a et a  h est égal à :

Rappels

Le taux d’accroissement d’une fonction f entre

a et a  h est égal à :

( ) ( )

f a h f a h

 

Une fonction est dérivable en a si le taux d’accroissement de cette fonction admet une unique limite finie quand h  0 .

La relation d’Euler

Si h est « petit » alors : ^{f a}  ^{ h}  ^{ f a}   ^{ hf }   ^a Euler . Cette égalité est la relation d’Euler.

Recherche d’une nouvelle fonction

Le but de cette activité est de représenter graphiquement la fonction f qui vérifie les deux conditions suivantes : ^f   ^{0  1 et f }   ^{x  f x}   pour tout x réel.

La relation d’Euler pour un h petit et positif

1. Ecrire la relation Euler pour a  0 et h  0,1 . Déterminer ^f   ^0,1 . 2. Ecrire la relation Euler pour a  0,1 et h  0,1 . Déterminer ^f   ^{0, 2} .

3. Ecrire la relation Euler pour a  0, 2 et h  0,1 . Déterminer ^f   ^{0, 3} à 10 ^{ 2} près.

4. Ecrire la relation Euler pour a  0, 3 et h  0,1 . Déterminer ^f   ^{0, 4} à 10 ^{ 2} près.

5. Continuer le travail. Etablir le tableau des valeurs de cette fonction sur l’intervalle   ^0;2

La relation d’Euler pour un h petit et négatif

1. Ecrire la relation Euler pour a  0 et h   0,1 . Déterminer ^f  ^{ 0,1}  . 2. Ecrire la relation Euler pour a   0,1 et h   0,1 . Déterminer ^f  ^{ 0, 2}  .

3. Ecrire la relation Euler pour ^a   ^{0, 2} et ^h   ^0,1 . Déterminer ^f  ^{ 0, 3}  à 10 ^{ 2} près.

4. Ecrire la relation Euler pour a   0, 3 et h   0,1 . Déterminer ^f  ^{ 0, 4}  à 10 ^{ 2} près.

5. Continuer le travail. Etablir le tableau des valeurs de cette fonction sur l’intervalle  ^{ 2;0}  ^.

Utilisation d’un tableur et d’un grapheur

Geogebra présente les deux fonctionnalités « tableur » et « grapheur ». Utilisez ce logiciel pour

tracer la représentation graphique de la fonction exponentielle à l’aide de la méthode d’Euler.

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle que l’on notera ^{f x}   ^{ exp}   ^x est dérivable et continue. Sa dérivée est égale à elle-même. L’image de 0 par cette fonction est 1. ^ _ ^exp   ^{x } _ ^{  exp}   ^{x et exp 0}   ^{ 1} . Les propriétés de la fonction exponentielle

 La fonction exponentielle ainsi définie ne s’annule pas.

 La fonction exponentielle ainsi définie est unique.

 La fonction exponentielle ainsi définie vérifie ^exp  ^{a  b}  ^{ exp}   ^{a  exp}   ^b .

 La fonction exponentielle ainsi définie est toujours positive.

 La fonction exponentielle ainsi définie vérifie ^exp   ^{  a exp 1}   ^{a .}

Ces propriétés importantes vont être démontrées.

L’exponentielle ne s’annule jamais

Considérons la fonction h définie par ^{h x}   ^{ exp}   ^{x  exp}   ^{ x} . 1. Calculer ^{h x }   . Qu’en déduisez-vous pour la fonction g ?

2. Sachant que ^{exp 0}   ^{ 1} , déterminer la valeur de ^{h x}   pour tout x réel.

3. Supposons qu’il existe un réel a tel que ^exp   ^a  ⁰ . Calculer ^{h a}   . Qu’en déduire ?

L’exponentielle ainsi définie est unique

Supposons qu’il existe deux fonctions f et g qui vérifient : ^{f }   ^{x  f x}   ^{et f}   ^{0  1 et}

   

g x   g x et ^g   ^{0  1} . Considérons la fonction k définie par    

 

k x f x

 g x .

1. Démonter que la fonction k est une fonction constante. Déterminez cette constante.

2. En déduire qu’il n’existe qu’une seule fonction définie comme la fonction exponentielle.

L’exponentielle transforme une somme en un produit de deux exponentielles

Soit deux réels a et b . Considérons la fonction l définie par ^{l x}   ^{ exp}  ^{a b    x}  ^exp   ^x . 1. Calculer ^{l x }   . Qu’en déduisez vous pour la fonction l ?

2. Calculer ^l   ⁰ . Calculer ^{l b}   . Qu’en déduisez vous ?

L’exponentielle est toujours positive

Considérons un réel a . En écrivant a  a 2  a 2 , montrer que ^exp   a    ^exp   a 2   ² . En déduire le signe de ^exp   ^a . Sauriez-vous proposer une autre démonstration de cette propriété ? L’exponentielle transforme une différence en un quotient de deux exponentielles

Soit deux réels a et b . En écrivant ^a     ^{b a}   ^b , montrer que    

 

exp exp

exp a b a

  b . L’exponentielle transforme l’opposé en l’inverse de l’exponentielle

Soit un réel a . En écrivant    a 0 a , montrer que ^exp   ^{  a exp 1}   ^{a .}

Tableau de variations et inéquations

1. Dresser le tableau de variations de la fonction exponentielle. Justifier.

2. En lisant ce tableau de variation, déterminer le signe de l’expression ^exp   ^{x  1} . Détermination des limites en l’infini

Considérons la fonction h définie par ^{n x}   ^{ exp}   ^{x  x} .

1. Calculer ^{n x }   . Déterminer les variations de la fonction n . En déduire le signe de ^{n x}   ^.

2. Déterminer alors ^{lim exp}  

x x

 .

3. Procédons au changement de variable X   x . Comment évolue x quand X   ? A l’aide de ce changement montrer que ^{X lim exp }   ^{X  x lim  exp 1}   ^x

4. En déduire ^{lim exp}  

X X

 .

Une limite particulière 1. Calculer  

0

exp 1

lim x

x

 x

 .

2. Interpréter graphiquement.

Deux tangentes à la courbe

L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e . Le nombre e est un réel tel que e  2, 718...

Ce nombre, comme le nombre   3,141... n’est pas un nombre rationnel. Sa partie décimale est infinie. Sa valeur approchée est obtenue grâce à la méthode d’Euler.

1. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de l’exponentielle en x  0 . 2. Tracer cette tangente dans le repère ci-contre.

3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative en x  1 . Tracer cette tangente dans le repère ci-contre.

Deux limites importantes

lim

x x

e

 x   _x ^lim _ ^{xe x  0}

Démonstrations

Considérons sur l’intervalle  ^0;  la fonction f définie par   ²

2

x x

f x  e  .

1. Calculer ^{f }   ^{x puis f }   ^x .

2. Après étude du signe de ^{f }   ^x , déterminer les variations de ^{f }   ^{x sur}  ^0;  ^.

3. Après étude du signe de ^{f }   ^x , déterminer les variations de ^{f x}   sur  ^0;  ^.

4. En déduire le signe de ^{f x}   sur  ^0;  puis l’inégalité

2

2

x x

e  pour tout ^{x  }  ^0;  ^.

5. Par un raisonnement précis que vous préciserez, calculer lim

x x

e

 x . Effectuons le changement de variable X   x .

6. Comment évolue X quand x   ?

7. Montrer que xe ^{x X} _X

  e . En déduire lim ^x

x xe

 .

0.5 0.5

1

e = 2,718...

Croissance comparée de l’identité, du carré et de l’exponentielle 1. Rappeler lim

x x

 . 2. Rappeler lim ^x

x e

 . 3. Rappeler lim

x x

e

 x . 4. Rappeler lim ²

x x

 . 5. Rappeler lim ^x

x e

 . 6. Conjecturer lim ₂

x x

e

 x .

Deux limites importantes lim

x x n

e

 x   pour tout n entier naturel. _x ^lim _ ^{x e n x  0} pour tout n entier naturel.

Fonctions composées à l’aide de l’exponentielle

Calculs de limites Si ^lim  

x a u x b

  et si ^lim  

x b v x c

  alors ^lim _{x  a} ^{v u x}     ^{ c}

En expliquant votre raisonnement, calculer les limites suivantes :

1

lim ^x

x e



1

lim 1 x x

x e







lim ^{x x}

x e ^



lim ^x

x e



1 1 1

lim

x x x

e







1 1 1

lim

x x x

e







Calculs de dérivées

 ^{v u}    ^{ x  u x }   ^{ v u x }    

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

  ² 2

1 1

x x

f x e e

 

 ^{g x}   ^{ e x x   1 1 h x   }  ^{x 2  2 x  2}  ^{e  3 x}

0.5 0.5

y = exp

y = carré

y = identité

Quatre fonctions de référence

Carrée Cube Racine carrée Partie entière

Définition

La fonction f réalise une bijection de I sur J lorsque tout élément de J admet un unique antécédent dans I .

Contre exemples

Déterminer le(s) antécédent(s) de 4 par la fonction carré. La fonction carré peut-t-elle réaliser une bijection ? Expliquer. Déterminer le(s) antécédent(s) de 1,5 par la fonction partie entière. La fonction partie entière peut-t-elle réaliser une bijection ? Expliquer.

Exemples

Que pensez-vous des fonctions cube et racine ? Réalisent-elles une bijection ? Déterminer les conditions nécessaires pour qu’une fonction réalise une bijection.

La fonction logarithme népérien

On a établi que la fonction exponentielle réalise une bijection de l’intervalle  ^{  ;}  sur l’intervalle  ^0;  ^.

Ceci signifie que quelque soit le réel strictement positif m , l’équation e ^a  m admet une unique solution.

Définition

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif m l’unique solution de l’équation e ^a  m . On note ^ln   ^m cette solution qui se lit « logarithme népérien de m ».

On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Applications directes

Déterminer le logarithme népérien de 1 puis du nombre e. Quel est l’ensemble de définition de la fonction logarithme népérien ? Si x est un réel quelconque, que pouvez-vous dire de ^ln   ^{e x ? Si}

x est un réel strictement positif, que pouvez-vous dire de e ^{ln   x} ?

1 1

1 1 e = 2,718...

m

a

La dérivée de la fonction logarithme népérien

Soit a  0 . On se propose d’étudier la limite du quotient ^ln   ^{x ln}   ^a

x a



 lorsque x  a .

On appelle   ^ln   ^{x ln}   ^a

t x x a

 

 . On pose les changements de variable ^{X  ln}   ^x , ^{A  ln}   ^a . 1. Comment évolue X lorsque x  a ?

2. Que représente la quantité ^{t x}   ? Montrer que le quotient ^{t x}   peut s’écrire ^X _X ^A _A e e



 .

3. Que représente le quotient

X A

e e

X A



 ? Quelle est sa limite lorsque X  A ? 4. En déduire ^lim  

x a t x

 . Quel est le nombre dérivé de la fonction logarithme en a ? 5. La fonction logarithme est-elle dérivable ? Quelle est sa dérivée ?

Propriété fondamentale

Soient a et b deux réels strictement positifs.

1. Que pouvez-vous dire de e ^{ln  a b  } ? 2. Que pouvez-vous dire de e ^{ln     a  ln b} ?

3. Que peut-on en déduire pour les quantités e ^{ln  a b  } et e ^{ln     a  ln b} ? 4. Et pour les quantités ^ln  ^{a b }  et ^ln   ^{a  ln}   ^b ?

Corollaires

Soient a et b deux réels strictement positifs.

1. Si n est un entier naturel non nul, que dire de ^ln   ^{a n} ? Expliquer.

2. Que dire de ^ln   ^a ? Expliquer.

3. Que dire de ^ln   ¹ b ? Expliquer.

4. Que dire de ^ln   ^a _b ? Expliquer.

Tracé de la courbe représentative – Comportement asymptotique On a représenté ci-contre la représentation

graphique de la fonction exponentielle dont on fournit un tableau de valeurs.

x 0 1 a

e x 1 e b

1. Remplir le tableau de valeurs :

x ₁ e b

 

ln x

2. Que peut-on dire des points de la courbe représentative de la fonction logarithme par rapport à ceux de la courbe de l’exponentielle ?

3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative du logarithme en x  1 . 4. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative du logarithme en x  e . 5. Tracer la courbe représentative du logarithme et les deux tangentes.

6. Conjecturer  

0

lim ln

x

x

 et ^{lim ln}  

x x

 . Quelle en est la conséquence graphique ? Rappels sur la fonction exponentielle

lim

x x

e

 x   _x ^lim _ ^{xe x  0}

Deux limites importantes

On cherche ici à déterminer ^ln  

x lim x

 x . S’agit-il d’un cas d’indétermination ? Lequel ? On pose le changement de variable ^X  ^ln   ^x

1. Exprimer ^ln   ^x

x en fonction de X . 2. Comment évolue X lorsque x  

3. En déduire ^ln  

lim

x

x

 x .

On cherche ici à déterminer  

0

lim ln

x

x x

  .

S’agit-il d’un cas d’indétermination ? Lequel ? On pose le changement de variable ^{X  ln}   ^x

1. Exprimer ^x  ^ln   ^x en fonction de X .

2. Comment évolue X lorsque x  0 ^ ?

3. En déduire  

0

lim ln

x

x x

  .

1 1 e

e

Croissances comparées des fonctions Les fonctions ^ln   ^x , x ⁿ et e ^x ont toutes pour limite  quand x   . Pourtant leur « vitesse d’accroissement » n’est pas identique et on peut aisément comparer leurs croissances.

Ainsi, une fonction puissance, quelle qu’elle soit, tend vers l’infini

« moins vite » que l’exponentielle et « plus vite » que le logarithme.

On en déduit deux limites importantes :

Deux limites à retenir

 

lim ln _n 0

x

x

 x  lim

x x n

e

 x  

Logarithme composé – Savoir dériver

On appelle logarithme composé toute fonction s’écrivant sous la forme ^ln   ^{u x}     .

1. Rappeler la formule générale permettant de dériver la composée de deux fonctions.

2. En déduire l’expression de la dérivée du logarithme composé ^ln   ^{u x}     .

3. Calculer la dérivée de ^{f x}   ^{ ln 2 } _ ^{x 2  1 } _ . Calculer la dérivée de ^{g x}   ^{ ln 1}  ^{ e  x}  ^.

Un calcul de limite

1. Etudier les variations et le signe de ^{f x}     ^{x ln 1}   ^x  définie sur  ^0;  ^.

2. Etudier les variations et le signe de   ^{ln 1}   ²

2

g x   x   x x définie sur  ^0;  ^.

3. En déduire que pour tout ^{x  }  ^0;  ^{on a 2 ln 1}  

2

x  x  x x

4. En expliquant clairement votre raisonnement en déduire  

0

lim ln 1

x

x

 x

 .

1 5

exponentielle

puissances

logarithme

Logarithme composé – Savoir quand il existe – Domaine de définition

1. Quand ^{f x}   ^{ ln 2}  ^{x  4}  existe-t-il ? En déduire le domaine de définition de f .

2. Quand ^{g x}   ^{ ln}    ^{2 x  4}  ^{  x 3}    existe-t-il ? En déduire le domaine de définition g . 3. Quand   ^{ln 1}

1 h x x

x

  

      existe-t-il ? En déduire le domaine de définition de h . 4. Quand ^{k x}   ^{ ln 1 } _ ^{ e  x } _ existe-t-il ? En déduire le domaine de définition de k .

Logarithme composé – Savoir déterminer les variations et étudier les limites

On considère la fonction ^{k x}   ^{ ln 1 } _ ^{ e  x } _

1. Rappeler le domaine de définition de k .

2. Calculer ^{k x }   et étudier son signe. En déduire les variations de k . 3. Déterminer ^lim  

x k x

 . Déterminer ^lim  

x k x



Résolution approchée d’une équation

On considère la fonction u définie sur  ^0;  ^{par u x    ln   x   x 3 .}

Etudier les variations de la fonction u . Montrer que l’équation ^{u x}   ^{ 0} admet une racine unique notée  . Donner un encadrement de  à 0, 001 près. Etudier le signe de ^{u x}   . Réinvestissement pour l’étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur  ^0;  ^{par f x}   ^{1 1}  ^ln   ^{x 2} 

x

 

       .

1. Déterminer les limites de f quand x tend vers 0 puis quand x tend vers  . 2. Calculer ^{f }   ^x . En déduire les variations de f sur l’intervalle  ^0;  ^.

3. Montrer que    ¹  ²

f  



   . En déduire le signe de ^{f x}   sur l’intervalle  ^0;  ^.

Le logarithme décimal

Le logarithme décimal est la fonction notée log définie sur  ^0;  ^par    

 

log ln

ln 10 x  x .

Propriétés

1. Calculer ^{log 1}   . Calculer ^{log 10}   .

2. Après étude de la fonction, dresser le tableau de variation complet.

3. Démontrer que, pour tout a et b strictement positifs, ^{a  log}   ^b équivaut à b  10 ^a . 4. Montrer que ^log  ^{a b }  ^{ log}   ^{a  log}   ^b , ^log   ^{a  1} ₂ ^{log   a , log}   ^{a n  n log   a .}

5. Démontrer que 10 ⁿ   a 10 ^{n  1} est équivalent à ^{n  log}   ^{a   n 1} . En chimie

En chimie, la notation pH signifie « potentiel hydrogène ». Le pH permet d’exprimer le caractère acide ou basique d’une solution. Ce nombre est un décimal compris entre 1 et 14 tel que :

 si pH<7 alors la solution est dite acide,

 si pH>7 alors la solution est dite basique,

 si pH=7, alors la solution est dite neutre.

Si   H ^   désigne la concentration en ions hydrogènes H O ₃ ^ , exprimée en moles par litre, alors la relation pH   log   H ^   donne le pH de la solution. Le sang possède une concentration en ions H O ₃ ^ égale à   H ^    3, 98 10  ^{ 8} moles par litre. Montrer que le sang est légèrement basique. Quelle est la concentration en ions H O ₃ ^ d’une solution neutre ? Si on augmente la concentration d’ions H O ₃ ^ dans une solution, diminue-t-on ou augmente-t-on son pH ? Justifier.

En physique

Une vibration sonore se mesure par sa fréquence et donc son intensité I exprimée en W/m² et le décibel est quant à lui utilisé pour exprimer le rapport de deux intensités acoustiques. On définit le nombre de décibels (dB), que l’on note N, engendré par une vibration sonore d’intensité I par :

0

10 log I

N I

     

  , où I ₀ est la plus faible intensité perceptible par l’oreille humaine, 10 ^-12 W/m².

Calculer N pour I  I ₀ . Calculer N pour I  100 I ₀ . Le chuchotement discret de deux élèves

en classe est voisin de 20 dB. Qu’en est-il de l’intensité sonore émise par rapport à I ₀ ? Même

question pour une conversation entre deux personnes émettant 50 dB. Même question pour le

seuil de la douleur estimé à environ 120 dB.

Calcul formel

Soit f la fonction définie par

  ^ln  ¹ 

f x   x x 

On reporte ci-contre les lignes d’un logiciel de calcul formel.

Analyser chacune des lignes puis dresser le tableau complet des variations de la fonction f . http://www.xcasenligne.fr/

Calcul formel

On propose ci-contre plusieurs lignes d’un logiciel de calcul formel.

Comme cela a été proposé précédemment, effectuer un bref commentaire décrivant les actions mathématiques menées à chaque ligne.

Donner l’expression de la fonction étudiée et dresser le tableau complet des variations de cette fonction.

http://www.xcasenligne.fr/

Calcul formel

On propose ci-contre plusieurs lignes d’un logiciel de calcul formel.

Donner l’expression de la fonction étudiée et dresser le tableau complet des variations de cette fonction.

http://www.xcasenligne.fr/