´Episode III : Fonctions de plusieurs variables

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2012/2013

´Episode III : Fonctions de plusieurs variables

E

1

Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres des fonctions suivantes : 1. f1(x, y) = 4x²y−3xy³+ 6x

2. f₂(x, y) =xy 3. f₃(x, y) =x(x+y) 4. f₄(x, y) = (x²+y²)¹²

5. f5(x, y, z) =ze^2x+3y 6. f6(x, y, z) =x+yz

x−y 7. f7(x, y, z) = 3x²y−7x√

y+z² 8. f8(x, y, z) = (7x³+y³)¹³ −xyz

E

2

Soitfla fonction d´efinie surD=R⁺×R⁺par

f(x, y) =x^1/3√ y

1. Sur quel ensembleD⁰,f est-elle de classeC¹?

2. Donner une ´equation du plan tangent `a la surface repr´esentantf au point de coordonn´ees(1,1,1).

En d´eduire une valeur approch´ee def(1,02; 0,97). 3. Tracer les courbes de niveau 0, 1 et 2 def.

E

3

Une fonction de production est donn´ee, pourxetystrictement positifs, par :

f(x, y) = 4x^1/5y^3/5

A partir d’une valeur(x0, y0), on augmentexde 5 % et on diminueyde 10 %.

Quelle est la variation en pourcentage def?

E

4

SoitQ(L, K) = (4L²+ 3K²)¹⁴ une fonction de production o `uLetKd´esignent respectivement les quantit´es de travail et capital n´ecessaires `a la production d’un bienZ(on supposeL >0etK >0).

1. Calculer le niveau de production en(1; 2)puis donner une ´equation de cette isoquante sous la forme K=f(L).

2. Calculer les productivit´es marginales du travail et du capital.

Quelle est la valeur du TMST en un point(L, K)? 3. Calculer les productivit´es marginales en(1; 2). 4. En d´eduire une valeur approch´ee deQ(1,02; 1,96).

5. Comment doit-on faire varierKautour de 2 pour que la production reste constante alors queLpasse de 1

`a 1,04 ?

6. Calculer les ´elasticit´es deQpar rapport `aLet `aKen(1; 2).

Si, autour de(1; 2),Laugmente de 2 % etKdiminue de 6 %, comment varieQ?

E

5

Une entreprise utilisexheures de travail non qualifi´e etyheures de travail qualifi´e pour produire chaque jour une quantit´eQ(x, y) = 60x^2/3y^1/3d’ouputs. En p´eriode normale, elle emploie 64h de travail non qualifi´e et 27h de travail qualifi´e.

1. Quelle est sa production habituelle ?

2. Dans quelle direction (exprim´ee `a l’aide d’un vecteur unitaire) doit-elle changer(64,27)de fac¸on `a voir la quantit´e produite augmenter le plus vite possible ?

3. L’entreprise envisage d’utiliser 1h30 de plus de main d’oeuvre non qualifi´ee.

Comment doit-elle faire varier le nombre d’heures de main d’oeuvre qualifi´ee pour conserver le mˆeme niveau de production ?

E

6

On consid`ere une fonction de Cobb-Douglas de deux variables d´efinie par

f(x, y) =x^αy^β pourx >0ety >0

1. Calculer la matrice hessienne defau point(a, b).On la noteHf(a, b). 2. Montrer que la forme quadratique d´efinie parH_f(a, b)est :

q(x, y) =a^α−2b^β−2

α(α−1)b²x²+β(β−1)a²y²+ 2αβabxy

3. En d´eduire quef est strictement concave sur R^∗+

2

si et seulement si :







α >0 β >0 α+β <1

.

R

Une fonction de production de Cobb-Douglas d´efinie sur R^∗+

²

est concave si et seulement si ses rendements d’´echelle sont constants ou d´ecroissants.

E

7

Soitfla fonction la fonction de production d´efinie surD⁰ = R^∗+

² par

f(x, y) =x^1/3√ y

1. Montrer quefest homog`ene et d´eterminer son degr´e d’homog´en´eit´e.

2. Si on double les quantit´esxety, comment varie la production def? 3. Montrer quefv´erifie l’´egalit´e d’Euler.

4. Calculer la hessienne def au point(a, b)∈D⁰. 5. Montrer que la fonctionfest concave surD⁰.