Séries d’exercices

(1)

1 EXERCICE N°1

Sans utiliser une calculatrice, calculer le réel : 1°)cos14π

+ cos7π

+ 14 cos3π

- 7 sin2π

- 14 sin5π

- 7 sin3π

2°)tan9π

+ 9

tan2π

+ tan3π

+ 9

tan4π

+ 9

tan5π

+ 3

tan2π

+ 9

tan7π

+ 9

tan8π

3°)cos²5π

+ 5

²2 cos π

+ 5

²3 sin π

+ 5

²4 sin π 4°)tan12π

. 12

tan5π

+ cotan5π

. 5

tan4π

5°) 8

sin 7 8 sin 5 8 sin 3

sin²8π+ ² π+ ² π+ ² π

6°) 8

cos 8 8 cos 6 8 cos 4 8

cos² 2π ² π ² π ² π

+ +

+

7°) 12

sin 11 12 sin 9 12 sin 7 12 sin 5 12 sin 3

sin²12π + ² π+ ² π+ ² π+ ² π+ ² π EXERCICE N°2

1°)On remarquant que l’on a :

4 3 12

π π

π = − , calculer cos12π

, sin12π

et tan12π

2°)Démontrer que l’on a : 14

12

²5 12 tan

²

tan π + π =

3°) Calculer cos8π

, sin8π

, tan8π

et 8 tan5π EXERCICE N°3

Soit ACDE un carré direct de côté a = 2 et soit ABC un triangle équilatéral indirect .

1°)Montrer que ABE est un triangle isocèle et calculer ses angles et en déduire que

(

^EB^,^ED

)

^≡₁₂^π

^{[ ]}

²^π

2°)Soit H le projeté orthogonale de B sur [ED].

Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos12π

. EXERCICE N°4

Soit ℘=cosxcos2xcos4x 1°)Montrer que : 8sinx.℘=sin8x 2°)En déduire la valeur de

7 cos4 7 cos2

cos7π π π

EXERCICE N°5

Soit ℓ =2sinx(cos2x+cos4x +cos6x)

1°)Montrer que : pour tout a,b∈R : 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a−b) 2°)Montrer que ℓ =sin7x−sinx

3°)En déduire la valeur de

7

²6 7 sin

²4 7 sin

²2 sin

S= π+ π+ π

EXERCICE N°6

1°)Montrer que pour tout x de R : cosx sinx x 4

cos

2 = +



 



 − π

2°)Montrer que pour tout x de R : cosx sinx x 4

cos

2 = −



 



 + π

3°) Montrer que pour tout x de k , ,k Z

R 4 ∈







 +

− π π

: sinx cosx

x cos x sin 1 x 2 sin

x 2 cos

−

= +

− 4°) En déduire que pour tout x de k , ,k Z

R 4 ∈







 +

− π π

: 



 



 −

− =cotan x 4 1

x 2 sin

x 2

cos π

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₃^ème_technique

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(2)

2 EXERCICE N°7

1°)Montrer que pour tout x de R : 0

3 x 2 3 cos

x 2 cos x

cos =



 



 − +



 



 +

+ π π

2°)Calculer alors 0

7 cos17 7 cos11

cos7π+ π + π =

3°) Montrer que : pour tout a,b∈R : cos(a+b)+cos(a−b)=2cosacosb 4°)En déduire que

2 3 3 x 2

² 3 cos x 2

² cos x

²

cos =



 



 − +



 



 +

+ π π

EXERCICE N°8

1°)Montrer que pour tous réels a et b différents de ^k ^,

(

^k ^Z

)

2π + π ∈

, on a :

b cos . a cos

) b a b sin(

tan a

tan + = +

2°)Soit x un réel de 



 



− ,6 6

π π .

a) Montrer que :

1 x 2 cos 2

x 2 sin 4 x 3

3 tan x

tan = −



 



 + +



 



 −π π

b) Montrer que : ^cos^x^.

(

²^cos²^x⁻¹

)

⁼^cos³^x

c) En déduire que 3tan3x

x 3 tan x 3 tan x

tan =



 



 + +

+



 



 −π π

EXERCICE N°9

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

( )

^O^,ⁱ^,^j ^.

Déterminer le cordonnées polaire des points A(1, 3) , B(1,− 3)^,C(−1, 3)^etD(−1,− 3) EXERCICE N°10

( )

^O^,ⁱ^,^j ^.

On considère le carré OABC de centre S tel que les cordonnées cartésiennes respectives de A et C sont (1, 3) et (− 3,1).

1°)Faire une figure.

2°)Déterminer les cordonnées polaires de chacun des points A , C , B et S . 3°)En déduire le valeur de

12 cos7^π ,

sin12^π et cos12^π EXERCICE N°11

( )

^O^,ⁱ^,^j ^.

On considère les points A(2,0) , B( 3,1) et le point C vérifiant OC =OA+OB 1°)Déterminer les cordonnées polaires du point B.

2°)Placer les points A , B et C dans le repère

( )

^O^,ⁱ^,^j

3°)a-Donner la nature du quadrilatère OACB.

b-Déterminer les cordonnées cartésiennes et les cordonnées polaires de C.

c-En déduire les valeurs de cos12π

et sin12π

. 4°)Construire chacun des ensembles suivants :

[ ]





 = ∈

= et r 1,3

/ 6 ) , r ( M

E π

θ

θ et







  =



 



∈

= et r 2

3 ,4 / 6

) , r ( M

F π π

θ θ EXERCICE N°12

Partie I.

Résoudre les équations suivants dans R puis dans

[

⁰^,²^π

]

et représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions :

3 x sin

2 = ; 2cosx=−1 , 1

x 6 cos

2 =−



 



 − π

, sinx =cosx , tanx =− 3 , cosx−sin²x−1=0. Partie II.

(3)

3 Résoudre les inéquations suivants dans

[

⁰^,²^π

]

2 x 3

sin ≤ , 2cosx+1≥0 , 1 x 6

cos

2 ≤−



 



 − π

, tanx>− 3 . EXERCICE N°13

1°) Résoudre dans R : 0

x 3 cos 3 3

x

sin ^=



 



 −

−



 



 − ^π ^π

2°)Résoudre dans R : sinx− 3cosx= 2 3°) Résoudre dans

[

⁻^π,^π

]

^:^sin^x⁻ ³^cos^x^≥ ²

4°) Résoudre dans

[

⁻^π,^π

]

^:³^cos^x⁻²^sin^²^x⁺³⁼⁰

5°) Résoudre dans

[

⁻^π,^π

]

^:³^cos^x⁻²^sin^²^x⁺³^≥⁰

6°)Résoudre dans

[

⁰^,²^π

]

^: ⁰

x 2 cos 2 1

1 x 2 cos

2 ≤

+

−

EXERCICE N°14

Pour tout réel x, on pose u(x)=2cos²x+ 3sin2x+4sin²x−1 et 



 



 + +

−

=3sinx 4sin x cos x 6 )

x (

v ³ π

1°)Transformer u(x) en

[

^c⁻^r^cos(²^x⁺^φ⁾

]

où c , r et φ sont des réels avec r >0 et 0<φ<π. 2°)Resoudre dans

[ ]

⁰^,^π l'équation : u(x) = 1 .

3°)Montrer que, pour tout réel x, on a : 



 



 +

=4sin² x 6 )

x (

u π

4°)Montrer que, pour tout réel x , on a : 



 



 + +

=sin3x cos x 6 )

x (

v π

5°) Montrer que, pour tout réel x , on a : 



 



 +



 



 +

= sin x 6

x 3 2 sin 2 ) x (

v π π

6°)Soit la fonction

) x ( v

) x ( x u :

f ֏

a) Déterminer le domaine de définition D de f . b)Montrer que pour tout x de D :



 



 +

= x 6 cos ) 1 x (

f π

c)Résoudre dans

[ ]

⁰^,^π , l'inéquation :

3 ) 2 x ( f <