est basée sur la méthode duchamp
self-consistent,
iln’y
a pas moyen, noussemble-t-il,
d’échapper
auxcomplications
dePeierls,
aumoins,
quand
on ne discute que des unicrislauxparfaits.
On doit alors se demanderpourquoi
on obtient une si bonne concordance avecl’expérience,
en admet-tant que les vibrations soient enéquilibre thermique.
Sans y insistertrop,
nous voulonsindiquer
uneexplication possible
de ce fait assezparadoxal :
-.Sans
doute,
aucun des cristauxmétalliques
dont on mesure la conductibilité n’estparfait.
Il y auratoujours
desinterruptions
de la structure idéalequi
peuvent
être suffi-sammentgrandes
et nombreuses pour détruirel’intégrale
de Peierls. Onpenserait
d’abord que de tellesinterruptions
devraient aussi se manifester par une résistance résiduelle considérable dumétal ;
mais cetteobjection
n’est pasjustifiée.
Il est fortpossible
et mêmeprobable
que desinterruptions qui
détruisentcomplètement l’intégrale
de Peierls par réflexion et diffusion des ondesélastiques,
ne touchent presque pas le mouvement des électrons. Parexemple,
s’ilmanquait
dans le réseauquelquefois
desplans
deréseau,
ces endroits donneraient une réflexion totale des ondesélastiques,
tandis que pour les électronsle contact
électrique
serait encore presqueparfait.
Cette différence decomportement
entreles ondes
élastiques
et les électrons est due à lapetite
masse des derniers.Donc,
même si par les défauts ducristal,
onpeut
éviter les difficultés dePeierls,
onpeut
avoir unerésis-tance
électrique
résiduelle trèspetite.
La rédaction de cette note a été
suggérée
par des discussions intéressantes avecM. L.
