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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Reignier, J. (s.d.). Diffusion d'électrons de haute énergie et répartition de la charge électrique du noyau (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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D i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s de h a u t e é n e r g i e e t r é p a r t i t i o n de l a charge é l e c t r i q u e du noyau J e a n HEIGNIEE L i c e n c i é en S c i e n c e s PhysiqLues OOtionooo'ïooOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO _{o o}

0 _{CET OïïVRâGE N'ETMT PAS}

o ' " ' "

o MWd LE DOIMIIffi PUBLIC.

§ im PEUT ETRE COMMUNIQ.UB

Ce t r a v a i l a é t é e f f e c t u é s o u s l a d i r e c t i o n de Monsieur l e P r o f e s s e u r J . G é h é n i a u . J e l e r e m e r c i e vivement d e s c o n s e i l s e t d e s encouragements q u ' i l n ' a c e s s é de me p r o d i g u e r .

Mes r e m e r c i e m e n t s vont également à Monsieur l e P r o f e s s e u r L . E o s e n f e l d p o u r de nombreuses e t u t i l e s d i s c u s s i o n s .

I n t r o d u c t i o n e t résumé

Au c o u r s des d e r n i è r e s a n n é e s , de nombreux t r a v a u x e x p é r i m e n -t a u x e -t -t h é o r i q u e s on-t é -t é p u b l i é s s u r l a d i f f u s i o n d ' é l e c -t r o n s de h a u t e s é n e r g i e s p a r l e s noyaux ( l ) q u i s ' e s t r é v é l é e un o u t i l p u i s s a n t p o u r l ' é t u d e de m u l t i p l e s a s p e c t s de l a s t r u c t u r e n u c l é a i r e . Dans ce mémoire, nous nous i n t é r e s s o n s à son emploi p o u r d é t e r m i n e r l a d i s t r i -b u t i o n de l a charge é l e c t r i q u e du n o y a u .

Nous c o n s i d é r o n s l a d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s (de D i r a o ) de h a u t e é n e r g i e ( B >/> 1) (2) p a r une r é p a r t i t i o n s t a t i q u e d ' é l e c t r i c i t é à

s y m é t r i e s p h é n i q u e r e p r é s e n t a n t un n o y a u . Ce modèle c o n v i e n t p o u r l e s noyaux moyens e t l o u r d s p a s t r o p d é f o r m é s , e t aux é n e r g i e s i n f é r i e u r e s à e n v i r o n 200 MeV. Examinons en e f f e t r a p i d e m e n t l e s p r i n c i p a l e s a p -p r o x i m a t i o n s q u ' i l i m -p l i q u e .

a ) C o r r e c t i o n s r a d i a t i v e s . - Les c o r r e c t i o n s r a d i a t i v e s , im-p o r t a n t e ? aux é n e r g i e s é l e v é e s ne J o u e n t ceim-pendant q u ' u n r C l e s e c o n d a i r e dans l a d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s de h a u t e é n e r g i e p a r l e s noyaux. Si nous d é s i g n o n s p a r 0" ( E , 9 ) l a s e c t i o n e f f i c a c e d i f f é r e n t i e l l e de d i f f u s i o n é l a s t i q u e (3) d ' é l e c t r o n s d ' é n e r g i e E dans l a d i r e c t i o n 6 c a l c u l é e s a n s c o r r e c t i o n s r a d i a t i v e s , l a s e c t i o n e f f i c a c e c o r r i g é e (Tp^CE^G) e s t donnée p a r (Ye - Su - 57» r é f é r e n c e s aux t r a v a u x a n t é r i e u r s ) :

c r ^ ( E , e j = 6 - ( t , ^ ; ^ ( I - 1)

(1) On t r o u v e r a l a p l u p a r t d e s r é f é r e n c e s dans l e s a r t i c l e s r e v u e s de Ford e t H i l l (Fo-Hi-55) e t de H o f s t a d t e r (Ho-56)

(2) Dans t o u t l e mémoire l e s u n i t é s sont i L l , o=1, I8i=1. L ' u n i t é de l o n g u e u r e s t donc l a l o n g u e u r d ' o n d e de Compton de l ' é l e c t r o n

(3.86x10"'^ cm), l ' u n i t é d ' é n e r g i e e s t l ' é n e r g i e de l ' é l e c t r o n au r e p o s ( 0 . 5 1 1 MeV), l a c h a r g e é l é m e n t a i r e (A) e s t numériquement é g a l e à 137 "^''^ • Notons que l e s d i m e n s i o n s n u c l é a i r e s sont de l ' o r d r e de 1 0 " ^ . Pour l e s o r d r e s de g r a n d e u r , nous u t i l i s o n s a u s s i l e cm e t l e MeV.

m e n t a l e de l ' é n e r g i e ^ ^ / E de l / 2

fo

(Ha - Ea - Ho -

%)yS(E,AE,ê)

v a u t 0 . 2 0 3 à 4 5 ° , 0 . 2 2 9 à 98" e t 0 . 2 4 3 à 135". D ' a u t r e p a r t , l e s s e c -t i o n s e f f i c a c e s e x p é r i m e n -t a l e s ne s o n -t p a s connues en v a l e u r a b s o l u e e t s e u l e l e u r v a r i a t i o n a n g u l a i r e e n t r e en l i g n e de compte. On é l i m i n e donc p r e s q u e t o t a l e m e n t l e s c o r r e c t i o n s r a d i a t i v e s quand on n o r m a l i s e l a s e c t i o n e f f i c a c e e x p é r i m e n t a l e en l ' é g a l a n t à un c e r t a i n a n g l e (30** p a r exemple) à l a s e c t i o n e f f i c a c e t h é o r i q u e non c o r r i g é e

,^(£^^J'

Si l ' o n d é s i r e une p l u s g r a n d e p r é c i s i o n , on p e u t e n c o r e c o r r i g e r l a s e c t i o n e f f i c a c e aux a u t r e s a n g l e s mais ce r a f f i n e m e n t e s t g é n é r a l e m e n t i n u t i l e .

b) Moment magnétique du n o y a u . Les noyaux dont l e moment a n -g u l a i r e t o t a l d i f f è r e de zéro p o s s è d e n t un moment ma-gnétique qui con-t r i b u e à l a d i f f u s i o n des é l e c con-t r o n s . Si e s con-t l e momencon-t magnécon-tique en magnéton n u c l é a i r e e t Z l e nombre a t o m i q u e , l a c o n t r i b u t i o n du moment magnétique e s t de l ' o r d r e de ( M/z.)^ f o i s c e l l e de l a c h a r g e . E l l e

e s t donc t o t a l e m e n t n é g l i g e a b l e sauf p o u r l e s é l é m e n t s l e s p l u s l é g e r s . Aux t r è s h a u t e s é n e r g i e s ( p l u s i e a i r s c e n t a i n e s de MeV), l e moment

magné-t i q u e d e s n u c l é o n s i n d i v i d u e l s p e u magné-t j o u e r u n r ô l e i m p o r magné-t a n magné-t ; mais nous ne c o n s i d é r o n s p a s d e s é n e r g i e s a u s s i é l e v é e s

(^E

^

Ico Nél/J.

c) Noyaux d é f o r m é s . - La d é f o r m a t i o n du noyau i n f l u e s u r l a d i f f u s i o n é l a s t i q u e des é l e c t r o n s : i ) Le champ é l e c t r o s t a t i q u e d i f f u s e u r n ' a p l u s l a s y m é t r i e s p h é r i q u e .

i i ) Le noyau p o s s è d e d e s n i v e a u x de r o t a t i o n qui peuvent ê t r e e x c i t é s p a r l e s é l e c t r o n s . La d i f f u s i o n n ' e s t p l u s é l a s t i q u e mais comme c e s n i v e a u x s o n t t r è s b a s

(de l ' o r d r e de /O e l l e e s t i n d i s c e r n a b l e

e x p é r i m e n t a l e m e n t de l a d i f f u s i o n é l a s t i q u e (/^f^c^lA/fil/ Dows, R a v e n h a l l e t Yennie montrent que, p o u r une c i b l e non o r i e n t é e ,

l a s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n " é l a s t i q u e " s ' é c r i t

où 'S'o(^) e s t l a s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n p o u r une d i s t r i b u t i o n d ' é l e c t r i c i t é à s y m é t r i e s p h é r i q u e ( c a l c u l é e e x a c t e m e n t ) e t (^^i^) e s t l a c o n t r i b u t i o n t o t a l e du q u a d r u p o l e ( o b t e n u e p a r p e r t u r b a t i o n ) (Do - Ea - Ye - 57)« C e t t e c o n t r i b u t i o n n ' e s t o b s e r v a b l e que pour l e s noyaux t r è s d é f o r m é s , ce qui semble c o n f i r m é e x p é r i m e n t a l e m e n t (Ha -Ea - Ho - 5 6 ) . d) G r a n u l a t i o n de l a charge é l e c t r i q u e du n o y a u . - L ' a n a l y s e de l a d i f f u s i o n é l a s t i q u e âu moyen d ' u n e r é p a r t i t i o n s t a t i q u e d ' é l e c -t n c i -t é e s -t -t r è s g é n é r a l e , mais l a r e l a -t i o n e n -t r e c e -t -t e d i s -t r i b u -t i o n e t l a f o n c t i o n d ' o n d e de l ' é t a t f o n d a m e n t a l du noyau n ' e s t p a s imméd i a t e . A p a r t i r immédu seconimméd o r imméd r e en l e p o t e n t i e l imméd ' i n t e r a c t i o n é l e c t r o n -noyau, l a d i f f u s i o n é l a s t i q u e f a i t i n t e r v e n i r l e s é t a t s e x c i t é s du noyau ( e f f e t de d i s p e r s i o n ) . La t h é o r i e (Lâ-56, Sc-57) montre que l a

s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n é l a s t i q u e dépend non seulement de l a d e n s i t é s t a t i q u e d ' é l e c t r i c i t é dans l ' é t a t f o n d a m e n t a l du noyau, mais a u s s i de l a f o n c t i o n de c o r r é l a t i o n de deux p r o t o n s dans l ' é t a t f o n d a -m e n t a l , ce q u i donne à l a c h a r g e un a s p e c t g r a n u l e u x . La g r a n u l a t i o n de l a c h a r g e a p p a r a î t l o r s q u e l a l o n g u e u r d ' o n d e d e s é l e c t r o n s d e v i e n t de l ' o r d r e de g r a n d e u r de l a d i s t a n c e e n t r e l e s n u c l é o n s , c ' e s t - à - d i r e à p a r t i r d ' u n e é n e r g i e d ' e n v i r o n 200 MeV {^locMeV ~ ) • l^o'tons

q u ' a u x t r è s h a u t e s é n e r g i e s ( p l u s i e u r s c e n t a i n e s de MeV), d ' a u t r e s e f f e t s de g r a n u l a t i o n v i e n n e n t s ' a j o u t e r à l a c o r r é l a t i o n e n t r e l e s p r o t o n s : moment magnétique d e s n u c l é o n s , d i m e n s i o n s f i n i e s d e s n u -c l é o n s .

On p e u t o b t e n i r l a s o l u t i o n e x a c t e du problème c o n s i d é r é p a r l a méthode d e s ondes p a r t i e l l e s (JT § 1 ^ 3 ) ; n o t o n s que l e s f o r m u l e s sont t r è s s i m p l i f i é e s à l ' a p p r o x i m a t i o n de h a u t e é n e r g i e ( E l )

{ IL ^ '1, Ç- ) • Dans l e c a s de l a d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s p a r un noyau

étendu ( r e p r é s e n t é p a r une r é p a r t i t i o n d ' é l e c t r i c i t é de d e n s i t é f i t ) )^ l e déphasage ^j. de l ' o n d e p a r t i e l l e ^ (de moment a n g u l a i r e t o t a l ^ )

n ' e s t a p p r é c i a b l e que s i l ' é n e r g i e e s t s u f f i s a m m e n t é l e v é e , s u p é r i e u r e d ' e n v i r o n 140 ( j I / 2 ) A ^' MeV (A : nombre de masse du noyau d i f

f u s e u r ) ( ir § 2. ) . On démontre ( X § 3 ) que n e dépend de l a r é

-p a r t i t i o n de l a c h a r g e d a n s l e noyau que -p a r l a v a l e u r d ' u n e c e r t a i n e f o n c t i o n fj^V au " b o r d " du noyau (1). (t/ e s t l e r a p p o r t d e s p a r -t i e i y d e s composan-tes ( , % ) e -t ( ^ / &g-t; V^) de l ' o n d e p a r -t i e l l e J ( a v e c l e c h o i x h a b i t u e l d e s m a t r i c e s de D i r a c ) ; a u t r e m e n t d i t , c ' e s t l e r a p p o r t d e s s o l u t i o n s r é g u l i è r e s à l ' o r i g i n e d e s é q u a t i o n s r a d i a l e s de D i r a c p o u r un é l e c t r o n de moment a n g u l a i r e t o t a l j dans l e p a t e n -t i e l c o n s i d é r é . On c a l c u l e g é n é r a l e m e n -t ^ ^ ^ ^ ^ ®n r é s o l v a n -t l e s é q u a t i o n s r a d i a l e s de D i r a c e t en p r e n a n t l e q u o t i e n t d e s s o l u t i o n s . Sauf d a n s l e s c a s l e s p l u s s i m p l e s ( p a r exemple, r é p a r t i t i o n de l a c h a r g e à l a s u r f a c e du n o y a u ) , c e s é q u a t i o n s s o n t i n t é g r é e s n u m é r i q u e -ment ce q u i r e p r é s e n t e u n t r a v a i l c o n s i d é r a b l e . On o b t i e n t a i n s i des r é s u l t a t s t r è s p r é c i s mais dont l a dépendance en l a d i s t r i b u t i o n d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e e s t t o u t à f a i t m a s q u é e . Dans ce mémoire, n o u s c a l c u l o n s ^ d i r e c t e m e n t ( s a n s r é s o u d r e l e s é q u a t i o n s de D i r a c ) ; l a méthode permet de d é t e r m i n e r , a v e c une bonne a p p r o x i m a t i o n , l a dépendance de Yj^^^ p o t e n t i e l d i f f u s e u r e t donc a u s s i , de

q u e l p a r a m è t r e l i é à l a d e n s i t é d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e dépend l e d é -p h a s a g e oj . Y f f ) l a s o l u t i o n p a r t i c u l i è r e n u l l e à l ' o r i g i n e de

a

l ' é q u a t i o n de E i c c a t i î ( 1 - 4 ) où ^/^ty e s t l ' é n e r g i e c i n é t i q u e de l ' é l e c t r o n ^ 3 ) • Bodmer

nous r a y o n 1.2 x 10 A 1 / 3 cm ( l ) e t p o u r l ' o n d e p a r t i e l l e J = l / 2 , l e

p r o c é d é c o n v e r g e jusq^u'â u n e é n e r g i e d ' e n v i r o n 90 MeV; mais l a l e n t e u r de l a c o n v e r g e n c e ne l e r e n d p r a t i q u e m e n t u t i l i s a b l e que j u s q u ' à e n -v i r o n 20 MeV (où l e s c o r r e c t i o n s de 2ème e t de Sème a p p r o x i m a t i o n s o n t r e s p e c t i v e m e n t de ^jo e t de rjo) ( i t r § i - , t a b l e a u x j .

ïïous d é v e l o p p o n s une a u t r e méthode de c a l c u l (JOT ^ ^ ) ; c a l c u l o n s p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s , non p l u s ^ j l t j , mais l a d i f f é r e n c e e n t r e e t u n e f o n c t i o n connue Vj s o l u t i o n ( n u l l e à l ' o r i g i n e ) de l ' é q u a t i o n ( l - 4 ) p o u r V-(t,J- V-^ '.

y.^,- fi (t^^.^) (1.5)

où n o u s p o s o n s

^^M-JJ,,c^) /:y^(^) (1-6)

i^^yL"^)

f o n c t i o n de B e s s e l d ' i n d i c e V en l a v a r i a b l e x ) . ïïous d i s -p o s o n s d ' u n -p a r a m è t r e V- que nous c h o i s i s s o n s e n s u i t e de f a ç o n à a s s u r e r u n e convergence r a p i d e . S o i t à c a l c u l e r ^ (^X.) au p o i n t E j u n c a l c u l de p e r t u r b a t i o n , v a l a b l e s i v a r i e peu de 0 à E, mon-t r e que l e p r o c é d é c o n v e r g e r a p i d e m e n mon-t quand on p r e n d

i^\ujK,T<)~ii i i £1! £ (1-7)

où ^ e s t u n e q u e l c o n q u e d e s v a l e u r s de 0 à R. A t i t r e d ' e x e m p l e , n o u s c o n s i d é r o n s un modèle s i m p l i f i é q u i p e u t ê t r e t r a i t é e x a c -tement(!nr ^ 2. ^<l)s d ' u n e p a r t , un p o t e n t i e l en e s c a l i e r dont l e s donnéei n u m é r i q u e s c o r r e s p o n d e n t g r o s s i è r e m e n t à un noyau d ' o r , d ' a u t r e p a r t , u n é l e c t r o n j = l / 2 dont l ' é n e r g i e v a r i e de 0 à 200 MeY; l e s c a l c u l s

M a i s , é t a n t donné l a s i m p l i c i t é e t l a p r é c i s i o n r e m a r q u a b l e d e l ' a p p r o x i m a t i o n d ' o r d r e z é r o , n o u s l a c o n s i d é r o n s e n s u i t e p l u s en d é t a i l ( I I I § 3 ) . Nous é t u d i o n s l a f o n c t i o n ^ C i ^ d é f i n i e p a r

^ / V = ^ ^ ^ " - ^ - V ( 1 - 8 )

e t n o u s m o n t r o n s q,ue UqC'^

,^)&q\.

e f f e c t i v e m e n t une "bonne a p p r o x i m a -t i o n de

itCf^)<i

v a r i e peu de 0 à R e t s i e s t c h o i s i parmi

l e s v a l e u r s p r i s e s p a r TJl^) de 0 à E. I n c i d e m m e n t , n o u s o b t e n o n s u n e a u t r e méthode de c a l c u l de P*-"^ a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s :

en c a l c u l a n t numériquement d e s c o r r e c t i o n s à U^i (i> ,1 ) {JJ.!. § 3)» Nous é t u d i o n s l a v a l i d i t é de l a s o l u t i o n a p p r o c h é e ^y^Y''^^ ^''^ ^ d a n s l e c a s de l a d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s . Nous m o n t r o n s que l ' e r r e u r maximum commise s u r j^- (z) au b o r d du noyau e s t p r o p o r t i o n n e l l e à

('z//^^)^6-t

p e u t a t t e i n d r e p o u r l e s noyaux l o u r d s 1?^ de

('f •+

( I I I § 4>A). A f i n de mieux J u g e r de l a v a l i d i t é de l a s o l u t i o n a p p r o -c h é e , n o u s f a i s o n s un -c a l -c u l de d é p h a s a g e s <y^' . Nous -c o n s i d é r o n s un noyau d ' o r r e p r é s e n t é p a r u n e s p h è r e homogène de r a y o n R, d e s é n e r -g i e s t e l l e s que EH = 1 ) 2 , 3 ( l ) e t l e s o n d e s p a r t i e l l e s j = l / 2 , 3 / 2 , 5 / 2 , 7 / 2 ( I I I § 4 ) B ) . I l a p p a r a î t que l a s o l u t i o n a p p r o c h é e c o n v i e n t p o u r c a l c u l e r l e s d é p h a s a g e s aux é n e r g i e s p a s t r o p é l e v é e s - S R ; é 2

(E;6 50 MeV) ; e l l e c o n v i e n t e n c o r e aux é n e r g i e s p l u s é l e v é e s p o u r l e s

Nous é t a b l i s s o n s a i n s i que, au moins J u s q u ' à u n e p r é c i s i o n de 5 x - S . , .

10 r a d i a n ( 0 . 3 d e g r é ; , l e déphasage de l ' o n d e p a r t i e l l e j ne d é -pend de l a r é p a r t i t i o n de l a charge é l e c t r i q u e dans l e noyau que p a r l a v a l e u r de i i j (v-^'cj au b o r d du n o y a u . En t r a n s f o r m a n t ce r é s u l t a t , nous o b t e n o n s e n c o r e ( l l l § 1) : à l ' é n e r g i e E, l e déphasage de l ' o n d e p a r t i e l l e j ne dépend de l a r é p a r t i t i o n de l a c h a r g e é l e c t r i q u e dans l e noyau que p a r l a moyenne de l a f o n c t i o n / ' x ' L ^ p r i s e s u r l e noyau avec comme f o n c t i o n de p o i d s l a d e n s i t é d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e

( e s t une f o n c t i o n c o n t i n u e , n a l l e à l ' o r i g i n e , p o s i t i v e e t c r o i s s a n t e p o u r a: > o ( l ) . X. e s t une d e s v a l e u r s de l ' é n e r g i e c i n é t i -que de l ' é l e c t r o n dans l e noyau, dont l e c h o i x a peu d ' i m p o r t a n c e . Deux r é p a r t i t i o n s q\ii donnent môme v a l e u r à < rC^V'^ s o n t é q u i v a l e n t e s du p o i n t de vue de l ' o n d e p a r t i e l l e J e t à l ' é n e r g i e E (même déphasage) On o b t i e n t a i s é m e n t des foinnes a p p r o c h é e s de ce r é s u l t a t (IV § 1) : p o u r (2R)

<.< ZJ-•+y

, l a dépendance e s t en

<C^t^^^'

)> ( r é s u l t a t de Bodmer) e t p o u r SE j , l a dépendance e s t en

<^ù^ty.

On remarque que t o u t e s l e s ondes p a r t i e l l e s j <((ER ne dépendent que d ' u n même

Une e x p é r i e n c e de d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s p e u t g é n é r a l e m e n t ê t r e i n t e r p r é t é e p a r p l u s i e u r s modèles d i f f é r e n t s de l a r é p a r t i t i o n de l a c h a r g e é l e c t r i q u e du noyau; c e s modèles s o n t é q u i v a l e n t s d u p o i n t de vue de l ' e x p é r i e n c e c o n s i d é r é e . C e t t e é q u i v a l e n c e e s t r e l a t i v e à l a s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n . ITous examinons dans q u e l l e mesure on p e u t d i s c u t e r de l a s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n à p a r t i r de c o n -d i t i o n s -d ' é q u i v a l e n c e ( a p p r o c h é e s ) s u r l e s -d é p h a s a g e s (lY § 2 ) ; nous d i s c u t o n s également ce que l ' e x p é r i e n c e p e u t nous f o u r n i r comme r e n -s e i g n e m e n t -s -s u r l a d i -s t r i b u t i o n ( -s t a t i q u e ) d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e .

IJos c o n c l u s i o n s s o n t (IV § 2,3)) :

a ) L a . d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s d ' é n e r g i e i n f é r i e u r e à e n v i r o n 280 A'''^ MeV ( j u s q u ' à e n v i r o n 50 iaeV p o u r l e s noyaux l o u r d s ) ne d é -pend de l a d e n s i t é d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e que p a r l e s moyennes

^cT?^ L ^ c x j y e t <^Qf^j^^'i:.^,'5ovLT chaque v a l e u r de l ' é n e r g i e ( I ) , l ' e x p é -r i e n c e nous donne ces deux p a -r a m è t -r e s . A d é f a u t d ' u n e bonne p -r é c i s i o n e t en p a r t i c u l i e r dans l a p r e m i è r e m o i t i é du domaine é n e r g é t i q u e con-s i d é r é , on p e u t p l u con-s con-simplement l e con-s r e m p l a c e r p a r l e con-s momentcon-s ^ t ^ e t <^ y ^® -^^ d i s t r i b u t i o n de c h a r g e .

b ) Au début du domaine des h a u t e s é n e r g i e s (de 50 à 100 MeV p o u r l e s noyaux l o u r d s ( e n v i r o n ) ^ l a d i f f u s i o n c o n t i n u e à ne dépendre de que p a r l e s moyennes -(^^j f^Vy» E t a n t donné l a c o m p l e x i t é

c r o i s s a n t e du c a l c u l de l a s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n {3,HoU^ài^<^^ c ^ ' i m p o r t a n t s ) , i l d e v i e n t d i f f i c i l e d ' e x t r a i r e c e s p a r a m è t r e s d e s r é s u l

-t a -t s e x p é r i m e n -t a u x . I l r é s u l -t e de c e -t -t e dépendance ^e/i('(^Y/&l-t;: icJ^J , que l ' e x p é r i e n c e p e u t f o u r n i r d e s d é t a i l s s u p p l é m e n t a i r e s s u r l a d e n s i t é aux v a l e u r s p a s t r o p p e t i t e s de t e t en p a r t i c u l i e r à l a s u r f a c e du noyau mais que l e c e n t r e r e s t e l a r g e m e n t i n d é t e r m i n é . Des e x p é r i e n c e s p r é c i s e s dans c e s r é g i o n s é n e r g S t i q u e s ( a , b ; en d e s s o u s de 100 MeV p o u r l e s é l é m e n t s l o u r d s ) d o n n e r a i e n t d é j à une d e s c r i p t i o n d é t a i l l é e de l a d i s t r i b u t i o n de l a charge é l e c t r i q u e du noyau (au moins aux v a l e u r s p a s t r o p p e t i t e s de t )5 d ' a i l l e u r s l ' i n t e r p r é t a t i o n des e x -p é r i e n c e s -p a r un modèle s t a t i q u e du noyau e s t beaucou-p -p l u s fondée en

d e s s o u s de 100 LIeV q u ' a u x é n e r g i e s p l u s é l e v é e s .

o) Quand l ' é n e r g i e e s t s i é l e v é e q u ' i l d e v i e n t n é c e s s a i r e de t e n i r compte de nombreux d é p h a s a g e s (au d e l à de 100 MeV p o u r

l e s noyaux l o u r d s ) , i l n ' e s t p l u s p o s s i b l e d ' a n a l y s e r l a d i f f u s i o n à l ' a i d e d e s moyennes <^c^ ^ d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s aux é n e r g i e s t r è s é l e v é e s permet une d e s c r i p t i o n de p l u s en p l u s d é t a i l l é e de l a d e n s i t é d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e ; i l f a u t t o u t e f o i s r e m a r q u e r que l ' o n r e s t e l i m i t é en é n e r g i e c a r l e s e f f e t s dus à l a g r a n u l a t i o n de l a c h a r g e du noyau p e u v e n t d e v e n i r i m p o r t a n t s aux é n e r g i e s s u p é r i e u r e s à e n v i r o n 200 MeV.

Nous r a p p e l o n s l a t h é o r i e de l a d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s r e l a t i v i s t e s p a r un c e n t r e de f o r c e . Nous montrons comment on c a l c u l e l ' i n -f l u e n c e du volume -f i n i du noyau s u r l ' a m p l i t u d e de d i -f -f u s i o n . 1 - D i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s p a r un c e n t r e de f o r c e . A) S é p a r a t i o n de l ' é q u a t i o n de_Dirac en coordonnées s p h é r i q u e a . L ' h a m i l t o n i e n d ' u n é l e c t r o n d a n s un p o t e n t i e l é l e c t r o s t a t i q . u e c e n t r a l ( x j p e u t s ' é c r i r e a v e c

o

( I I - 1 )

L ' o p é r a t e u r moment a n g u l a i r e t o t a l J commute avec l ' h a m i l t o n i e n T 0

o X ( I I - 2)

I l e s t donc p o s s i b l e de d i a g o n a l i s e r s i m u l t a n é m e n t une d e s composantes ^9 J ^J^^ exemple), (J H • ^sns c e t t e r e p r é s e n t a t i o n ,

on a

4 I I - 3 )

Chacune d e s "ondes p a r t i e l l e s " ^ y, ^ a un moment a n g u l a i r e t o t a l e t l a p r o j e c t i o n du moment a n g u l a i r e t o t a l s e l o n l ' a z e z b i e n d é t e r m i n é s e t t i e n entendu l ' é n e r g i e E, f i x é e p a r l e problème c o n s i d é r é . Les

sont d é t e r m i n é s de f a ç o n à ce que r a i t l a f o r -me a s y m p t o t i q u e r e q u i s e : une onde i n c i d e n t e p r o g r e s s a n t s e l o n l ' a z e

z e t une onde d i v e r g e n t e à p a r t i r du c e n t r e d i f f u s e u r (onde d i f f u s é e ) . C o n s i d é r o n s l e c a s d ' u n e é n e r g i e p o t e n t i e l l e V(tJ qui t e n d asymptotiquement v e r s zéro p l u s v i t e que t ' . i n f l u e n c e du p o t e n -t i e l e s -t n u l l e à l ' i n f i n i e -t l a forme a s y m p -t o -t i q u e de l a s o l u -t i o n e s -t donc

, , ( I I - 7)

La s e c t i o n e f f i c a c e ( d i f f é r e n t i e l l e ) de d i f f u s i o n s ' é c r i t

en t e n a n t compte que p o u r une onde p l a n e

b) f a i s c e a u i n c i d e n t p o l a r i s é s e l o n - z

Dans l e s c a l c u l s , on remplace ^ ^ } p a r l a forme a s y m p t o t i q u e de son développement en l e s polynômes de Legendre 7 ^ [t^i i

± ^ f (,...A^'\(-.r'^-'^'-)?^i<^0J (II - 10)

C a l c u l o n s m a i n t e n a n t l a forme a s y m p t o t i q u e d e s s o l u t i o n s des é q u a t i o n s r a d i a l e s ( I I - 5 ) . On t i r e , > ±1^ de l a p r e m i è r e é q u a t i o n , on r e m p l a c e dans l a seconde e t en p o s a n t

ii^=.CE-v.')~-^

, ( 1 1 . 1 0 on o b t i e n t l ' é q u a t i o n a v e c L ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e l/?t.^ t e n d asymptotiquement v e r s zéro p l u s v i t e _ / que fc. e t à l ' i n f i n i , l ' é q u a t i o n (10) se r é d u i t à "^^^t^ . ^ o ( I I - 1 4 )

En p r é s e n c e d ' u n p o t e n t i e l , on a j o u t e un déphasage ^^-^ ^ l ' a r o du c o s i n u s ce q.vii donne f i n a l e m e n t : ( I I - 17) Les d é p h a s a g e s a i n s i d é f i n i s t e n d e n t v e r s z é r o q.uand l e p o t e n t i e l d i f f u s t o B t e n d v e r s z é r o . C a l c u l o n s m a i n t e n a n t l e s c o e f f i c i e n t s C

I''

du d é v e l o p p e

-ment ( I I - 6 ) en é g a l a n t l e s formes a s y m p t o t i q u e s de ^ ^ données p a r ( I I - 6 ) e t ( I I - 9 ) . Notons que l e s t e r m e s en -e^^*^^ e t en

d o i v e n t ê t r e é g a l é s s é p a r é m e n t . C o n s i d é r o n s p a r exemple l e c a s a ) . Sn é g a l a n t l e s t e r m e s en -£ oit, 9^ on v o i t q u ' i l ne p e u t y a v o i r de t e r m e s c o n t e n a n t l a v a r i a b l e y dans l e développement ( I I - 6 ) de >^ c ' e s t - à - d i r e que l e s s e u l s C'^'^ non n u l s s o n t df'^^ 5 c e c i

nous permet de s i n i p l i f i e r l e développement e t d ' é c r i r e

f

I

( I I - 22a) En r a i s o n n a n t de môme p o u r l e c a s b ) , on t r o u v e s u c c e s s i v e m e n t : ( I I - 19t) ( I I - 20b) ( I I - 21b) ( I I - 22b) Dans l e s deux c a s e t donc a u s s i p o u r un f a i s c e a u i n c i d e n t

non p o l a r i s é , l a s e c t i o n e f f i c a c e de d i f f u s i o n e s t f (6) e t g ( 6 ) é t a n t d é f i n i s p a r ( l l - 2 1 a ) e t ( l l - 2 2 a ) ( I I - 23) Ces r é s u l t a t s d o i v e n t ê t r e l é g è r e m e n t m o d i f i é s dans l e c a s où l e p o t e n t i e l d i f f u s e u r e s t coulombien à l ' i n f i n i . Du f a i t de l a longTie p o r t é e du p o t e n t i e l coulombien, l e s f o r m e s a s y m p t o t i q u e s d e s s o l u t i o n s de l ' é q u a t i o n d ' o n d e d i f f é r e n t de ( I I 1 7 ) . La s e c t i o n e f -f i c a c e de d i -f -f u s i o n e s t e n c o r e donnée p a r l e s -f o r m u l e s ( I I - 2 3 ) , ( l l - 2 1 a ) e t ( l l - 2 2 a ) mais dans ( I I - 1 7 ) , i l f a u t f a i r e l e remplacement

t ( I I - 24)

a v e c ^ = T t — 'Z.^i^^oiL Ye. e s t l a c h a r g e é l e c t r i q u e du c e n t r e d i f f u -. Dans l e c a s du p o t e n t i e l purement coulombien

s e u r

s o l u t i o n r é g u l i è r e à l ' o r i g i n e y^'^^

-t-^ ^ dt^l^d^ ^J^^

( I I - 25) s o l u t i o n i r r é g u l i è r e à l ' o r i g i n e , , €^flu^a^ L e s e x p r e s s i o n s a n a l y t i q u e s s o n t a s s e z c o m p l i q u é e s ; n o u s ne l e s u t i -l i s o n s p a s e x p -l i c i t e m e n t e t e -l -l e s n e s e r o n t p a s r e p r o d u i t e s i c i ( v o i r MoLIa-52 I V § 4 , E l - 5 0 ) . C) A p p r o x i m a t i o n de h a u t e é n e r g i e . lîous e n t e n d o n s p a r é l e c t r o n de h a u t e é n e r g i e , u n é l e c t r o n dont l a masse au r e p o s e s t n é g l i g e a b l e d e v a n t l ' é n e r g i e t o t a l e ( f " ^ ^ ) Acheson e t Pesjéhbach ont remarqué (Ac-51, P e - 5 1 ) que l ' a p p r o x i m a t i o n de h a u t e é n e r g i e e n t r a î n e 9;^=: ce q u i s i m p l i f i e f o r t e m e n t l e s

De (11-27) e t ( I I - 2 8 ) , i l r é s u l t e que

l ( I I - 29)

I n t r o d u i s o n s c e t t e r e l a t i o n dans ( l l - 2 1 a ) e t ( l l - 2 2 a ) ; nous obtenons

( I I - 37) p = E, a = Z/137 où Z e s t l e nom'bre atomiq.ue du noyau d i f f u s e u r ; l e déphasage ^ dépend de l a r é p a r t i t i o n c o n s i d é r é e .

Une d i f f i c u l t é p r o p r e au p o t e n t i e l coulomlaien e s t que l e s d é p h a s a g e s ^ ne t e n d e n t p a s v e r s une l i m i t e f i n i e quand A augmente; i l s se comportent s e n s i b l e m e n t comme - a l o g ( k - l / 2 ) (Ye - Ra - V/i - 54), P a r c o n t r e , l e s d i f f é r e n c e s

^i-Vrll

( 1 1 - 3 8 )

c ' e s t - à - d i r e , l e s déphasages s u p p l é m e n t a i r e s dus au volume f i n i du noyau t e n d e n t rapidement v e r s zéro quand k augmente. E c r i v o n s l ' a m -p l i t u d e de d i f f u s i o n ( I I - 3 4 ) sous l a forme

f ^ ) ^

f(^)

f

( p ) - f k )

( I I - 39) avec

m=^-^ J i i ^ '^T^C^^^Ji- (^^)) ( I I - 40)

La s é r i e (11-40) e s t l ' a m p l i t u d e de d i f f u s i o n purement coulombienne (noyau p o n c t u e l ) ; e l l e n é c e s s i t e des p r é c a u t i o n s s p é c i a l e s pour ê t r e sommée (Ye - Ra - V/i - 54) mais e l l e e s t l a même pour t o u s l e s

mo-d è l e s mo-des noyaux mo-de charge Ze e t ne mo-d o i t ê t r e sommée q u ' u n e f o i s . La s é r i e ( I I - 4 1 ) au c o n t r a i r e dépend du modèle c o n s i d é r é mais e l l e con-v e r g e a s s e z rapidement p u i s q u e l e s cT^ t e n d e n t rapidement con-v e r s z é r o .

I l e s t d ' a i l l e u r s f a c i l e d ' e s t i m e r l e nombre de termes n é -c e s s a i r e s dans -c e t t e s é r i e p a r l e raisonnement s e m i - -c l a s s i q u e s u i v a n t . C l a s s i q u e m e n t , un é l e c t r o n n ' e s t i n f l u e n c é p a r l a forme de l a r é p a r -t i -t i o n de l a charge dans l e noyau que s i sa p l u s c o u r -t e d i s -t a n c e

d ' a p p r o c h e du c e n t r e du noyau (d) e s t i n f é r i e u r e au rayon de l a

de l ' é l e c t r o n dans l a r é g i o n c l a s s i q u e m e n t i n t e r d i t e en remplaçant l e rayon R p a r R' = R + b , l a d i s t a n c e de p é n é t r a t i o n "b dépendant notamment de l a p r é c i s i o n r e q u i s e s u r l e s d é p h a s a g e s . Considér o n s un é l e c t Considér o n ( c l a s s i q u e ) d ' é n e Considér g i e E e t de moment a n g u l a i Considér e o Considér -b i t a l L. Sa p l u s c o u r t e d i s t a n c e d ' a p p r o c h e du c e n t r e du noyau e s t rJ.- ^ )-l

E'V(l)

( I I - 42) E g a l o n s L au moment o r b i t a l q u a n t i f i é , \fé{J'^/ ) ' ; comme l e r a i s o n n e -ment n ' e s t v a l a b l e q u ' à l ' a p p r o x i m a t i o n d e s g r a n d s nombres q u a n t i q u e s , nous pouvons r e m p l a c e r ^(JfïTïj ' P^-^ 1+ I-es é l e c t r o n s dont l a

p l u s c o u r t e d i s t a n c e d ' a p p r o c h e e s t i n f é r i e u r e à R' s o n t donc r e p r é -s e n t é -s p a r de-s onde-s p a r t i e l l e -s dont l e nombre q u a n t i q u e o r b i t a l 1 s a t i s f a i t à - / < £ ^ ' ^ c : l - ^

ou e n c o r e , p u i s q u e a = Z/137 e s t de l ' o r d r e de l / 2 p o u r l e s éléments l o u r d s ,

P a s s a n t au nombre q u a n t i q u e k = 1 + 1, nous o b t e n o n s l a r è g l e : sont i n f l u e n c é e s p a r l e volume f i r à du noyau e t donc figTirent dans l a s é -r i e ( I I - 4 1 ) l e s ondes p a -r t i e l l e s p o u -r l e s q u e l l e s

4 { E R ' -i-^ ( I I - 43 )

Le nombre de t e r m e s dans l a s é r i e ( l l - 4 l ) c r o î t l i n é a i r e m e n t avec l ' é n e r g i e ; c e c i e s t b i e n v é r i f i é e m p i r i q u e m e n t . La v a l e u r numérique de R' dépend de l a r é p a r t i t i o n ( e x t e n s i o n e t forme) e t a u s s i de l a

—-2

p r é c i s i o n d é s i r é e . ITous adoptons R' = 0 . 3 7 3: 10 A l / 3 (en u n i t é s u s u e l l e s , R' = 1.42 x 10 A l / 3 cm; A : nombre de masse du noyau)

q u i c o n v i e n t à l a p r é c i s i o n a c t u e l l e ( l e s cV^ i n f é r i e u r s à 10 r a d i a n s o n t n é g l i g e a b l e s ) e t p o u r une r é p a r t i t i o n d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e q u a s i homogène (avec une d é c r o i s s a n c e p l u s douce à l a s u r f a c e ) . Avec

c e t t e v a l e u r de R ' , i l y a u r a k t e r m e s dans l a s é r i e ( I I - 4 1 ) quand

P a r exemple, pour l ' o r , l e nombre de t e r m e s dans l a s é r i e (11-41) e s t : 1 JusqLue e n v i r o n 24 MeV, 5 de 95 à 120 MeV, 9 de 190 à 215 MeV.

3 - C a l c u l des déphasages c>fL

En t o u t p o i n t tf e x t é r i e u r du noyau ( c ' e s t - à - d i r e , où l e p o t e n t i e l e s t coulombien), l e s s o l u t i o n s ^^"^^^ ^("^^ ^ problème c o n s i d é r é sont une combinaison l i n é a i r e des s o l u t i o n s r é g u l i è r e s e t i r r é g u l i è r e s (à l ' o r i g i n e ) du problème purement coulombien ( I I - 2 5 ) î

( I I - 45)

Le p o t e n t i e l e s t asymptotiq.uement coulombien; s i nous remplaçons dans ( I I - 4 5 ) I s s f o n c t i o n s p a r l e u r forme a s y m p t o t i q u e ( I I - 3 7 ) avec l e s déphasages c o r r e s p o n d a n t s , nous obtenons l a r e l a t i o n

/ . •'^ (7e - 7 I ) ( 1 1 - 4 6 )

q u i permet de c a l c u l e r s i on c o n n a î t C^Jj>^ • I n t r o d u i s o n s dans

(11-45) l a f o n c t i o n

Fi(y-A±!l.

; ( 1 1 - 4 7 )

nous o b t e n o n s d^jj)'^ sous l a forme d ' u n e f o n c t i o n homographique de

a u t r e s g r a n d e u r s i n t e r v e n a n t dans l e c a l c u l c o r r e s p o n d e n t à l a d i f f u s i o n purement coulombienne e t ne dépendent donc que de l a charge t o -t a i e (Ze = fi-t) -t cl^ ) . Le problème se ramène a i n s i au c a l c u l de l a

v a l e u r en un p o i n t e x t é r i e u r au noyau des f o n c t i o n s ^^('^) ondes p a r t i e l l e s a p p r é c i a h l e m e n t i n f l u e n c é e s p a r l e volume f i n i du noyau

La p l u p a r t des a u t e u r s a r r ê t e n t l ' a n a l y s e à ce s t a d e ; i l s r é s o l v e n t l e s é q u a t i o n s r a d i a l e s de D i r a c (11-26) e t c a l c u l e n t F^(t,) d ' a p r è s l a d é f i n i t i o n ( I I - 4 7 ) ( l ) « Sauf dans l e s c a s l e s p l u s simples comme p a r exemple l a r é p a r t i t i o n en s u r f a c e , l a r é p a r t i t i o n homogène,

l e s é q u a t i o n s de D i r a c sont i n t é g r é e s numériquement, ce qxii r e -p r é s e n t e un t r a v a i l c o n s i d é r a b l e . On o b t i e n t a i n s i des r é s u l t a t s t r è s p r é c i s (2) mais dont l a dépendance en l a d i s t r i T a u t i o n d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e e s t t o u t à f a i t masquée. Dans ce mémoire, nous c a l c u l o n s

F^(xJ d i r e c t e m e n t ( s a n s r é s o u d r e l e s é q u a t i o n s de D i r a c ) ; l a méthode

montre, avec une bonne a p p r o x i m a t i o n , de q u e l p a r a m è t r e l i é à l a d e n -s i t é d ' é l e c t r i c i t é n u c l é a i r e dépend ^ ^ ' V (®'* donc l e dépha-sage ^ ) .

En u t i l i s a n t l e s é q u a t i o n s r a d i a l e s de D i r a c ( I I - 2 6 ) , i l e s t f a c i l e de v o i r que d o i t s a t i s f a i r e à l ' é q u a t i o n de R i c c a t i :

La s o l u t i o n cherchée e s t c e l l e qui c o r r e s p o n d à des f o n c t i o n s ^ ^ (^)

•tt 'P^ ^('^) r é g u l i è r e s à l ' o r i g i n e ; l e s é q u a t i o n s r a d i a l e s de D i r a c

montrent que pour un p o t e n t i e l r é g u l i e r à l ' o r i g i n e , c e t t e s o l u t i o n se comporte à l ' o r i g i n e comme

h ( y > — ( I I _ 50)

(1) On t r o u v e r a l e s r é f é r e n c e s à ces t r a v a u x dans P o - ï ï i - 5 5 et Ho-56. (2) P a r exemple, dans l e s c a l c u l s de Ye - Ra - Wi - 54, l ' e r r e u r

I l e s t commode de t r a n s f o r m e r 1 ' é q u a t i o n ( I I - 4 9 ) en z:0 ( 1 1 - 5 1 ) en p o s a n t (V ' f 9 ) ' - - P <^H(?^rt«^ ^ 8 ^ ? ^ ^ ^ ^ ^ -^^^ ^ ( I I - 52) l/^tj e s t l ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e é l e c t r o s t a t i q u e de l ' é l e c t r o n dans l e champ du noyau. Trft) e s t l ' é n e r g i e c i n é t i q u e ; c ' e s t une f o n c t i o n

c o n t i n u e , p o s i t i v e e t d é c r o i s s a n t e ; e l l e p e u t é v e n t u e l l e m e n t 8 t r e c o n s t a n t e de <2, (dans l e c a s de r é p a r t i t i o n s ne comportant p a s de charge d^e Oc^ ) ; e l l e t e n d v e r s E comme B + a / r quand r t e n d v e r s l ' i n f i n i . Pour c a l c u l e r l e déphasage ^ , nous avons b e s o i n de l a s o l u t i o n n u l l e à l ' o r i g i n e de l ' é q u a t i o n ( 1 1 - 5 1 ) . C e t t e f o n c t i o n se compoarte au -voisinage de l ' o r i g i n e comme

[ t j > - ^ . ( I I -

53)

(1) )lj(^J =''^^-iC^) d ' a p r è s (11-47) e t ( I I - 2 7 )

(2) Nous e m p l o i e r o n s dorénavant l e moment a n g u l a i r e t o t a l J au l i e u

de k=J + 1 / 2 . Nous d i r o n s donc: l ' o n d e p a r t i e l l e j , l e s f o n c t i o n s 0^ , «4 i ) l e déphasage 'fj., e t c , au l i e u d e : l ' o n d e p a r

Nous c o n s i d é r o n s l e problème s u i v a n t : c a l c u l e / r d ' u n e ma-n i è r e approchée l a s o l u t i o ma-n p a r t i c u l i è r e ma-n u l l e à l ' o r i g i ma-n e de l'éçLua-t i o n de E i c c a l'éçLua-t i .

où e s t une f o n c t i o n c o n t i n u e p o s i t i v e e t V un p a r a m è t r e supé- • r i e u r à - 1. Nous cherchons à o h t e n i r une s o l u t i o n a u s s i p r é c i s e que p o s s i h l e t o u t en c o n s e r v a n t une dépendance s i m p l e e t g é n é r a l e en

V'Ct) , Rappelons que p o u r n o t r e p r o b l è m e , où e s t l ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e é l e c t r o s t a t i q u e de l ' é l e c t r o n dans l e champ du n o y a u . 1 - C a l c u l de jy^'^M'après Bodmer. Bodmer (Bo-53) u t i l i s e l e f a c t e u r i n t é g r a n t 'X. p o u r t r a n s f o r m e r l ' é q u a t i o n ( l l l - l ) en l ' é q u a t i o n i n t é g r a l e q u ' i l r é s o u d p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c e s s i v e s s e l o n l a l o i ( I I I - 2) ( I I I - 3 )

^^t^est a i n s i r e p r é s e n t é e p a r un développement en s é r i e des p u i s

-s a n c e -s d ' u n e p a r a m è t r e l i é à l a g r a n d e u r de 1^{^J . Le p r o c é d é de c a l c u l ne converge que s i r e s t i n f é r i e u r au p r e m i e r p ô l e de

Le s e n s du développement e t l e domaine de convergence a p p a r a i s s e n t l e p l u s c l a i r e m e n t dans l e c a s p a r t i c u l i e r où ^['^J e s t une c o n s t a n t e , Les a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s

t^.-c V.\^ ( I I I - 4) èv,a.

(V-s o n t f o r m é e (V-s d e (V-s 1,2,3» p r e m i e r (V-s t e r m e (V-s ( l ) du développement de T a y l o r de l a s o l u t i o n e x a c t e A l J m C ' ^ ) ( J'^ (x.) : f o n c t i o n de B e s s e l d ' i n d i c e V en l a v a r i a b l e x ) à p a r t i r de l ' o r i g i n e : _^ (•(oV+:ii) z > ^ ^ _ { ( I I I - 6 )

Ce développement ne converge que s i 'V:^ e s t i n f é r i e u r au p r e m i e r z é r o p o s i t i f de J~^(ti) (^y ) .

Examinons m a i n t e n a n t dans q u e l l e mesure ce p r o c é d é e s t a p -p l i c a b l e au c a l c u l de l a f o n c t i o n Y d ' u n é l e c t r o n d a n s l e cham-p

d

Ce dévBloppement ne converge q,ue p o u r (a + EE) <^7r . Pour l e p l o m t , avec ^

l e p r o c é d é n ' e s t u t i l i s a b l e ç^u'aux é n e r g i e s i n f é r i e u r e s à 90 Me7. I l n ' e s t vraiment p r a t i q u e que s ' i l ne n é c e s s i t e q u ' u n p e t i t nombre

d ' a p p r o x i m a t i o n s . Dans l e t a b l e a u I c i - d e s s o u s , nous donnons l e s c o r r e c t i o n s r e l a t i v e s

( I I I - 9 ) de seconde e t de t r o i s i è m e approximation p o u r q u e l q u e s v a l e u r s de

1 ' é n e r g i e .

TABLEAU I

E (en HeV)' (en ia) :

_:

^> (en fô) :

0 2.4 : 0.08 :

20 : 9.0 : 1.1 :

40 : 20. : 4 . 7 :

60 : _{35. :} 13. :

Ces c o r r e c t i o n s c r o i s s e n t rapidement avec l ' é n e r g i e . La seconde a p -p r o x i m a t i o n c o r r i g e t o u j o u r s l a -p r e m i è r e d ' u n e manière i m -p o r t a n t e . E l l e e s t ellemême c o r r i g é e a p p r é c i a b l e m e n t p a r l a t r o i s i è m e à p a r t i r d ' u n e é n e r g i e de l ' o r d r e de 20 MeV. Le p r o c é d é n ' e s t donc p r a -t i q u e m e n -t u -t i l i s a b l e q u ' à b a s s e é n e r g i e (E ^ 20 MeY). Des con-c l u s i o n s s i m i l a i r e s v a l e n t pour l e s a u t r e s modèles e t l e s a u t r e s ondes p a r t i e l l e s . En p a r t i c u l i e r , l a p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n ne p e u t

( l ) En u n i t é s u s u e l l e s , R = 0 . 9 3 z 10 A l / 3 cm; c ' e s t l e rayon de l a s p h è r e chargée en s u r f a c e e t é q u i v a l e n t e (au sens de Bodmer, v o i r 1 7 § l ) à l a r é p a r t i t i o n homogène de rayon

p a s ô t r e u t i l i s é e dans l e calcîul des déphasages 4 / ^ (1) : i l

e s t n é c e s s a i r e d ' i t é r e r au moins une f o i s . E l l e e s t cependant i n -t é r e s s a n -t e quand i l s ' a g i -t de comparer des r é p a r -t i -t i o n s e n -t r e - e l l e s ; nous y r e v i e n d r o n s au c h a p i t r e s u i v a n t .

Fowler (Fo-57) a donné l e p r e m i e r une e x p r e s s i o n approchée de i^^V su d e l à du p r e m i e r p ô l e de l a f o n c t i o n . I l pose K ^ V - ^ ^'^"^-^ e t , comme l e s p S l e s de ^j(^J sont s i m p l e s , l a f o n c t i o n ^ l"^) n ' a p a s de s i n g u l a r i t é . Malheureusement, l e s a p p r o x i m a t i o n s i n t r o d u i t e s dansSon c a l c u l rendent l e r é s u l t a t t r o p i m p r é c i s p o u r ô t r e u t i l i s é dans l e c a l c u l de ék • 2 - Méthode de c a l c u l p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s . A) P r i n c i p e Nous c a l c u l o n s p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s non p l u s (procédé de Bodmer) mais l a d i f f é r e n c e e n t r e K,^*^) e t l a s o l u t i o n e x a c t e ^ ^ y d ' u n prohlème où ^('^J e s t une c o n s t a n t e ( 2 ) ; nous c h o i s i s s o n s e n s u i t e de façon à a s s u r e r une convergence r a p i d e (Re-55a, R e - 5 6 ) . y ("t.) e s t l a s o l u t i o n n u l l e à l ' o r i g i n e de l ' é q u a t i o n e t on p e u t v é r i f i e r que Il V v U)^x;-_ ^^-^^"^^ (111-12) avec

(1) ïïi non p l u s dans l e c a l c u l de l ' e f f e t de déplacement i s o t o p i q u e dans l e s s p e c t r e s o p t i q u e s des é l é m e n t s l o u r d s , où l a f o n c t i o n

fy/^Cc-J s ' i n t r o d u i t également (Bo-53, He-54, E e - 5 5 b ) .

(2) I l s ' a g i t donc d ' u n c a l c u l de p e r t u r b a t i o n à p a r t i r d ' u n e r é

r >,'''S^est formé des p r e m i e r s t e r m e s du développement de t^v^^J en s é r i e des p u i s s a n c e s d ' u n p a r a m è t r e l i é à l a g r a n d e u r de Û ^('^)/* ( 1 ) ; c o n t i e n t t o u s l e s t e r m e s j u s q u ' à l ' o r d r e { ^ du c a r r é de ^v^n,^"^^ • )( v ('^^ ^^'^ a i n s i r e p r é s e n t é p a r l e déve-loppement

/ / V - % ( ^ ) ^ K , , N ) - f - ( I I I - 1 9 )

où l e s t e r m e s du membre de d r o i t e sont d ' o r d r e 0 , 1 , 2 , . . . en un p a r a -m è t r e l i é à l a g r a n d e u r de

SzHtJ^^y-^f-B ) Convergence du procédé e t olioiz_de V'^

Commençons p a r examiner l e cas simple où Vf-eJ e s t une c o n s t a n t e V- , Ce cas e s t t r i v i a l p u i s q u e nous c o n n a i s s o n s l a s o l u t i o n e x a c t e

mais i l nous a i d e à comprendre l e s e n s du développement ( I I I - 1 9 ) . On p e u t v é r i f i e r que

^y,,N-^

±

^

( I I I - 2 1 )

c ' e s t à d i r e que l e développement ( I I I I 9 ) e s t i d e n t i q u e au d é v e l o p -pement en s é r i e de T a y l o r de l a f o n c t i o n fyJ a u t o u r du p o i n t ^-^"c.

La f o n c t i o n Çy/'*^ ana.lytique e n t r e s e s p ô l e s , l e s q u e l s sont s i

-^ cà. J-^forj [ -^ : fî zéro p o s i t i f de J y ( V ) ,

Le développement ( I I I - 2 2 ) converge s i l e s p o i n t s

yit l^^-^l

a p p a r -t i e n n e n -t -t o u s deux à l ' u n de ces i n -t e r v a l l e s . Comme l e p o i n -t se t r o u v e à l a d i s t a n c e

làvjt

du p o i n t 2 1 , nous o b t e n o n s l a r è g l e :

" l e développement converge au p o i n t t, sauf s i 1* i n t e r v a l l e ^^'^^/^v^^/^fc c o n t i e n t un des z é r o s

ciz. J'yt^J"»

N o t r e p r o c é d é d i f f è r e de c e l u i de Bodmer p a r l e f a i t que nous c o n s t r u i s o n s p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s non p a s ^(1) mais l a d i f f é r e n c e e n t r e "^^^ f o n c t i o n connue, } (-tLj , s o l u t i o n

de l ' é q u a t i o n p o u r v-fï) = nous d i s p o s o n s a i n s i d ' u n p a r a m è t r e

1> . Dans l e cas p a r t i c u l i e r c o n s i d é r é c i - d e s s u s , l e procédé de

Bodmer f o u r n i t l a s o l u t i o n sous l a forme d ' u n développement en s é r i e de T a y l o r à p a r t i r de l ' o r i g i n e [ " ( I I - 4 ) , ( l I I - 6 ) ^ a l o r s que n o t r e p r o c é d é f o u r n i t l a s o l u t i o n sous l a forme d ' u n développement en s é

-r i e de T a y l o -r à p a -r t i -r d ' u n p o i n t c h o i s i a -r b i t -r a i -r e m e n t [ic =. 'h^^.'c). Le domaine de convergence du p r o c é d é de Bodmer e s t donc l i m i t é p a r l e p r e m i e r p ô l e de j^/^^' (jv)^'^'^^^ n o t r e p r o c é d é p e u t ô t r e r e n -du convergent p a r t o u t par" un choix convenable -du p a r a m è t r e ^ •' en un p o i n t donné, i l s u f f i t de c h o i s i r ^' de t e l l e f a ç o n que l ' i n -t e r v a l l e fi'^-t/i&g-t;-zf^/J -t ne c o n -t i e n n e p a s de zéro ^ ^ . D e p l u s , nous pouvons encore c h o i s i r de f a ç o n à a s s u r e r une convergence r a p i d e , l e m e i l l e u r choix é t a n t évidemment ^' = 2 ^ .

I l e s t beaucoup p l u s d i f f i c i l e de d i s c u t e r l a convergence du p r o c é d é dans l e c a s g é n é r a l où. ^/«^y n ' e s t p l u s une c o n s t a n t e . Les f o n c t i o n s

t'^^'xj

que nous avons à c o n s i d é r e r dans ce t r a v a i l ne sont p a s t r è s d i f f é r e n t e s d ' u n e c o n s t a n t e { ^ - ^/y v a r i e peu du c e n t r e au bord du n o y a u ) . On peut p e n s e r que t o u t comme dans l e c a s

V-(x) ^ C ^ ^ \Q procédé converge sauf s i c e r t a i n s i n t e r v a l l e s

cen-t r é s s u r ^L&gcen-t;-*.x, c o n cen-t i e n n e n cen-t un des z é r o s de -Tyfcen-tJ • Nous

C o n s i d é r o n s un p o i n t R où nous c a l c u l o n s Ïi/^^J 1® d é v e l o p p e -ment ( I I I - 1 9 j avec 2: — ^ X ^ '2^'^. R J : e t a s s o c i o n s à '?Yv' ^"^^ f o n c t i o n f'^*^J c o n s t a n t e en l a v a r i a -Taie t e t d é f i n i e p a r ^

/ ^'[J^^'J *Jv,^ ^'^'j'^'

\/> Je S o i t j pf^J s o l u t i o n n u l l e à l ' o r i g i n e de l ' é q u a t i o n ( I I I - I ) avec

l^^rij

= ^ ('^*^KJ\ on a

(développement ( I I I - I 9 ) de )i>/''^J au p o i n t R) e t ce développement converge sauf s i l ' i n t e r v a l l e ( ^ -1 ^^o('^^^) - i-*/) R c o n t i e n t un des z é r o s eU. ^T^j (icj , La d é f i n i t i o n ( I I I - 2 4 ) de {^Z^J

e n t r a î n e

^^^,fXJ ^ ^^^^(yj (III-26)

Les f o n c t i o n s et A b s e n t é g a l e s à l ' o r i g i n e e t en X •

Si ^ ( t j ne d i f f è r e p a s t r o p d ' u n e c o n s t a n t e , c e s f o n c t i o n s ne sont p a s t r è s d i f f é r e n t e s e n t r e c e t X ; l e s c o r r e c t i o n s s u i v a n t e s

l(fi.,^M^ K,,(^})y

Po^r ( I I I - 2 3 ) e t (

(X)->^^^CX) ),...

p o u r (111-25]^, qui se c o n s t r u i s e n t à l ' a i d e des v a l e u r s p r i s e s p a r

"bit) ^i,_,{^J^^ p a r - ^ ' ^ o A ' ^ ' ^ ^ ^ / ^ / ^ ( ^ ® s p e c t i v e m e n t ) p o u r 'T.

v a r i a n t e n t r e 0 e t R, sont du môme o r d r e de g r a n d e u r e t l e s s é r i e s ( I I I - 2 3 ) e t ( I I I - 2 5 ) convergent s e n s i b l e m e n t en môme temps. Nous o b t e n o n s a i n s i une r è g l e approchée : " l e développement converge au p o i n t t sauf s i l ' i n t e r v a l l e (V '7^'?:, c o n t i e n t un des

z é r o s de

•3^,(<)

" . De p l u s , ce raisonnement i n d i q u e que

^^ [U^(v*i,)x) ê t r e une approximation de j^^, f ^J » nous vériflâ§ns

Hous pouvons m a i n t e n a n t c h o i s i r ^ de f a ç o n à a s s u r e r u n e c o n v e r g e n c e r a p i d e du p r o c é d é . Sn p r a t i q u e , oe o h o i z s e f e r a

comme s u i t . Nous a v o n s d ' a u t a n t p l u s de c h a n c e s que l e p r o c é d é c o n -v e r g e au p o i n t S que l ' i n t e r -v a l l e ( '^'^tjUJT^^,R)-1^^] ) . R e s t p l u s

p e t i t . Comme e s t une moyenne de I^MSLQ 0 à R, i l e s t

n a t u r e l de p a r t i r à p r i o r i d ' u n c o m p r i s e n t r e l e s b o r n e s de

V'I'cj

de 0 à R . C e t t e v a l e u r p e u t e n c o r e ê t r e c h o i s i e de f a ç o n à s i m p l i f i e r l e s c a l c u l s ( v o i r l ' e x e m p l e du C) c i - d e s s u s ) . On c a l c u l e a l o r s deux a p p r o x i m a t i o n s e t s i l e s c o r r e c t i o n s s o n t p e t i t e s , on p e u t s ' e n t e n i r l à . Si c e s c o r r e c t i o n s s o n t i m p o r -t a n -t e s ( e -t en p a r -t i c u l i e r s i l e p r o c é d é semble ne p a s c o n v e r g e r ) , i l e s t p r é f é r a b l e de c h a n g e r de ^ ; dans ce c a s , un c h o i x n a t u -r e l e s t 'Z^^- ^^o^^o, ^) ( c a l c u l é a v e c ^.T ) . Ce c h o i x r é d u i t f o r t e m e n t l ' i n t e r v a l l e { '^''t

I

UJV*R) ^T^*I) R ( c a r Uo(i'^,R ) v a r i e peu

a v e c 'p'^ii t>^x)xiQ d i f f è r e p a s t r o p d ' u n e c o n s t a n t e ) e t a s s u r e p r a -t i q j -t e m e n -t l a c o n v e r g e n c e du p r o c é d é . L ' a p p r o x i m a -t i o n d ' o r d r e z é r o e s t a l o r s ( R) ; n o u s v e r r o n s q u ' e l l e e s t d é j à t r è s s a t i s f a i -s a n t e ( c ) e t p a r a g r a p h e -s -s u i v a n t -s ^ . C) Exemple VW V é r i f i o n s c e s c o n c l u s i o n s s u r u n exemple s i m p l e où n o u s pouvons c a l

En p o s a n t ^ ^ ^

( I I I - 3 0 ) l e s p r e m i e r s t e r m e s du développement ( I I I - I 9 ) ^.e /(^.('jsont :

f - v ^ ° * e " 7 ° ^ / ^ J ( I I I - 3 3 )

Ces e x p r e s s i o n s se s i m p l i f i e n t s i on c h o i s i t ^ - 1 4 » I s a c o r r e c t i o n s s u c c e s s i v e s sont a l o r s p r o p o r t i o n n e l l e s auz p u i s s a n c e s d e ^ - ^i^fE-Vj^) L ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e

^'oi'^'^,R)

a s s o c i é e à au p o i n t R e s t

( I I I - 3 4 ) P r e n o n s des v a l e u r s numériques en a c c o r d avec l e problème c o n s i d é r é dans ce mémoire (1) :

1^ ^-i.S )( ^lo"^ , , ( I I I - 3 5 )

e t c a l c u l o n s ^'j^^^) p o u r des va,leurs de B é c h e l o n n é e s de 40 en 40 d e p u i s 0 Jusque 400. Conformément à l a d i s c u s s i o n du B), commençons p a r p r e n d r e une v a l e u r de V*^ comprise e n t r e l e s "bornes de V^t^et qui

s i m p l i f i e l e s c a l c u l s :

(1) Pour l ' o r , une r é p a r t i t i o n homogène de l a charge e t un rayon

1.20

X lO-'^ A

1/3

cm, on a

( I I I - 3 6 ) Les r é s u l t a t s sont r a s s e m b l é s dans l e t a t l e a u I I (page 33 ) . Pour

chaque v a l e u r de l ' é n e r g i e , nous donnons successivement : "^[-^jJ^X

• E a f i n de v o i r s i l a r è g l e de convergence se v é r i

-f i e , l e s a p p r o x i m a t i o n s d ' o r d r e zéro ( I I I - 3 1 ) , un ( I I I - 3 1 )+(111-32), e t deux ( I I I - 3 1 ) + ( I I I - 3 2 ) + ( I I I - 3 3 ) , l a s o l u t i o n e x a c t e ( I I I - 2 8 ) e t l e s e r r e u r s r e l a t i v e s e t cf^ en p o u r - c e n t :

/ -

(111-37)

Pour t o u t e s l e s v a l e u r s de E c o n s i d é r é e s sauf S = 320, l e procédé de c a l c u l converge rapidement e t en g é n é r a l , l a p r e m i è r e ou l a s e -conde approximation donne une p r é c i s i o n de l ' o r d r e du p o u r - c e n t . I l semble que l e p r o c é d é ne converge p a s p o u r E = 320. Ceci c o n f i r -me n o t r e r è g l e p u i s q u e E = 320 e s t l e s e u l cas où l ' i n t e r v a l l e

( '^it}U^(ir^,R)- 'l^il ) . R (6.336 ± 0 . 1 4 4 0 ) c o n t i e n t un zéro de

Zf/f^C'^) ( ^ ^ ) • Changeons maintenant l a v a l e u r de \ / * *,

conformé-ment à l a d i s c u s s i o n du B), p r e n o n s

( I I I - 3 8 ) Dans t o u s l e s cas c o n s i d é r é s , > ^ ) e s t s i v o i s i n de 2 ^ * ( c ' e s t

-à - d i r e , de U^(I>Z,RJ) que l ' i n t e r v a l l e {

11

(^^, R)

e s t p r a t i q u e m e n t n u l ; nous devons donc a v o i r une convergence t r è s r a p i d e . Les r é s u l t a t s sont r a s s e m b l é s dans l e t a b l e a u I I I (page 33)» Pour chaque v a l e u r de l ' é n e r g i e , nous donnons successivement : l a

0 80 l i e

1 60

loo

iSo

H

0

Séo

iiO 0

l.oU

S.éU

0. o ^ i y

o.i léS

o-U 3^

0.1 ^ ^0

0>1li3î

0.1 kl 'i

-0.1 )é4

- I40ik3

•h i-H

- 0. ôsos

- o.S'1 o3

~3>.1k SI

•i-l.^'f-iô

•hO'IjS j

- 0.

s-i

- d-SU 6

+ 0. s p ^

^ 0.1 ^ 0 j

- o.l

0

- ^. Srii 1

+ 0.1 0 -0. s-H l

'1,S^o ù

06 j

i o.éSU

- 0.1^ f i

- o.io j ^ û.il

- C f l i l 0.1 !f

- 1. 060 1 o.k^

- 3.li j f Li'1

i l.j

6

^ Z

^ . j

l.{

-i.jo II.!

+ o,U^3 é.O

- 0.1 s d.^h

0,011

0,013

ô , r / o.

Dans t o u s l e s c a s , l e p r o c é d é de c a l c u l converge t r è s r a p i d e m e n t . L ' a p p r o x i m a t i o n d ' o r d r e zéro ( ,o(^^ = )(i [^] ) «s't t r è s p r o

-clae de l a s o l u t i o n e x a c t e , même au v o i s i n a g e d ' u n p ô l e (E = 320) : l ' e r r e u r r e l a t i v e maximum e s t de 3,6 'fo s e u l e m e n t . Remarquons a u s s i que l ' e r r e u r Z\ e s t t o u j o u r s i n f é r i e u r e à 1 5^. La c o r r e c t i o n du p r e m i e r o r d r e e s t f a i l l e ; V' e s t en e f f e t c h o i s i dans ce s e n s ;

e l l e n ' a m é l i o r e p a s s e n s i b l e m e n t l a s o l u t i o n ; en g r o s , e l l e r é d u i t l ' e r r e u r de m o i t i é . La c o r r e c t i o n du second o r d r e conduit à une e x c e l l e n t e a p p r o x i m a t i o n , qui d i f f è r e de moins de un demi p o u r -m i l l e de l a s o l u t i o n e x a c t e (dans t o u s l e s c a s c o n s i d é r é s ) .

C e t t e méthode permet de c a l c u l e r avec une grande

p r é c i s i o n à l ' a i d e de q u e l q u e s a p p r o x i m a t i o n s s e u l e m e n t . Les c a l -c u l s sont beau-coup p l u s s i m p l e s q u ' u n e r é s o l u t i o n numérique des é q u a t i o n s r a d i a l e s de D i r a c . En p a r t i c u l i e r , l a p r e m i è r e approxima-t i o n / ^''S^ ®approxima-t ^orme approchée )[^ ('^) n é c e s s i approxima-t e n approxima-t que l e

c a l c u l d ' u n e s e u l e i n t é g r a l e dépendant de Z>-{ILJ

ce qui e s t i n t é r e s s a n t é t a n t donné que nous r e c h e r c h o n s a u s s i une dépendance simple e t g é n é r a l e de ï C^JUc • La s o l u t i o n a p p r o

-IV

% { ^ • > « ^ ) - ^ ) ( I I I - 4 2 )

e s t p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s s a n t e c a r , nous venons de l e v o i r sur un exemple, e l l e c o n s t i t u e une bonne a p p r o x i m a t i o n de J)>('*-) môme

au v o i s i n a g e des p ô l e s t o u t en ne dépendant de

'l^Cx)

que p a r une i n -t é g r a l e simple à c a l c u l e r (au moins numériquemen-t). Nous a l l o n s m a i n t e n a n t c o n s i d é r e r c e t t e s o l u t i o n approchée avec p l u s de d é t a i l s e t examiner sa v a l i d i t é dans l e problème de l a d i f f u s i o n d ' é l e c t r o n s de h a u t e é n e r g i e p a r l e s noyaux.

3 - S o l u t i o n approchée obtenue d i r e c t e m e n t . A) Calcul

'^'°> t . ( I I I - 4 3 )

F i s . 2

La s o l u t i o n U(t) de l ' é q u a t i o n ( I I I - 5 2 ) vaut 'P'CoJ à l ' o r i g i n e e t e s t donc l a s o l u t i o n c h e r c h é e . On p e u t en p r i n c i p e r é s o u d r e c e t t e é q u a t i o n p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s ; numériquement, l e s c a l c u l s ne p r é s e n t e n t aucune d i f f i c u l t é e t l e p r o c é d é converge t r è s r a p i d e -ment ( Z / ^ / ^ ^ t y é t a n t d é j à une bonne a p p r o x i m a t i o n ) ; c e c i f o u r n i t une a u t r e méthode de c a l c u l de )(^^('^)-^BX a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s . Nous nous l i m i t e r o n s à Uo f'^^^t^J^X nous a l l o n s m o n t r e r q u ' o n peut

c h o i s i r de f a ç o n à o b t e n i r une bonne a p p r o x i m a t i o n . B) Q^el£ues p r o p r i é t é s La f o n c t i o n "^("^J e s t c o n t i n u e , p o s i t i v e e t d é c r o i s s a n t e e t nous pouvons l a r e p r é s e n t e r au v o i s i n a g e de l ' o r i g i n e p a r La s o l u t i o n {'^J e s t a l o r s , au v o i s i n a g e de l ' o r i g i n e [l(tj P{cJ^ ^ ^ ^ ^ a ^ y ^ o {>^J ( I I I - 5 6 ) e t on a WoJ>y4i(^)^1>M ^ ^ < o S ( I I I - 5 7 ) l e s r e l a t i o n s ( I I I - 5 7 ) v a l e n t également p o u r t o u t e s l e s v a l e u r s de ^ en v e r t u de l a c o n t i n u i t é de e t de u^tj. I l en r é s u l t e l a p r o p r i é t é s u i v a n t e : en t o u t poi'Hjiîï R t e l que 'i^r. j . K 4, ( I I I - 5 8 )

où Xy e s t l e p r e m i e r maximum de •/i^^-'^-^ >

P o u r l e v o i r , é c r i v o n s ( I I I - 5 4 ) au p o i n t R sous l a forme

(1) Le c a s où h/tj&st c o n s t a n t e àe c a ( p a s de charge de Co r^) ne

p o s e p a s de problème s p é c i a l .

UttJ ^ ('>^J =

cJLo^t^\,

on peut r a i s o n n e r comme c i - d e s s u s à p a r t i r du p o i n t ; l e s r e l a t i o n s

( I I I - 5 7 ) sont encore v a l a b l e s .