3 Etude de fonctions ´

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 2 cours de Calcul Diff´erentiel

Universit´e de Paris 8 Feuille n^◦2bis

Continuit´ e

1 Th´ eorie

Exercice 1 (Partiel Novembre 96) Soit I un intervalle ouvert de R,f etg deux fonctions d´efinies sur I.

1. Soit a∈I. Donner une raison pour laquelle :

x→alimf(x) =f(a)

⇒

x→alim|f(x)|=|f(a)|

.

2. On suppose quef etgsont continues surI. En utilisant l’implication d´emontr´ee ci-dessus, la relation Sup (f, g) = ¹₂(f+g+|f−g|), et les propri´et´es des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f, g) est continue sur I.

Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈ I, f(x)² = 1.

Montrer que f = 1 ouf =−1.

Exercice 3 Soit f : R⁺ → R continue admettant une limite finie en +∞. Montrer que f est born´ee. Atteint-elle ses bornes ?

Exercice 4 Soit f : [0,1] → [0,1] croissante, montrer qu’elle a un point fixe. Indication :

´ etudier

E ={x∈[0,1]|∀t ∈[0, x], f(t)> t}.

Exercice 5 Soitf : [0,1]→[0,1] continue telle quef² =f(∗).On noteE_f ={x∈[0,1]|f(x) = x}. Montrer que Ef 6=∅ puis que c’est un intervalle de R.

Trouver toutes les solutions de (∗).

Exercice 6 Une fonction qui v´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires est-elle n´ecessairement continue ?

Exercice 7 Soit f : [a, b]→R une fonction continue. On veut d´emontrer que sup

a<x<b

f(x) = sup

a6x6b

f(x).

1. Montrer que

sup

a<x<b

f(x)6 sup

a6x6b

f(x).

Pour cela, on pourra montrer que sup_a6x6bf(x) est un majorant de f sur ]a, b[.

2. Soit x₀ ∈ [a, b] tel que f(x₀) = sup_a6x6bf(x). Montrer que f(x₀) = supa<x<bf(x) en distinguant les trois cas : x0 =a, x0 =b, x0 ∈]a, b[. Indication : Dans le cas x0 =a, par exemple, on pourra consid´erer la suite de r´eels a_n =a+ 1/n et ´etudier la suite (f(a_n)).

3. Soit g : [0,1] → R la fonction d´efinie par g(x) = 0 si x ∈ [0,1[ et g(x) = 1 si x = 1.

Montrer que

sup

0<x<1

g(x)6= sup

06x61

g(x).

Quelle hypoth`ese est essentielle dans la propri´et´e d´emontr´ee auparavant ? 1

2 Pratique

Exercice 8 Etudier la continuit´e de f la fonction r´eelle `a valeurs r´eelles d´efinie par f(x) = (sinx)/x six6= 0 et f(0) = 1.

Exercice 9 Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit´e sur R? a) f(x) = sinxsin(1

x) ; b)f(x) = 1

xlne^x+e^−x

2 ;

c)f(x) = 1

1−x − 2 1−x² .

Exercice 10 Soit f :R→R continue en 0 telle que ∀x∈R f(x) =f(2x). Montrer que f est constante.

3 Etude de fonctions ´

Exercice 11 D´eterminer les domaines de d´efinition des fonctions suivantes f(x) =

r2 + 3x

5−2x ; g(x) = √

x²−2x−5 ; h(x) = ln (4x+ 3) Exercice 12 (Partiel Novembre 96) Soit

f :x∈R7→f(x) = cosx 1 +x². Montrer que f est major´ee sur R, minor´ee surR.

D´eterminer Supx∈Rf(x).

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