DETERMINER LA PRIMALITE D UN ENTIER CORRECTION DE LA QUESTION PRELIMINAIRE
Question préliminaire : démontrer que : « tout nombre entier naturel n, supérieur ou égal à 2, admet au moins un diviseur premier, son plus petit diviseur d dans autre que 1 » en envisageant les deux cas suivants :
n est premier
n n’est pas premier (on raisonnera par l’absurde en supposant que d le plus petit diviseur de n strictement supérieur à 1 n’est pas premier)
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Si n est premier : les diviseurs positifs de n sont 1 et n. Le plus petit diviseur positif d de n autre que 1 est n qui est premier.
Si n n est pas premier : notons d sont plus petit diviseur strictement supérieur à 1.
Supposons que d n est pas premier.
Alors, d après la définition d un nombre premier, d est divisible par un entier p avec 1 p d.
p divise d et d divise n donc p divise n. p est donc un diviseur de n strictement compris entre 1 et d, ce qui contredit la définition de d (plus petit diviseur de n strictement supérieur à 1).
d est donc un nombre premier.
Ainsi, tout nombre entier naturel n, supérieur ou égal à 2, admet au moins un diviseur premier, son plus petit diviseur d dans autre que 1
