Les écoulements gazeux cylindriques

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Les écoulements gazeux cylindriques

Jean Villey

To cite this version:

NOTE.

M. Langevin nous fait remarquer que, si des observateurs liés à un _{point quelconque} 0 du disque tournant _peuvent se

considérer comme immobiles _{lorsqu’il s’agit d’expériences} du premier ordre en fonction de la vitesse _angulaire de rota-tion 0~ et c’est le point de vue _auquel il s’est placé dans ses

Notes de 1921 1 est de 1937, ils doivent au contraire, en théorie classique comme en relativité, tenir _compte de leur distance r

à l’axe de rotation C _{lorsqu’il s’agit d’expériences} du

second _ordre, ou _lorsque, comme dans les expériences dont il s’agit ici, le _{dispositif expérimental} n’est qu’en partie lié

au _disque tournant. Si l’on veut, en théorie _relativiste, se placer au point de vue des observateurs 0, il est nécessaire de considérer la _partie du dispositif extérieure au _disque, comme étant, au _{premier ordre,} animée d’un mouvement de transla-tion de vitesse w r. Le raisonnement _qui suppose cette partie immobile _{exige que les observateurs soient liés} au centre C.

LES

ÉCOULEMENTS

GAZEUX

_CYLINDRIQUES

Par M. JEAN VILLEY,

Professeur à la Faculté des Sciences de Paris.

Sommaire. 2014 L’auteur _a

donné, dans une Note antérieure _(1), les _{expressions générales} des différentielles logarithmiques des caractéristiques thermodynamiques (p, v, T) et de la vitesse (u) d’un gaz parfait en écoulement linéaire, en fonction des variations de section ds, de l’apport de chaleur _{03B4q par unité de} masse, et de l’énergie 03B403C9 décoordonnée par unité de masse, dans le parcours élémentaire, dx.

Ces _{équations sont utilisées ici pour étudier le} cas _particulier des écoulements dans une canalisation cylindrique (ds = _o).

Le cas _particulier de l’adiabaticité _(03B4q = _o) donne lieu à des observations intéressantes relatives _{à la}

vitesse _sonique limite.

Les _échanges de chaleur _03B4q sont ensuite _envisagés, soit qu’ils soient _réglés en fonction de 03B403C9 pour obtenir une évolution _{thermodynamique} déterminée, soit _qu’ils se _{produisent spontanément} en fonction de l’écart de température (T - T0) entre le gaz et le milieu extérieur.

03B4

Dans tous les cas, les diverses variations _{logarithmiques s’expriment} en fonction de $$

03B403C9/u2,

déterminée elle-même en fonction du déplacement dx par la loi de Blasius qui résume les résultats de l’étude

expéri-mentale des écoulements cylindriques turbulents. On _peut alors traiter les divers problèmes pratiques par des calculs menés de proche en _{proche pour de petits déplacements} finis successifs dx.

1.

Ecoulements

_{cylindriques adiabatiques.}

-Les

_{équations générales}

_{(5), (6), (7),}

₍₈₎

de l’écoule-ment linéaire d’un _gaz

_parfait,

données dans une Note antérieure

_{(2), s’appliqueront}

au cas des écoulements

cylindriques adiabatiques

en _{y faisant ds} = = o. On

_peut

d’ailleurs les réduire à

trois,

car

_{l’équation}

(1) J. de _{Physique, x g4 ~, 3, p. 79.}

(2) Précisons ici le calcul, effectué à _partir des équations de base (1), (2), (3), (4) et dont on a seulement donné les résultats.

On a

et l’on _peut écrire ₍₃₎ sous la forme

Or

d’où

et ₍₃₎ devient

de continuité

donne,

pour une canalisation

cylin-t d’" M p

drique

p. u = const,

ou -

= const, -

ü

_>

p u v

et il est inutile de conserver

_{l’équation}

₍₆₎

_qui

devient

_identique

à

_{l’équation (5) lorsque}

les termes

en ds ont

_disparu.

De même, (4) peut s’écrire

mais

et ₍₄₎ devient

En portant dans ₍₁₎ les _{résultats de (2), (3’)} et _(4’), on

obtient

ou

qui donne _(5), et, de là _{(6), (7)} et _(8).

On obtient alors les trois

_équations

Comme du~ est

_{toujours positif,}

elles

_indiquent

immédiatement le sens des variations des diverses

grandeurs

étudiées.

Elles

_distinguent

deux domaines suivant le

_signe

de

_{(i - k) ;}

et nous trouvons

_toujours,

comme fron-’

tière,

la vitesse

_{sonique (3) (k}

= ~

_).

Pour les vitesses

subsoniques (1

- k >

_o),

la vitesse u va en crois-sant

(donc

aussi le

_volume

_spécifique

v ; autrement

dit, la

_{densité p = §}

va en

_{décroissant),}

la pres-(.’

sion p et la

température

T vont en décroissant. Pour les vitesses

_{supersoniques (i}

-- I~

_o),

on a les.

résultats

_opposés.

’

Dans les deux cas, on aboutit à la conclusion _que la vitesse

_sonique

constitue une limite

infran-chissable.

Il _y a intérêt à vérifier cette _{conclusion par} un

calcul

dînèrent,

basé sur

_{l’équation}

de l’évolution

thermodynamique.

’

2.

Évolution

_{thermodynamique}

au cours de l’écoulement. - Pour obtenir cette

équation,

il suffit d’éliminer la vitesse d’écoulement u entre deux des

_équations

du mouvement. Cela est facile dans le cas de

_{l’adiabaticité,}

où la conservation de

l’énergie

se traduit par

_{l’équation}

de

_{l’enthalpie}

(~ = CT)

Jointe à

_{l’équation}

de continuité

elle

_donne,

avec _{pv =}

RT,

l’équation

d’une

_{hyperbole qui représente}

l’évolution dans le

diagramme

de

_{Clapeyron (coordonnées}

_p,

_v).

Il est facile de la _{situer par}

_rapport

aux réseaux des isothermes et des

_{isentropiques}

en

_comparant

leurs

_pentes.

(3) Réservant les noms de vitesse pour les déplacements de

matière et de célérité pour les propagations de pertur-bations, nous _app°lons vitesse sonique une vitesse d’écou-lem9nt égale à la célérité du son _(pour la température réalisée à l’endroit considéré).

1,’équation (16)

donne

ou

ou

Cette

_pente

est

_négative,

ce

_qui

_signifie

_que les

sens de variation de la

_{pression p}

et du volume

spécifique v

sont

_toujours

_{opposés (autrement}

dit

ceux de

_{p et}

de la densité _p

_ ~î

sont

_toujours

les

mêmes).

Elle est

_{plus grande}

en valeur absolue que

la

_pente

_{- E}

de

l’isotherme,

ce

_qui

_signifie

_que

les sens de variation de p et de la

température

T sont

_toujours

les mêmes.

_Enfin,

_{l’équation (14)}

indique

que les sens de variation de T et de la

vitesse u sont

_toujours

_opposés.

Pour déterminer dans

quel

sens se

_produit

l’évolu-tion _{définie par}

_{l’équation (16),}

on a la

condi-tion dS > o,

imposée

aux évolutions

_adiabatiques

irréversibles

_{(frottements).}

Elle

_signifie

_{que le}

_point

représentatif

doit

_toujours

avancer, dans le réseau des

_{isentropiques,}

dans le sens de

_l’entropie

crois-sante.

Or,

la courbe

₍₁₆₎

devient

_tangente

à

_{l’isentropique}

en un

_point

A _{défini par la condition}

ou

ou

la vitesse

_{correspondant à}

l’état A est donc

_sonique.

Cette

_isentropique

définit

_l’entropie

maximum Sa

réalisable dans l’évolution.

L’hyperbole

(16)

représente

par

conséquent

deux évolutions absolument

_{indépendantes,}

l’une

sub-sonique,

l’autre

_{supersonique,}

_{correspondant}

aux

deux arcs

_séparés

_{par le}

_point

A. Elles tendent l’une

et l’autre vers le

_point

A. Nous retrouvons bien la - même conclusion

_{qu’à partir}

des

_équations

_{(11), (12),}

(13)

où _{8w n’est pas} autre chose que T d S

(puisque

la décoordination QW

_produit

exactement la même modification

_qu’un

_apport

_égal

de

_chaleur).

3. La limite

_sonique

de la vitesse. -

Lorsque

l’on

_envisage,

en

_pratique,

le cas des écoulements

subsoniques provoqués

par un

gradient

_négatif

de

pression,

cette

_conclusion,

relative aux canalisations

que celle relative aux

_convergents

_{isentropiques,}

à

laquelle

nous a habitués

_{l’expérience}

journalière,

et

qui

s’énonce comme elle : la vitesse d’écoulement va

en

_croissant,

sans

_{pouvoir dépasser}

la vitesse

_sonique.

Le cas des écoulements

_{supersoniques, auxquels}

les

_{équations s’appliquent}

aussi

bien,

a _par contre

un

_aspect

_{plus paradoxal. Puisque}

le

_gradient

de

pression

est

_positif,

_{l’écoulement du gaz} est

com-mandé par

l’énergie cinétique qu’il

avait

préalable-ment

_acquise.

Il est

_impossible

d’admettre _que, dans une _{canalisation que} nous

_allorgerons

progressi-vement, la vitesse

_puisse

rester _{indéfiniment}

super-sonique, puisque, d’après

les

_{équations (11)}

et

_(12),

où

₍

_{- k)}

o, la vitesse décroît constamment et la

_température

T croît _constamment, et de

_plus

en

plus

vite

_{quand k}

tend vers 1.

On

_pourrait

chercher à

_échapper

à la difficulté

en incriminant la validité des

_équations.

Elles sont

basées, dans l’un et l’autre mode de

calcul,

sur

l’hypothèse

que l’on a une

_{approximation légitime}

en considérant la vitesse comme uniforme dars

chaque

section s. Bien _{que les}

_équations

_{( 1 I ), ( 12) (13),}

écrites pour un écoulement entre

_parois

_immobiles,

ne

_{s’appliquent}

_{pas à} une _nappe

_cylindrique

élémen-taire

_(4),

elles donnent _{à penser,} à titre

d’approxima-tion,

que, au

_voisinage

de k =

i, les différences de vitesse entre les divers filets doivent

_{s’exagérer}

beaucoup.

Il faudrait donc étudier

_séparément

les mouvements des _{diverses nappes}

_{cylindriques;}

cela

se

_{compliquerait}

encore du fait que

l’adiabaticité

globale

réalisée par des

parois

isolantes

_n’empêche

nullement des

_écharges

de chaleur entre les diverses nappes, si des différences

importantes

s’établissent entre leurs

_{températures}

du fait de leurs mouvements différents.

Mais cela ne met en doute l’utilisation des

équa-tions

_{qu’au voisinage}

immédiat de la vitesse

_sonique,

et si k s’écarte de

_façon

sersible de la valeur i, les

_signes

de du et d T donnés _par

₍₁₁₎

et

₍₁₂₎

lui

imposent

de tendre vers cette valeur.

Il reste, pour

échapper

à la

contradiction,

l’hypo-thèse _{d’un passage discontinu d’une vitesse}

super-sorique

à une vitesse

_subsorique

_(sans

traverser la vitesse

_sorique)

_par une onde de choc

_analogue

à celle

_qui

se

_produits

dans le

_divergent

d’une

_tuyère

de Laval

_lorsque

la

_pression

d’aval devient

_trop

forte.

On

_peut

analyser

la naissance d’une telle onde de choc en

_{imaginant l’expérience}

suivante.

Utilisons une

_tuyère

de Laval _que nous

prolon-geons,

après

un raccord continu

convenable,

_par

une canalisation

_cylindrique

constituée de sections

identiques

entre elles

_susceptibles

d’être

_ajoutées

indéfiniment les unes au bout des autres.

Le

_{jet supersonique}

_(k

>

_i)

fourni _{par la}

_tuyère

de Laval avance,

grâce

à son

_inertie,

dans les

(1) Il _faudrait, d ms l’équation de conservation de l’énergie, introduire le travail des forces de frottement des filets voisins.

premières

sections,

à la sortie

_desquelles

on obtient des

_pressions

_{progressivement}

croissantes

et des vitesses

_{progressivement}

décroissantes

Après chaque adjonction

d’une nouvelle section m, maintenons la

_pression

d’aval à la _{valeur pm}

_qui

a

été ainsi atteinte.

Il _{arrivera forcément que,}

_après

_{la pose d’une}

section,

l’énergie cinétique

restante T

un

ne

2 sera

_plus

suffisante pour assurer la continuation de l’écoulement dans la

_{(n +}

_{1) rme}

_{section par le} même mécanisme d’inertie.

_Lorsque

nous mettrons

en

_place

cette

_(n

+

₁₎

ème

section,

l’évacuation ne

pourra

plus

être assurée

qu’avec

l’aide d’un

gradient

négatif

de

_{pression :}

il _{faut que la}

_pression

_augmente

en un

_point

convenablement situé dans cette section ou en amont

d’elle,

et cela ne

peut

être _{réalisé que par}

_{l’apparition}

d’une onde de choc.

Maintenons dorénavant la

_pression

d’aval à la valeur invariable p,,, en

_ajoutant

de nouvelles

sections,

numérotées

_{(n +}

_i),

_{(n +}

_2),

...,

(n + i).

Le débit de la

_tuyère

restant

constant,

la force de frottement dans cette canalisation

_{supplémentaire}

augmente

progressivement

avec sa

_longueur

_i;

l’écoulement ne

_peut

être _{maintenu que}

_grâce

à

une

_augmentation

_parallèle

de la

_pression

_[pn

_{+ 1}

_(i)]

à l’entrée de la

_(n

+

1)

eme

section,

au-dessus de la

pression

constante d’aval _{p,,. Cette}

_augmentation

de

_{pression i (i)}

ne

_peut

_{être réalisée que par} un

déplacement

de l’onde de choc vers

_l’amont,

d’abord

jusqu’à

l’entrée de la

canalisation,

puis

dans le

divergent

de la

_tuyère

de Laval.

_{Lorsqu’elle}

aura

atteint le col de la

_tuyère

_(où

elle

_{s’évanouit),}

le débit cessera d’être constant;

l’adjonction

des sections suivantes le fera

_{progressivement}

diminuer. Mais il ne semble pas douteux que nous aurions pu,

en

_ajoutant

la

_{(n + 1)}

én’e

section,

_y assurer

l’évacua-tion, sans faire naître l’onde de choc ni rien modifier

dans les

_premières

sections,

en abaissant la

_pression

d’aval au-dessous de pn

(5)

à une valeur

conve-nable Des

_{opérations analogues}

_peuvent

être

répétées

sur un

_{nombre j}

de sections

supplémen-taires d’autant

_plus

élevé _que la

_pression

_pn est

plus

élevée et laisse une _marge

_plus

grande

_pour

réaliser des

_gradients

de

_pression

_négatifs

_jusqu’à

la valeur la

_plus

basse _{pn t-i que} nous

_puissions

maintenir. Nous aurons alors

obtenu,

dans ces

j

sections,

un écoulement

_incompatible

avec les

équations

(11),

(12), (13),

aussi bien d’ ailleurs

_qu’avec

les

_équations

_(14),

_{(15), (16).}

Il y a là un

_paradoxe

si nous admettons _que ces

équations

sont valables

_jusqu’à

la vitesse

_sonique.

~~1

réalité,

cette contradiction confirme

_simplement

les doutes _que nous avons été amenés à émettre

plus

haut sur la

_validité,

au

_voisinage

de la vitesse

sonique,

de

_{l’approximation qui}

traite l’écoulement

comme s’il était uniforme dans

_chaque

section.

4. Interventions

_thermiques

diverses.

-Lorsque

l’écoulement n’est pas

adiabatique,

le facteur d’action

_aq

intervient,

en même

_temps

_que

le facteur

8w,

dans les _{variations alors définies par} les

_équations

Ces

_{équations n’indiquent}

le sens des variations que si l’on connaît la relation entre

ôq

et 8w.

On doit noter

_qu’il

est difficile de

réaliser,

avec un courant _gazeux

_rapide,

des

_échanges

de chaleur

_èq

importants, malgré

la turbulence

_qui

élimine l’obstacle dû à la faible conductibilité

_thermique

dcs

gaz. La résistance

thermique

au contact _{d’un gaz} sec et d’une

_paroi

- fût-elle d’un métal très

conduc-teur -

est en effet très élevée. Il est, par contre,

assez facile de créer dans le _gaz

même,

par des réactions

_chimiques

_(6),

des

_quantités

_d’énergie

thermique importantes,

ce

_qui

est

_équivalent,

au

point

de vue

_{thermodynamique,}

à un

_apport

de chaleur de même valeur

_aq

> o.

Réaliser les

_échanges

_{ôq qui}

fourniront telle ou

telle évolution

_{thermodynamique -}

ce

qui

exige

que le

rapport G, soit

convenablement

réglé

en

fonction de l’état et de la vitesse du _gaz -

apparaît

donc comme fort difficile. Mais si l’on suppose

_qu’on

sache le

faire,

en

_{remplaçant ~q}

en fonction de aw conformément à cette relation connue, on ramène

les

_équations

_(18),

_{(19), (20) à}

une forme

_simple

analogue

à celle des

_équations

_{(11), (12), (13).}

Le cas le

_plus

intéressant en

_pratique

est celui de

l’isothermie,

car il constitue le cas limite _pour

l’étude des canalisations très _peu isolées

thermi-quement,

de même _{que l’adiabaticité} est le cas

limite pour l’étude des canalisations à isolement

thermique

très élevé.

On aura, en annulant

_(19).

la condition

ou

On

_{pourrait envisager}

aussi

_{l’hypothèse}

de

l’isen-tropie

réalisée par

compensation,

en faisant

L’écoulement isobare serait obtenu en

annu-lant

_(20),

ce

_qui

donne

ou

Enfin, l’écoulement à vitesse constante,

qui

serait aussi à densité constante

_(et

volume

_spécifique

constant)

est défini en annulant

_(18),

soit

ou

En

_portant

ces diverses

_expressions

de

_ôq

dans les

équations (18), ( 19), (20),

on obtient le tableau

_(25),

dans

_lequel

nous ferons

_{figurer également}

les

résul-tats relatifs à l’écoulement

_{adiabatique (lq = o),}

antérieurement étudié.

Avec ce

_tableau,

on

_peut,

_{pour les}

_quatre

derniers cas, écrire des

_{équations analogues}

aux

équa-tions

_(11),

_{(12), (13)}

du cas

_adiabatique.

5. L’anomalie

_{thermique. -}

_{L’équation (19)}

met en évidence une

_{particularité}

intéressante

_{(?) :}

c’est l’inversion de l’effet

_thermique

d’un

_apport

de chaleur

_lorsque

la vitesse d’écoulement est

comprise

entre

lu

et On voit en effet que

v y

pour 1

l i, un

_apport

de chaleur

_(dq

_o)

Y

donne une contribution

_négative

à la variation de

température.

Autrement

dit,

aux vitesses de ce

_domaine,

il faut enlever de _{la chaleur pour obtenir} une

_température

croissante

_{(c’est-à-dire}

aussi une

_énergie

interne

croissante).

Il

_n’y

a _pas

_là,

en

_réalité,

un. résultat

_paradoxal.

Il ne faut pas

_perdre

de vue, en

_effet,

_{que les}

échanges

de

_{chaleur 6q}

- _comme d’ailleurs aussi

les décoordinations interviennent dans

l’écou-lement,

non seulement par leur action directe sur

l’énergie

interne,

mais indirectement par les modi-fications de volume

_qu’ils

contribuent à

_imposer.

Nous sommes

habitués,

dans l’étude des évolutions

statiques,

à ne _pas nous étonner des chaleurs

spéci-fiques

négatives

réalisées

_lorsque

le fluide fournit un travail de dilatation p dv

plus

grand

que la chaleur

_ôq

_qu’il

_reçoit.

Il en est de même ici

_lorsque

l’apport

o

_{s’accompagne}

d’un travail p dv

_plus

grand

que lui. Si nous considérons le cas limite où les termes en 8w seraient

_{négligeables}

devant les termes en

_8q,

la _{condition pour}

_qu’il

en soit ainsi

s’écrira,

d’après (18) (8),

ou,

puisque

nous _supposons

_dq

> o,

mais _pv =

’-lit 2;

d’où la condition

qui exige

d’abord 1 - k > o, ou k i, et

qui

permet

alors d’écrire

ou

() Elle a été _signalée par ÀÎ..JOUGUET, C. R. )tcad. _Sc,, i94, 1932, p. 2i3.

(8) Puisque

d

(8) Puisque

ou

ou

Nous retrouvons bien les deux limites du domaine de l’anomalie

_thermique.

L’influence de la décoordination aw

_(qui

est

toujours positive)

sur la

_{température présente}

elle aussi le même

_aspect

_paradoxal

à

_première

vue,

puisque,

dans une canalisation

_cylindrique

adiaba-tique (ds

=

ôq

=

o), l’équation (12)

_nous donne une

_température

décroissante tant _que k est

_plus

petit

que i

(vitesses subsoniques).

L’équation

de définition de

_l’énergie

interne

devient,

lorsqu’il

y a

_{décoordination,}

et

_{s’il y}

a adiabaticité

La condition _{pour que la}

_température

T ==!!.

soit e

décroissante,

c’est que l’action indirecte de dw pour accroître le travail p dv

l’emporte

sur

_l’apport

direct

_{d’énergie thermique qu’il}

constitue. Elle s’écrit donc p dv >

ôw,

ou,

d’après

(11),

ou,

puisque

ôw > o,

ou

ce

_{qui exige simplement}

ou

6. Variations de

_l’énergie

_cinétique.

-

Si,

après

les variations de

_l’énergie

interne,

nous

exami-nons celles de

_l’énergie

cinétique -

u2, nous aurons

à faire des observations

_analogues.

La décoordination 8w est une destruction

_d’énergie

cinétique;

elle

_agit

donc directement _{pour diminuer}

celle-ci. Mais cette action directe

_peut

être effacée par une action indirecte

_qui

sera une

_augmentation

du

terme

_{(- v}

_{dp), puisque}

L’équation

(11)

nous en donne un

_exemple

frappant.

Le

_signe

de

d - 1 U2

= u

_du,

est en effet

celui de

_du,

ou

de dit -

Nous constatons _{que, dans}

u

un écoulement

_cylindrique

_{adiabatique (ds}

=

dq:=

o),

une

_augmentation

de

_{l’énergie cinétique}

tant que

(1 - k)

reste

_positif,

c’est-à-dire aux vitesses

subsoniques.

C’est parce

qu’elle exige

un

_gradient

de

_pression

_négatif

de valeur _{telle que la résultante} des

_pressions

_(d’amont

et

_{d’aval) l’emporte}

sur la résultante des résistances de frottement de la

_paroi,

et donne une

_augmentation

de

_quantité

de

mou-vement.

La condition

_{(--- v dp)}

> ow nous donne d’ailleurs

d’après l’équation (13),

ou

qui exige

seulement - k > o.

Les

_échanges

de chaleur

_~q,

eux, n’interviennent

qu’indirectement

dans la valeur de

_l’énergie

ciné-tique,

par leur action sur

_{(--- v dp).}

On constate

par

exemple

sur

_{l’équation (18)}

_{que, dans} une

cana-lisation

_cylindrique

où la décoordination serait

négli-geable auprès

des

_échanges

de chaleur

_{(ds =}

dW =

o),

un

_apport

de chaleur

_o)

_{s’accompagne,}

aux

vitesses

_{subsoniques tr - k > o),}

d’une augmen-tation de

_{l’énergie cinétique.}

Cela

_correspond

simple-ment à la condition

_{(- v dp) >}

o,

qui

donne,

d’après

(20),

’

ou

elle est _{satisfaite pour} 1- k > o.

7.

Écoulement

isotherme. - Dans le cas de

l’écoulement

_isotherme,

le tableau

_{(25) indique}

comme limite infranchissable k ==

_,

c’est-à-dire 1

En

réalité,

tandis que la limite était

en fait infranchissable dans une canalisation

parfai-tement

isolante,

il

_s’agit

_{ici d’une vitesse que l’on}

ne

_peut

_pas traverser

isothermiquement,

mais que l’on pourra traverser en

_fait,

même dans une canali-sation dont on

_supposerait

les

_{parois parfaitement}

conductrices.

_{L’équation (19)}

montre en effet que,

lorsque k

devient

_égal

à

l’isothermie

_exigerait

,

Y

des

_échanges

de chaleur

_aq

infiniment

_grands,

_pour que le terme en

_{~q puisse}

continuer à _compenser le terme en 6w.

La très

_grande

résistance

_thermique

localisée au

contact entre un _gaz sec et une

_{paroi métallique}

s’oppose

à des

_échanges

_aq

très élevés. On pourra alors traverser la valeur k

== ~

en s’écartant

locale-,

ment de l’isothermie. Les

_expressions

du tableau

₍₂₅₎

indiquent

que si,

après

ce

_{franchissement,}

l’iso-thermie est à nouveau

_assurée,

la

_pression

sera

croissante,

après

avoir été décroissante avant la limite.

Dans la

_pratique,

on a en

_général

à étudier des

écoulements pour

lesquels k

reste loin au-dessous de

,

et dans

_lesquels

l’isothermie est

_possible.

,

L’évolution est alors

_{représentée,}

dans le

_diagramme

entropique,

par l’horizontale T =

T 0’

et dans le

diagramme

de

_Clapeyron

_par

_{l’hyperbole}

_pv = _Povo,

sur

lesquelles

il est facile de suivre les

_{déplacements}

du

_{point qui représente}

les états successifs du _gaz le

_long

de l’écoulement.

8.

_Échanges

_{thermiques spontanés.}

- En

général,

plutôt

que des interventions

thermiques

réglées

en vue de réaliser une relation déterminée entre

_8q

et

dtu,

on aura des

_échanges

_spontanés

de chaleur

_réglés

_{par l’écart} entre la

_température

T du gaz et la

_température

extérieure

_{T o.}

A titre de

_première

_{approximation}

_(d’autant

meilleure que l’écart des

_{températures}

est

_plus

faible),

le flux de chaleur à travers l’unité de surface de la

_paroi

_pendant

l’unité de

_temps

sera de la

forme

₍₉₎

On _pourra alors écrire

d’où

Lorsque

l’on veut faire circuler un fluide

_qu’il

n’y

a _{pas intérêt à maintenir à} une

_température

différente de la

_température

extérieure,

on ne se

préoccupe

pas en

_général

d’isoler

_{thermiquement}

la

canalisation. Le coefficient de

_{conductibilité i}

sera

alors très

_grand,

et les

_échanges

_~q

_{modérés que} réclame l’isothermie

_{approximative}

_pourront

être effectivement obtenus sous des différences de

tempé-rature

_T)

très

_petites.

Au

contraire,

si la canalisation

_comporte

un

isolement

_thermique

très

_{efficace, j}

devient très

petit.

Si

_{(To - T)}

reste

modéré,

dq

restera très

petit

et l’écoulement sera voisin de l’écoulement

adiabatique.

Si

_{TQ -}

T est très

_grand,

_quelque

_{soin que} l’on ait

_pris

à

_calorifuger

le

_tube,

les

_{échanges dq}

deviendront notables. On devra dans les

équa-tions

_(18),

_(19),

_{(20) remplacer}

_ôq

_par son

expres-sion

_(26).

168

9. Détermination de owen fonction de dx.

--Il nous reste alors, dans les

_équations

_(18),

_{(19), (20)}

et dans leurs divers cas

_{particuliers,}

le

_paramètre

de variation

..

Pour les

_utiliser,

il faut savoir U2

expliciter

ce

_paramètre

en fonction du

_déplacement

dx

compté

le

_lorg

de l’axe du

_tuyau.

En

_chaque

endroit,

les calculs menés de

_proche

en

proche

nous font connaître la vitesse d’écoulement u

(confondue

avec la vitesse moyenne dans la

_section),

la

_{densité p}

= 1

par

p

_{du gaz,} et sa

1 d .t ’

₁

(do

u

d

v _{p u ,}

température

T,

qui

défirit sa viscosité _p.. On

_peut

alors évaluer ôw = w. dx

d’après

les résultats des

études

_{expérimentales}

du débit dans des écoule-ments

_cylindriques

courts

_(où

_{la vitesse moyenne du} gaz et son état

_{thermodynamique}

_peuvent

être considérés comme invariables en fonction de

x).

Dans le cas des écoulements turbulents

_{( ~}

>

₂₀₀₀₎

qui

est celui des écoulcments

_rapides

industrielle-ment

_{intéressants,}

les résultats

_{expérimentaux}

sont

représentés

avec une très bonne

_précision

_{par la loi}

invariante de Blasius

où les deux

_grandeurs

sans dimensions ~ et 8 sont définies par

et

De ces trois

_équations,

on tire

ou

Or,

nous _pouvons

relier ££ à

la force de frotte-d z

ment

_par

unité de surface de la

_paroi,

et, de

_là,

à

_{l’énergie dissipée}

ow.

En

effet,

dans les écoulements sans accélération

appréciable

réalisés pour l’étude

expérimentale

des

débits,

il y a

_équilibre

entre les

_pressions

et les forces de

frottement; d’où,

pour la masse _gazeuse

comprise

entre deux

sections si

et s2,

_{l’équation}

Mais,

si nous étudions le mouvement relatif par

rapport

à des axes entraînés avec le

fluide,

nous

écrirons que le travail de la force de frottement dans le

_déplacement

_{~--~ dx)}

des

_parois

fournit

_l’énergie

dissipée

(8w

par unité de

masse).

Cela donne

ou

d’où,

en utilisant

_(30),

-et

en introduisant la viscosité

_{cinématique -j}

== .

1-10. Exécution des calculs. --- Cette

équa-tion

_{(31), jointe}

à

_{l’équation (26)}

_que nous écrirons

sous la forme

nous

_permet

_{d’expliciter}

les

_{équations (18), (19), (20)}

en fonction du

_déplacement

dx le

_long

de la

cana-lisation.

Elles

_permettent

alors de calculer tout

l’écoule-ment de

_proche

en

_proche

si l’on connaît un

_point

de

_départ

_(po,

_{T 0’ uoj.}

On traitera ainsi le

_problème

le

_{plus simple}

où,

ayant

défini l’état d’amont

(po,

T 0)’

on cherche à

déterminer

_{quelle pression}

p, subsistera à la sortie aval pour un débit D

donné;

la vitesse initiale uo

est alors déterminée par D = s p, u, ou _{uo =}

DR TO

Les calculs se

_présentent

de la même manière si l’on cherche l’état

_{qu il}

faut entretenir en amont pour obtenir en aval un _{état p} TI donné avec un

débit D

_donné;

ils sont _{conduits alors par}

déplace-ments dx

_négatifs

à

_partir

de la sortie 1.

Si les données ne définissent pas

_{complètement}

un

_point

de

_départ,

le

_problème

devient

_plus

com-pliqué. Supposons

par

exemple

que. connaissant l’état d’amont

_{Po T 0}

et la

_pression

_pi

_{qui règne}

en

aval,

on cherche à calculer le débit D obtenu. On

ne connaît pas u,, dont on a besoin au

_départ

_pour

appliquer

les formules. On devra alors calculer en

attribuant à Uo diverses valeurs

_{hypothétiques.}

On pourra ensuite déterminer par

interpolation

celle

_qui

donne la

_pression

pi

imposée.

On aura

alors

Le

_problème

est encore

_plus

_complexe,

du moins en _apparence

si,

la

_pression

_Po étant

donnée,

nous

cherchons

_{quelle température}

initiale

_Tj

est néces-saire pour obtenir à la sortie une

_température

Ti

cette valeur soit

_possible,

ce

_{qui correspond}

à la condition nécessaire

_o).

Nous

_devons,

en

_effet,

donner des valeurs

_{hypothétiques}

à deux

incon-nues

_{T 0}

et _uo. Mais elles sont liées l’une à l’autre par la relation

nous sommes

donc,

en

_réalité,

ramenés à un

_problème

analogue

au

_précédent,

_qui

consiste à _{chercher par}

interpolation

quelle

est la valeur de

_{T 0 qui}

conduit à la

_température

TI désirée.

10. Cas de la vapeur d’eau. - Le _cas de la

vapeur d’eau est

_{beaucoup plus important}

indus-triellement que celui des gaz

parfaits.

Malheureusement,

au

_voisinage

de la courbe de saturation où l’on se _trouvera, en

_{général, l’équation}

d’état des _gaz

_parfaits

ne constitue

_qu’une

assez

médiocre

_{approximation}

pour la vapeur d’eau surchauffée. C’est dire _que les

_équations

_(18),

_{(19), (~0)}

qu’elle

contribue à former définissent

imparfaite-ment l’écoulement.

Si l’on vient à

_pénétrer

dans le domaine de

satu-ration,

elle n’a

_plus

rien à voir avec la

_question.

Il

faudrait la

_remplacer

_{par la relation}

la fonction

_1’(T)

_{n’a pas}

_{d’expression algébrique}

simple,

mais ses valeurs sont _{données par} les tables

d’usage

courant. ’

’

Toutefois,

cette _{relation suppose}

_{l’équilibre}

ther-mique

réalisé entre la

_{phase liquide}

et la

_phase

gazeuse, ce

_qui

_pourra être assez

_éloigné

de la réalité dans un écoulement

_rapide.

Une autre difficulté encore

_plus

sérieuse est liée au

_{f a~t}

_que

l’on ne sait pas

_quelle

fraction de la

_{phase liquide}

ruisselle sur les

_parois

et se trouve de ce fait hors

de

_compte

_{pour l’évaluation} de la

_{densité p}

et de

l’énergie cinétique

de la

_phase

_gazeuse

(où

seules interviennent les

_gouttelettes

très

fines,

qui

sont entraînées avec

_elle).

Si,

malgré

ces

_{difficultés,}

et en faisant

l’approxima-tion de les

_négliger,

nous voulons traiter le

_problème

de la

_façon

dont nous l’avons traité _pour les _gaz

parfaits,

la relation

₍₃₃₎

nous

_permet

d’éliminer

immédiatement l’inconnue

_dp.

Il reste alors, en

négligeant

le

ruissellement,

les

_équations

Dans le domaine de

saturation,

il est commode d’utiliser les deux variables T et 8

_(titre

en

_vapeur).

Les tables usuelles donnent les valeurs de la tension maxima

_{f (7J,}

du volume

_spécifique

_.1’(T)

de la vapeur saturante, de la chaleur de

vaporisa-tion

_{n (T) (1°)}

et

_permettent

d’évaluer leurs dérivées.

Soit m la chaleur

_{spécifique (1°)}

de l’eau. On a alors

(Fou

et

D’autre

_part

et

Les

_équations

deviennent donc

d’où

et

Ces deux derniers résultats

_portés

dans

₍₃₇₎

donnent, en

_posant

et

qui, reporté

dans

_(38’)

et

_(39’),

donne d6 et d T. Ces calculs seraient assez laborieux pour un

résultat bien

aléatoire,

car il est difficile de savoir dans

_quelle

mesure le ruissellement altère ces

prévisions.

Nous noterons d’autre

_part

que, du fait de la condensation au contact de la

_paroi,

le coefficient

d’échange

thermique

entre la _vapeur et la

_paroi

est

_{beaucoup plus}

_grand

_que dans le cas d’un gaz

sec

_(donc

de la _vapeur

_{surchauffée).}

12.

Écoulement

_adiabatique

de la _vapeur d’eau. - Dans le

cas de l’écoulement

_adiabatique,

quel

que soit le fluide gazeux, on

_peut

définir

diatement l’évolution

thermodynamique

au cours de l’écoulement en éliminant la vitesse u entre

l’équa-tion de continuité o u =

p u et

l’équation

de

conser-vation de

_{l’énergie, qui}

s’écrit alors

en

_désignant

_par A

l’enthalpie U

+ pv. On obtient ainsi

_{l’équation}

Elle définit une courbe que l’on

_peut

_représenter

sur l’un

_quelconque

des

_diagrammes

thermodyna-miques,

et en

_particulier

sur le

_diagramme

entro-pique (T, S).

Pour la vapeur

d’eau,

la construction de cette courbe est très facile en utilisant les

graphiques

d’usage

courant

_{qui représentent,}

sur le

_diagramme

de Mollier

_{(coordonnées}

À et

_S),

les réseaux chiffrés

d’isothermes,

d’isobares et d’isochores.

Pour

_chaque

valeur de _p,

_{l’équation (40)}

donne l’horizontale A sur

_laquelle

est situé le

point

corres-pondant

de l’évolution. Son abscisse donne

S,

et

on lit T _par

_{interpolation}

dans le réseau des isothermes. La vitesse d’écoulement u

_qui

_correspond

à

_chaque

état est immédiatement donnée _{par tx}

- Po

_uo. p

Cette courbe

_{(T, S)}

_permet

de déterminer de

proche

en

_proche

les _parcours dx

_{correspondant}

à

chaque

transformation élémentaire

M, IIl2,

car la

surface T d S est

_égale,

dans le cas de

l’adiabaticité,

à

_l’énergie

décoordonnée ~w.

Or,

celle-ci est liée à _{dx par}

_{l’équation (31).}