´Episode II : Fonctions de plusieurs variables

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2017/2018

´Episode II : Fonctions de plusieurs variables

Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres des fonctions suivantes : 1. 4x²y−3xy³+ 6x

2. xy 3. x(x+y) 4. (x²+y²)¹²

5. e^2x+3y 6. x+y

x−y 7. 3x²y−7x√

y 8. (7x³+y³)¹³

E

1

Soitf la fonction d´efinie surD=R⁺×R⁺par

f(x, y) =x^1/3√ y

1. Sur quel ensembleD⁰,f est-elle de classeC¹?

2. Donner une ´equation du plan tangent `a la surface repr´esentantf au point de coordonn´ees(1,1,1). En d´eduire une valeur approch´ee def(1,03; 0,98).

3. Tracer les courbes de niveau 0, 1 et 2 def.

E

2

SoitQ(L, K) = 4L^1/4K^3/4la fonction de production de Cobb-Douglas o `uLetKd´esignent respectivement les quantit´es de travail et capital n´ecessaires `a la production d’un bienZ.

1. Calculer le niveau de production en(10000; 625).

2. CalculerQ(10010; 625)puisQ(10000; 623). 3. CalculerQ(10010; 623).

E

3

La technologie de production d’une firme est d´ecrite par la fonction de Cobb-Douglas suivante y= 10x^1/3₁ x^1/2₂ x^1/6₃ . On suppose qu’elle utilise la combinaison de facteurs suivante(27; 16; 64).

1. Quelle est la quantit´e produite ?

2. Utilisez les ´el´ements diff´erentiels pour donner une valeur approch´ee de la nouvelle quantit´e produite lorsquex1devient ´egal `a27,27;x2devient ´egal `a15,8etx3demeure inchang´e.

3. Avec une calculatrice, comparez le r´esultat obtenu en 2. avec la ”vraie” quantit´e produite.

E

4

Une fonction de productionP est donn´ee, pourxetystrictement positifs, par :

P(x, y) = 4x^1/5y^3/5

A partir d’une valeur` (x0, y0), on augmentexde 5 % et on diminueyde 10 %.

Quelle est la variation en pourcentage deP?

E

5

SoitQ(L, K) = (4L²+ 3K²)¹⁴ une fonction de production o `uLetKd´esignent respectivement les quantit´es de travail et capital n´ecessaires `a la production d’un bienZ(on supposeL >0etK >0).

1. Calculer le niveau de production en(1; 2)puis donner une ´equation de cette isoquante sous la forme K=f(L).

2. Calculer les productivit´es marginales du travail et du capital.

Quelle est la valeur du TMST en un point(L, K)? 3. Calculer les productivit´es marginales en(1; 2). 4. En d´eduire une valeur approch´ee deQ(1,02; 1,96).

5. Comment doit-on faire varierKautour de 2 pour que la production reste constante alors queLpasse de 1 `a 1,04 ?

6. Calculer les ´elasticit´es deQpar rapport `aLet `aKen(1; 2).

Si, autour de(1; 2),Laugmente de 2 % etKdiminue de 6 %, comment varieQ?

E

6

On consid`ere une fonction de Cobb-Douglas de deux variables d´efinie par

f(x, y) =x^αy^β pourx >0ety >0

1. Calculer la matrice hessienne defau point(a, b).On la noteH_f(a, b). 2. Montrer que la forme quadratique d´efinie parHf(a, b)est :

q(x, y) =a^α−2b^β−2

α(α−1)b²x²+β(β−1)a²y²+ 2αβabxy

3. En d´eduire quef est concave sur R^∗+

2

si







α >0 β >0 α+β <1

.

E

7

Une fonction de production de Cobb-Douglas d´efinie sur R^∗+

²

est concave si et seulement si ses rendements d’´echelle sont constants ou d´ecroissants.

R

Soitf la fonction la fonction de production d´efinie surD⁰= R^∗+

2

par

f(x, y) =x^1/3√ y

1. Montrer quef est homog`ene et d´eterminer son degr´e d’homog´en´eit´e.

2. Si on double les quantit´esxety, comment varie la production def? 3. Montrer quef v´erifie l’´egalit´e d’Euler.

4. Calculer la hessienne def au point(a, b)∈D⁰. 5. Montrer que la fonctionfest concave surD⁰.

E

8

Pour les fonctions suivantes, donner les points critiques, et, quand c’est possible, leur nature (max local, min local, point selle).

1. f(x, y) =x⁴+x²−6xy+ 3y²

2. g(x, y) =x²−6xy+ 2y²+ 10x+ 2y−5

3. h(x, y) =xy²+x³y−xy 4. k(x, y) = 3x⁴+ 3x²y−y³

E

9

Soitl(x, y, z) =x²+ 6xy+y²−3yz+ 4z²−10x−5y−21z.

1. Montrer que(2; 1; 3)est l’unique point critique del.

2. Montrer que la forme quadratique d´efinie parHl(2; 1; 3)est :

q(x, y, z) = 2x²+ 2y²+ 8z²+ 12xy−6yz

3. Montrer queq(x, y, z) = 2(x+ 3y)²−16(y+₁₆³z)²+¹³⁷₁₆z². 4. En d´eduire la nature du point critique.

5. Retrouver ce r´esultat en utilisant la m´ethode des mineurs diagonaux principaux.

E

10

Une firme fabrique un produit qu’elle vend sur deux march´es diff´erents. Soitq₁(resp.q₂) le nombre de produits vendus sur le premier (resp. second) march´e. On suppose que les prix du produit sont donn´es par les fonctions p₁= 60−2q₁(pour le premier march´e) etp₂= 80−4q₂(pour le second march´e). Le co ˆut de production est donn´e par la fonctionC= 50 + 40q, o `uqest le nombre total de produits vendus.

Calculerq₁etq₂pour que le b´en´efice soit maximum.

E

11

On montrera que le b´en´efice est donn´e par la fonctionB(q₁, q₂) =−2q₁²−4q²₂+ 20q₁+ 40q₂−50.

I

On consid`ere la fonctionf d´efinie et de classeC^∞surR²par :

f(x, y) =x²+ 2y²+xy+x

Montrer quef admet un minimum global surR²en un point que l’on d´eterminera.

E

12

On consid`ere la fonctionf d´efinie et de classeC^∞surR³par : f(x, y, z) =z(e^x−1)−y². 1. Trouver les extrema locaux ´eventuels def.

2. D´eterminer la matrice hessienne def.

3. V´erifier que le point de coordonn´ees(0,0,0)est un point critique def. D´eterminer la matrice hessienne def au point(0,0,0).

4. En utilisant la m´ethode des mineurs principaux, en d´eduire la nature du point critique(0,0,0).

5. Retrouver la nature du point critique(0,0,0)en ´etudiant le signe des valeurs propres deHf(0,0,0).

E

13

On consid`ere la fonctionf d´efinie et de classeC^∞surR³par :

f(x, y, z) =−x³+2 3y³−3

2z²+ 3xz−2y−3 1. Trouver les extrema locaux ´eventuels def.

2. D´eterminer la matrice hessienne def.

3. En utilisant la m´ethode des mineurs principaux, en d´eduire la nature des points critiques de coordonn´ees (0,−1,0)et(0,1,0).

4. En ´etudiant le signe des valeurs propres de la matrice hessienne def aux points(1,−1,1)et(1,1,1), d´eterminer la nature de ces points critiques.

E

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On consid`ere la fonctionf d´efinie et de classeC^∞surR³par :

f(x, y, z) =x²−2xy+ 2y²+ 2y+z²−4z+ 5

1. Trouver les extrema locaux ´eventuels def. 2. D´eterminer la matrice hessienne def.

3. En utilisant la m´ethode des mineurs diagonaux principaux, montrer quefest convexe surR³. En d´eduire la nature du ou des point(s) critique(s) def.

4. Retrouver la nature du ou des point(s) critique(s) def en montrant que pour tout (x, y, z)∈R³, f(x, y, z) = (x−y)²+ (y+ 1)²+ (z−2)².

E

15