METHODE D’EULER ET FONCTION EXPONENTIELLE.
Le but de l’exercice est de construire une approximation de la courbe de la fonction exponentielle sur l’intervalle [ 1 ; 1] en utilisant la définition de cette fonction :
La fonction exponentielle, notée ici f, est l’unique fonction dérivable sur Ë telle que f(0)=1 et f ′=f.
A. "A la main".
1. Dans un repère (unité 1cm ou 1 carreau pour 0,25), placer le point A0 de la courbe de f d’abscisse 0.
2. Déterminer une équation de la tangente T1 à la courbe de f en A0 et tracer cette tangente pour x compris entre 0 et 0,5. On note A1 le point de T1 d’abscisse 0,5.
3. On considère que la courbe de f est très proche de cette tangente lorsque x est "proche" de 0.
En déduire une approximation de f(0,5).
4. En supposant que A1 est sur la courbe de f, déterminer équation de la tangente T2 à la courbe de f au point d’abscisse 0,5.
Tracer T2 pour x compris entre 0,5 et 1. On note A2 le point de T2 d’abscisse 1.
Donner une approximation de f(1).
B. Avec un algorithme.
On note Cf la courbe de f.
1. Soit a un réel. Donner une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
En déduire une approximation de f(a+h) pour h proche de 0 et non nul.
2. En prenant h=0,5, retrouver alors une approximation de f(0,5) puis de f(1).
3. Donner de même une approximation de f(0,1) ; de f(0,2) et de f(0,1).
4. On donne l’algorithme suivant :
a prend la valeur 0 f prend la valeur 1 Demander h
Pour i allant de 1 à 1
| |
ha prend la valeur ...
f prend la valeur ...
afficher "l’im age de a est environ f"
Fin Pour
a. Compléter l’algorithme pour qu’il calcule les approximations successives de f(h) ; f(2h) ; f(3h)...
b. Pourquoi a-t-on i allant de 1 à 1
| |
h " ?c. On programme l’algorithme sous Algobox. Compléter les tableaux suivants : Pour h = 0,5 :
x 0 0,5 1
approximation de f(x)
Pour h = 0,1 :
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
approximation de f(x)
Pour h = 0,5 :
x 0 0,5 1 approximation de f(x)
C. Courbes obtenues.
On a obtenu les résultats suivants (on ne fait pas apparaître ici les valeurs obtenues pour 0,1 ; 0,2 ...) : Approximations obtenues avec les différents pas :
pas de 0,5 pas de 0,25 pas de 0,1 pas de 0,05
x Approx de f(x) Approx de f(x) Approx de f(x) Approx de f(x) exp(x)
1 0,250 0,316 0,349 0,358 0,368
0,5 0,500 0,563 0,590 0,599 0,607
0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,5 1,500 1,563 1,611 1,629 1,649
1 2,250 2,441 2,594 2,653 2,718
Graphiques obtenus avec les différents pas.
La courbe en trait continu est celle de la fonction exponentielle.
pas de 0,5 pas de 0,25
pas de 0,1 pas de 0,05
Commenter les résultats obtenus.
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000
-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Approxim ation
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000
-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Approxim ation
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000
-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Approxim ation
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000
-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Approxim ation
