Corollaire.—Si(E,≤)un treillis fini, alorsEadmet un plus grand et un plus petit élément.
Proposition.—Soit(E,≤)un treillis.
• ∀x∈E, xtx = x
.—SoitEun ensemble. Montrer que (P(E),⊂) eun treillis diributif.
.—Montrer que (N∗, .|.) eun treillis diributif.
.—SoitEun espace veoriel etV l’ensemble des sous-espaces deE. On ordonneV par l’inclusion.
a) Montrer que (V,⊂) eun treillis.
b) Montrer que (V,⊂) n’epas diributif si dimE≥2.
. Ensembles complets et bien fondés
. . Principe d’indu ion Noethérienne
Définition.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné. On dit queEebien fondé (ou noetherien) s’il n’exie pas de suiteriement décroissante d’éléments deE.
Exemples.—(Exercice)/ (N,≤) ebien fondé.
/ (Z,≤) emal fondé.
/ (R+,≤) emal fondé.
/ (Z,≤) emal fondé.
/ Tout ensemble fini ordonné ebien fondé.
/ (P(E),⊂) ebien fondé quandEefini et mal fondé quandEeinfini.
e) Montrer que si (E1,≤1) et (E2,≤2) sont des treillis, alors (E1×E2,≤lex) eun treillis.
f) Montrer que si (E1,≤1) et (E2,≤2) sont complets, alors (E1×E2,≤lex) ecomplet.
Théorème.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné. Les propriétés suivantes i)Eebien fondé,
ii) toute partie non vide deEpossède un élément minimal, sont équivalentes.
Définition.—On appelle bon ordre sur un ensembleE, tout ordre surEqui vérifie que toute partie non vide deEpossède un plus petit élément.
Théorème.—Soit(E,≤)un ensemble ordonné. Les propriétés suivantes i)≤eun bon ordre,
ii)Eebien fondé et≤etotal, sont équivalentes.
Exercice.—Montrer que tout ensemble dénombrable possède un bon ordre. Donner un exemple surZ.
Axiome(Zermelo)Tout ensemble peut être bien ordonné
On peut montrer l’axiome de Zermelo, l’axiome du choix et le lemme de Zorn sont des énoncés équivalents.
Théorème.—(Principe d’induion noetherienne)Soit(E,≤)un ensemble bien fondé. Si P ⊂E vérifie
∀x∈E(∀y∈E, y < x=⇒y∈P) =⇒x∈P alorsP =E.
Corollaire.—Soit(E,≤)un ensemble bien fondé etP une propriété relative aux éléments deE. Si
∀x∈E(∀y∈E, y < x=⇒P(y)evraie) =⇒P(x)evraie alorsP(x)evraie pour toutx∈E.
Exercice.—/ Montrer que le principe d’induion noetherienne sur un ensemble bien fondé (E,≤) équivaut à la propriété suivante : siP ⊂Eeune partie telle que
•x∈P pour tout élément minimalx∈E,
•si pour toutx∈P non minimal,y∈P pour touty < x, alorsx∈P, alorsP =E.
/ En déduire que sur (N,≤) le principe d’induion noetherienne n’erien d’autre que le principe de récurrence.
. . Ensembles complets
Définition.—Soit(E,≤) un ensemble ordonné. On dit queE epointé s’il possède un plus petit élément.Quand il n’y a pas d’ambiguité, on note cet élément⊥.
Exercices.—
.—Montrer que (N,≤), (N∗, .|.) et (P(E),⊂) sont des ensembles pointés et expliciter⊥dans chacun des cas.
.— Donner un exemple d’ensemble pointé mal fondé et un exemple d’ensemble bien fondé non pointé.
Définition.—Un ensemble ordonnéEedit complet supérieurement (resp. inférieurement) ou plus simplement complet si toute partie deEpossède une borne supérieure (resp. inférieure). SiP ⊂E, on note alorsF
P = supP (resp.
P = infP).
Exemples.—(Exercice)/ (P(E),⊂) ecomplet supérieurement et inférieurement.
/ (N∗, .|.) ecomplet inférieurement mais pas supérieurement.
/ Sia < bsont deux réels, alors ([a, b],≤) ecomplet supérieurement et inférieurement.
Proposition.—Tout ensemble complet epointé.
Définition.—Soient(E1,≤1)et(E2,≤2)deux ensembles complets supérieurement (resp. inférieure-ment) etf :E1−→E2. On dit quef econtinue supérieurement (resp. inférieurement) si pour toutP ⊂E1 on af(F
P) =F
f(P)(resp.f( P) =
f(P)).
Proposition.—Toute application continue (supérieurement ou inférieurement) ecroissante.
Exercices.—
.—Soitg :E→F une application. Montrer que l’applicationf :P(E)→P(F) définie, pourX∈ P(E), par :
f(X) =g(X) econtinue.
.—On considère l’applicationf :P(N)→P(N) définie pourX∈P(N) par : f(X) = X si X est inf ini
= X−3N si X est f ini a) Montrer quef ecroissante.
b) Montrer quef n’epas continue.
Définition.—Soitf :E−→Eune application. On appelle point fixe def tout élémentx∈Etel que f(x) =x. On note Fix(f)l’ensemble des points fixes def.
Théorème.—(Knaer-Tarski)Soit(E,≤)un ensemble complet supérieurement (resp. inférieurement) etf :E−→E une application. Sif ecroissante alors Fix(f),∅et cet ensemble possède un plus grand (resp. plus petit) élément.
Théorème.—(Knaer-Tarski)Soit(E,≤)un ensemble complet supérieurement (resp. inférieurement) etf :E−→Eune application. Sif econtinue alors Fix(f),∅et cet ensemble possède un plus petit (resp.
plus grand) élément.
Exercices.—a) SoitXetY deux ensembles etf :X→Yetg:Y→Xdeux applications injeives.
Prouver que l’applicationθ:P(X)→P(X) définie par :
∀A∈P(X), θ(A) =X−g(Y−f(A)) admet un point fixeA0.
d) On poseB0 =f(A0). Montrer queg définie une bijeion deY−B0surX−A0. En déduire que l’applicationϕ:X→Y définie par
ϕ(x) = g−1(x) si x<A0
= f(x) si x∈A0 eun bijeion.Quel théorème vient-on de prouver?
Chapitre
Cardinalité
. Le dénombrable
.. Propriétés axiomatiques de N
Dans ce qui suit,Edésigne un ensemble et≤un ordre surE. On considère les axiomes suivants : S.. L’ensembleEenon vide.
S.. L’ordre≤eun bon ordre surE(i.e. toute partie non vide deEpossède un plus petit élément).
S.. Toute partie majorée non vide deEpossède un plus grand élément.
S..Ene possède pas de plus grand élément.
Premières remarques : Si (E,≤) vérifie les axiomes S.. alors≤eun ordre total surE. Par ailleurs si (E,≤) vérifie S.,,. alorsE eun ensemble infini. Enfin, siE vérifie S.,. alorsE possède un plus petit élément.
Dans la suite on considère un ensemble ordonné (E,≤) vérifiant les axiomes S.,,. On note 0 le plus petit élément deE.
Les fonions successeur et prédécesseur : Considérons un élémentn∈E etF ={m∈ E/ m > n}. D’après ce qui précèdeF n’e pas vide (sinonE posséderait un plus grand élément). On appelle successeur denl’élément notés(n) égal au plus petit élément de l’ensembleF.
Considérons un élémentn∈E− {0}etF={m∈E/ m < n}. D’après ce qui précèdeFn’epas vide (car 0∈F) et emajorée (parn). On appelle prédécesseur denl’élément notép(n) égal au plus grand élément de l’ensembleF.
Propriété.—a) Pour toutn∈Eon as(n)> net pour toutm∈Eon am > n⇐⇒m≥s(n).
b) Pour toutn∈E− {0}on ap(n)< net pour toutm∈Eon am < n⇐⇒m≤p(n).
c) La fonionse riement croissante et la fonionpe riement décroissante.
d) Pour toutn∈E− {0}on as◦p(n) =n.
Preuve :a,b,c) Exercices.
d) On ap(n)< n, doncs(p(n))≤n. Posonsm=s(p(n)) et supposons quem < n, on a doncm≤p(n) mais commem=s(p(n)) on am > p(n) ce qui eabsurde. Ainsim=n.
Théorème.—(appelé principe de récurrence)SoitAune partie deE. SiAvérifie
•0∈A.
• ∀n∈E,n∈A=⇒s(n)∈A.
alorsA=E.
Preuve :Raisonnons par l’absurde en supposant queA,E. On considère alors l’ensembleF=E−A qui edonc non vide. Soit n0 le plus petit élément deF. On an0 ,0 (car 0<F) et doncn0 a un prédécesseurm0. Commen0> p(n0) =m0et quen0ele plus petit élément deAon am0<F, donc
m0∈Aet par suiten0=s(m0)∈Ace qui eabsurde.
Théorème.—L’applicationseune bijeion deEsurE− {0}. Son application réciproque ela fonionp Preuve :•Prouvons quesebien à valeur dansE− {0}. Supposons qu’il exien∈Etel ques(n) = 0, on a donc 0> nce qui een contradiion avec le fait que 0 ele plus petit élément deE.
• Montrons l’injeivité des. Soit n, m∈E tels que s(n) =s(m). Comme≤ e un ordre total, les élémentsnetmsont comparables (disons, par exemple, quen≤m). Sin < mon a doncm≥s(n) mais commes(m)> mon en déduit ques(m)> s(n) ce qui eabsurde, doncn=m.
•Montrons la surjeivité des. Considérons l’ensembleA=s(E)∪ {0}. Par hypothèse, on a 0∈A. Si maintenant on prendn∈Aalorsn∈E et doncs(n)∈s(E)⊂A. Ainsi, par le principe de réccurence
on en déduit queA=Eet donc ques(E) =E− {0}.
Théorème.—Un ensemble non vide ordonné(E,≤)vérifie les axiomes S.,,,. si et seulement si l’ensemble Evérifie les axiomes (dits de Peano) suivants :
P..il exie un élément0∈Eet une applications:E→E.
P..L’applicationseinjeive et à valeurs dansE− {0}. P..Toute partieAdeEvérifiant0∈Aets(A)⊂Aeégale àE.
Preuve : S.0,1,2,3.=⇒P .0,1,2.eclair, la fonionsà considérer étant la fonion successeur. La réciproque eadmise. Un des ingrédients de la preuve consie dans le fait que l’ordre≤que l’on recherche surEse définit de manière non-équivoque par les deux propriétés suivantes :/∀x∈E,
0≤x./∀x, y∈E,x≤y⇐⇒s(x)≤s(y).
Théorème.—Soient(E,≤)et(E0,≤0)deux ensembles ordonné vérifiant les axiomes S.,,,. Il exie une unique bijeion croissante deEsurE0.
Preuve :Notons 0 (resp. 00) le plus petit élément deE(resp. deE0).
•Unicité. Soientf etg deux bijeions croissantes deEsurE0. L’applicationg−1◦f edonc une bijeion croissante deEdans lui-même. Une telle application enécessairement égale à l’identité (exercice).
•Exience. Admise.
En conclusion, tous les ensembles ordonnés vérifiant les axiomes S.,,,. sont isomorphes en tant qu’ensembles ordonnés, leurs propriétés pour cette ruures sont donc les mêmes. Dans la suite on choisira Nun tel ensemble (l’exience d’un tel ensemble e consécutive d’axiomes de la théorie des ensembles). On l’appelera "ensemble des entiers naturels".
. . Arithmétique sur N
Addition.
Théorème.—SurNil exie une unique loi de composition interne+appelée addition telle que :
/∀x∈N,0 +x=x+ 0 =x.
/∀x, y∈N,x+s(y) =s(x+y).
Preuve :Admise.
Proposition.—Le magma(N,+)eassociatif, commutatif et unitaire. Le seul élément symétrisable deN e0.
Preuve :
Théorème.—Soientx, y∈N. Les propriétés suivantes
i)x≤y,
ii) il exiek∈N,y=x+k,
sont équivalentes. En particulier, il exiek∈Ntel quex=y+kouy=x+k.
Preuve :
Multiplication
Dans la suite on notera 1 =s(0).
Théorème.—SurNil exie une unique loi de composition interne.appelée multiplication telle que :
/∀x∈N,0.x=x.0 = 0.
/∀x, y∈N,x.s(y) = (x.y) +x.
Preuve :Admise.
Proposition.—Le magma(N, .)eassociatif, commutatif et unitaire. La multiplication ediributive sur l’addition.
Preuve :
Exercices :/ Montrer que toute partie majorée deNefinie (procéder par récurrence sur le majo-rant). En déduire que toute suite décroissante d’entier e ationnaire.
/ Soitx, y, z∈N. Montrer que six≤yalorsx+z≤y+zet quexz≤yz. Que devient cette propriété si l’on remplace≤par<?
Théorème.—(Principe de récurrence)SoitA⊂Ntelle que :
•0∈A,
• ∀n∈N,n∈A⇒n+ 1∈A.
AlorsA=N.
Corollaire.—(Démonration par récurrence)SoitPnune famille de propositions indexées parN. Si :
•P0evraie,
• ∀n∈N,Pnvraie⇒Pn+1vraie.
AlorsPnevraie pour toutn∈N.
Exemples• ∀n∈N,
n
X
p=0
p=p(p+ 1)
2 .
•Paradoxe de Tarski :Si dans une population denpersonnes il y a au moins une femme, alors il n’y a que des femmes.
. . Ensembles finis
Définition.—On dit qu’un ensemble non videEefini, s’il exie un entiern≥1et une bijeion de Esur{1,· · ·, n}. L’entierns’appelle alors le cardinal deEet se note au choix,card(E),]Eou|E|.
On décrète que∅eun ensemble fini et que son cardinal e0.
Théorème.—Un ensemble fini possède un unique cardinal.
Proposition.—SoitEetFdeux ensembles finis. Les propositions suivantes sont équivalentes.
i)]E=]F,
ii) Il exie une bijeion deEsurF.
Proposition.—SoitEetFdeux ensembles finis de même cardinal etf :E→Fune application. Les propositions suivantes sont équivalentes.
i)f ebijeive, ii)f einjeive, iii)f esurjeive.
.. Analyse combinatoire
Proposition.—SoitEetFdeux ensembles finis. AlorsE∪FetE∩Fsont finis et ](E∪F) =]E+]F−](E∩F)
Proposition.—SoitEetFdeux ensembles finis. L’ensembleF (E, F)efini et ]F (E, F) = (]F)]E
Notation:C’epourquoi, on note plus souventFEau lieu deF (E, F).
Proposition.—SoitEetF deux ensembles de cardinal respeifpetn. Le sous-ensemble deF (E, F) conitué des applications injeives à un cardinal qui vaut :
•0sip > n,
• n!
(n−p)! sip≤n.
Notation:On noteApnce cardinal, c’ele nombre d’"arrangements" depéléments dans un ensemble ànéléments.
Proposition.—SoitE un ensemble de cardinal n. Le sous-ensemble de P(E) conitué des sous-ensemble de deEde cardinalpeun ensemble fini de cardinal :
•0sip > n,
• n!
p!(n−p)! sip≤n.
Notation:On noteCnpce cardinal, c’ele nombre de "combinaisons" depéléments dans un ensemble ànéléments.
Théorème .— (Formule du binôme de Newton) Soit(A,+, .)un anneau commutatif, a, b ∈ Aet n∈N. On a :
(a+b)n= Xn
p=0
Cnpapbn−p
Principe des nids de pigeons: Soitnpigeons danspnids. Sin > p, alors il exie un nid contenant au moins 2 pigeons.
Généralisation :Soitnpigeons danspnids. Sin > pk(pour un entierk,0 donné), alors il exie un nid contenant au moinsk+ 1 pigeons.
InterprétationSoitf :E→F une application entre deux ensembles finis vérifiant]E > ]F. Il exie un élémenty∈Ftel que]f−1({y})≥2.
Exercice.—
.—Calculer les sommes suivantes.
a) Xn
p=0
Cnp.
.—SoitEun ensemble fini de cardinaln.
a) Calculer le nombre de couples (X, Y)∈P(E)2tel queX⊂Y.
dite "fonion caraériique" deA, définie par
1A(x) = 1 si x∈A
= 0 si x<A
a) Montrer que l’applicationf :P(E)−→ {0,1}Equi à une partieAdeEassocie1Aeune bijeion.
b) Déduire de la queion précédente que siE eun ensemble fini de cardinalnalorsP(E) eun ensemble fini de cardinal 2n.
c) Redémontrer ce résultat en utilisant une récurrence, puis redémontrer-le en untilisant la formule du binôme de Newton.
. Ensembles infinis
. . Cardinalité
Définition.—On dit qu’un ensembleE einfini, s’il n’epas fini. SoientEet F deux ensembles.
On dit queEetFsont équipotent s’il exie une bijeion entre ces deux ensembles. On dit alors qu’ils ont même cardinal et l’on note]E=]F.
S’il exie une injeion deEdansF, on note]E≤]Fet s’il exie une surjeion deEdansF, on note ]E≥]F.
Proposition.—SoitEetFdeux ensembles.
•si]E≤]Fet siEeinfini alorsFeinfini.
•si]E≤]Fet]F≤]Ealors]E=]F.
•si]E≤]Falors]F≥]E
La réciproque de la dernière propriété n’e pas décidable. En fait, elle dépend de l’axiome suivant :
Axiome du choix. SoitEun ensemble non vide. Il exie une fonion (dite fonion de choix surE) f :P(E)→Evérifiant :
∀A∈P(E), A,∅ ⇒f(A)∈A On a alors :
Théorème.—L’axiome du choix équivaut à la propriété suivantes : siE etF sont des ensembles tels que]E≥]F, alors]F≤]E.
Théorème.—(Cantor)SoitEun ensemble. Les ensemblesEetP(E)ne sont jamais équipotents.
Exercices.—
.—SoientIun ensemble et (Ei)Iune famille d’ensemble indexés parI. On appelle produit cartésien des ensemblesEil’ensemble, notéQ
iEi, des applicationsf deI dansS
iEivérifiant:
∀i∈I, f(i)∈Ei
Sif eun élément deQ
iEi, on note plus volontiersf = (xi)iavecxi=f(i)∈Ei.
a) Montrer que l’axiome du choix équivaut à la propriété suivantes : pour toute famille non vide (Ei)i d’ensembles non vide,Q
iEienon vide.
b) En acceptant l’axiome du choix, montrer que si (Ei)i et (Fi)i sont deux familles d’ensembles in-dexées parI telles que pour touti∈I, il exie une injeion
(Ind. On utilisera le lemme de Zorn)
c) En déduire (toujours sous l’axiome du choix) que siI einfini et si]Ei ≥2 pour touti∈I, alors Q
iEin’epas dénombrable.
.—Montrer que les énoncés suivants
i) SoitEun ensemble non vide. Il exie une fonion (dite fonion de choix surE)f :P(E)→E vérifiant :
∀A∈P(E), A,∅ ⇒f(A)∈A
ii) Soits:E →F une surjeion entre deux ensembles. Il exie une injeion i:F → E telle que s◦i= IdF,
iii) Soit (Ei)iun famille d’ensembles tous non vides. Le produit cartésienQ
iEi enon vide,
iv) SoitEun ensemble etRune relation d’équivalence. Il exie une classe de représentant deE/R (i.e. Une famille d’éléments (xi)i deEtelle que sii,j,xi,xj etS
i{xi}=E/R), sont équivalents.
.—Montrer, en utilisant des propriétés sur les cardinaux, que la colleion de tous les ensembles n’epas un ensemble.
.—(On accepte dans cet exercice l’axiome du choix.) En utilisant l’exercice précédent, montrer que siX, Y , Z sont trois ensembles non vides etf :X→Y eth:X→Zsont deux applications, alors les énoncés suivants
i)∀x, x0∈X, f(x) =f(x0)⇒g(x) =g(x0),
ii) il exie une applicationg:Y→Ztelle queh=g◦f.
sont équivalents. Prouver, dans ces conditions, que sif esurjeive, alorsgeunique.
.. Ensembles dénombrables
Proposition.—Toute partie infinie deNeéquipotente àN.
Définition.—Un ensembleEedit dénombrable s’il efini ou équipotent àN(ce qui revient à dire qu’il exie une injeion deEdansN).
Exemples.—•Nedénombrable.
•Zedénombrable. L’applicationϕ:Z→Nqui àn≥0 associe 2net àn <0 associe−2n−1, e bijeive.
•N×Ne dénombrable. L’applicationf :N×N→Nqui à (a, b) associe 2a3beinjeive. De manière générale,Nnedénombrable. L’applicationf :Nnqui à (a1,· · ·, an) associe 2a13a2· · ·pnan(où (pk)kdésigne la suite des nombres premiers) einjeive.
•Qedénombrable. Sir∈Q, il exie un unique couple d’entiers (p, q) avecp∈Zetq∈Ntel que r=p/q. Si on posef(r) = (ϕ(p), q)∈N×N, alorsf eune application injeive.
Proposition.—SiAetBsont deux ensembles dénombrables, alorsA×Bl’eaussi Proposition.—Si(En)n∈Neune famille d’ensembles dénombrables,S
nEnedénombrable.
Proposition.—Rn’epas dénombrable.
Exercices.—
.—Montrer qu’un ensembleEeinfini si et seulement si il exie une applicationf :E→Equi e injeive et non bijeive.
.—On considèrePf(N) le sous-ensemble deP(N) conitué des parties finies. Montrer que cet ensemble edénombrable.
.—Montrer queNNn’epas dénombrable.
.— Soit E et F deux ensembles. Montrer que les ensembles P(E×F), [P(E)]F et [P(F)]E sont équipotents.
.—SiAetEsont deux ensembles, on noteAE=F(E, A).
a) Montrer que siAetBsont deux ensembles équipotents alorsAEetBEle sont également.
b) Montrer que (AE)Eeéquipotent àAE×E.
c) En déduire que [P(E)]Eet{0,1}E2sont équipotents.