2 Coût d’une firme utilisant plusieurs inputs

Université de TOURS - L1 Gestion Cours Outils mathématiques d’aide à la décision

Corrigé du TD n^◦ 7

Optimisation avec contrainte : l’examen des conditions secondes Automne 2020

Pour ce TD cf. section II - A du chapitre 3 intitulée « Quelques conditions suffisantes dans le cas d’une contrainte ». On considère le problèmemax_x,y f(x, y)s.c.g(x, y)≥0avec f_x>0 etf_y>0. et avec{g(x, y)≥0} borné. On s’intéressera dans ce chapitre aux points stationnaires satisfaisant la contrainte, et on recherche des conditions qui permettent de conclure que ce point est bien une solution du programme.

Etant donné(x, y)un point stationnaire du programmemaxx,y f(x, y)s.c.g(x, y)≥0qui sature la contrainte (g(x, y)>0), alors sif etgsont concaves, c’est une solution du pro- gramme.

Plus précisément, étant donnéfetgconcaves, alors,(x^∗, y^∗)intérieur au domaine maximise f(x, y) s.c. g(x, y) ≥ 0 si et seulement si (x^∗, y^∗)est stationnaire.

Etant donné (x, y) un point stationnaire du programme maxx,y f(x, y)s.c.g(x, y) ≥ 0 qui sature la contrainte (g(x, y)>0), alors sif est quasiconcave et si l’ensemble {g(x, y) ≥ 0} est convexe, c’est une solution du pro- gramme.

Plus précisément, étant donnéfquasiconcave, si l’ensemble g(x, y)≥0est convexe, alors(x^∗, y^∗)intérieur au domaine maximisef(x, y)s.c.g(x, y) = 0si et seulement si(x^∗, y^∗) est stationnaire.

Etant donné deux fonctionsf etg quasi-concaves, on dit que (x^∗, y^∗)maximisef(x, y)s.c.g(x, y)≥0si et seulement si il existe un vecteur(px, py)tels que

(x^∗, y^∗)maximisepxx+pyysous la contrainteg(x, y)≥0 (x^∗, y^∗)minimisepxx+pyysous la contraintef(x, y)≥f(x^∗, y^∗)

Dans tous les autres cas, on doit raisonner « à la main » pour comprendre pourquoi la solution des FOCS est bien ou non la solution du programme étudié.

1 Conditions secondes

1) Analyser la solution dans les programmes suivants (On supposera U₁ >0 et U₂ >0, et on pourra regarder le cas particulier U = ln(x1) + 3 ln(x2).

A=M ax_x1,x2 U(x₁, x₂) s.c. p₁x₁+p₂x₂≤1

B=M ax_p,q pq−¹₄q² s.c. q≤100−p

C=M ax_q,c pq−c s.c. c≥ ¹₄q² On reprend dans la suite beaucoup des éléments qui ont déjà été étudiés dans les TD précédents

Dans le premier cas, la condition première s’écrit U1/(−p1) = U2/(−p2), et on sait que la contrainte est saturée.

Dans le cas particulierU = ln(x1) + 3 ln(x2), la FOC s’écrit1/(p1x1) = 3/(p2x2)soit encorep2x2= 3p1x1, ce qui, sachant que la contrainte est saturée conduit au point stationnaire

x1= R 4p1

x2= 3R 4p2

Quelle condition seconde peut-on utiliser ? Ici, on reconnaît le programme classique du consommateur, où on avait utilisé que les courbes d’indifférence de la fonction d’utilité étaient convexes (c-a-d U quasi-concave) et la contrainte, un triangle délimité par la droite budgétaire, un ensemble convexe. SI on redit cela, on est bon. La solution précédente est vraiment la solution du problème considéré.

Ici il y a un critère plus fort que l’on peut utiliser pour conclure. La fonction objectif U = ln(x1) + 3 ln(x2) est concave. En effet, U1 = 1/x1, U11=−1/x²₁ <0, U2= 3/x2, U22=−3/x²₂<0, U12= 0 et ∆>0. Par ailleurs la fonction g=R−p1x1−p2x2 est linéaire, donc, concave. C’est le premier critère qui s’applique et qui permet de dire que le point x1= R

4p1

x2= 3R 4p2

est solution du programme considéré.

Dans le deuxième cas, il faut réécrire la contrainte 100−p−q≥0. La condition première est alors ₋₁^q =^p−(q/2)₋₁ , cad p= 3q/2. En dehors de q= 0, on remarque que f_p=q >0, le théorème s’applique donc, la contrainte est saturée la condition première p= 3q/2 et la contrainte saturée p+q= 100 conduisent à p= 60; q= 40.

La contrainte est linéaire. AUcune difficulté de ce côté là. Il faut donc s’atteler à montrer que la fonction objectif est quasi-concave, c-a-d que pour tout paramètreπ, l’ensemble {pq−¹₄q²≥π} est convexe. On peut déjà tenter une

représentation graphique dans l’espace q, p

q p

Objectif grandit avec p, d’où la partie hachurée

EN direct, l’ensemble p≥ π

q +¹₄q est convexe, si la fonction π

q +¹₄q est convexe, ce qui se démontre aisément en calculant la dérivée seconde.

Dans le troisième cas, il faut réécrire la contrainte c− ¹₄q² ≥0 qui est saturée, et la FOC s’écti p/(−0,5q) = −1/1, soit p= ¹₂q. Le point stationnaire est donc

q= 2p c=p² Pour rappel, dans ce troisième problème, p est un paramètre

L’ensemble {c≥a+¹₄q²} est comme pour le cas précédent convexe. Par ailleurs la fonctin objectif est linéaire (en q et en c), donc quasi-concave. on en déduit que le deuxième critère des conditions secondes est satisfait, et que q= 2p c=p² est donc la solution.

2) Dans les programmes suivants, la contrainte est écrite avec égalité. Après avoir transformé chaque programme correspondants en un programme avec inégalité, analyser la solution du programme.

D=M axx1,x2>0

1 x1

+ 1 x1

s.c. x1x2= 2

E=M axq,c q(p−c) s.c. q= 100−p

F=M axx₁,x₂,x₃ x1x2x3

s.c. x1+ 2x2+ 3x3= 6

G=M axx ln(x) +e^x s.c. x= 1

Programme D

Comme on l’avait vu au précédent TD le programme diverge. Il n’y a donc pas de conditions secondes à appliquer

Programme E

La solution de ce programme est triviale. Il n’y a pas à le transformer. Déjà on trouve c = 0. Puis, comme c’est suggéré dans le coeur du programme : q = 100−p, où p est un paramètre. Notez, que si on avait étudié méthodiquement le programme, pour utiliser les conditions secondes, il suffit de remarquer que la contrainte et l’objectif sont deux fonctions linéaires.

Programme F

On a déjà vu lors du précédent TD qu’il n’y a qu’un seul point stationnaire dans ce programme, le point : x1= 2, x2 = 1 et x3 = ²₃. Sachant que la contrainte est linéaire, pour démontrer que ce point est bien la solution du programme, il suffit de démontre que la fonction objectif x₁x₂x₃ est bien quasi-concave.

Prouver directement que l’ensemble{x₁x₂x₃≥a}est convexe est assez complexe. Par ailleurs, La fonctionf =x₁x₂x₃ n’est pas concave. Mais une de ses transformée monotone, quand on passe au logarithme, l’est. Aussi, l’ensemble {ln(x1x2x3)≥ln(a)} est convexe, ce qui est le même ensemble qeu l’ensemble {x1x2x3≥a}. Il reste donc à montrer que f = ln(x1x2x3)est bien une fonction concave. Or c’est la somme de trois fonctions concaves, donc une fonction concave : f = ln(x1) + ln(x2) + ln(x3).

3) Montrer que si une firme est en situation de monopole et produit deux biens, dont la demande pour chacun des biens est totalement indépendante de l’autre bien, et dont les coûts de production indépendants, alors, elle se comporte en monopole pour

chacun de ces biens, en résolvant 2 programmes. On noteraD1(p1)etD2(p2)les demandes des biens 1 et 2, et on écrira un gros programme d’optimisation, équivalent à deux programmes d’optimisations séparés pour chacun des biens. Interpréter.

Dans le monde réel les firmes produisent et vendent beaucoup de produits. Cependant, quand la demande et le coût de chacun des biens manufacturés sont indépendants, le programme d’optimisation de la firme est comme si la firme se comportait comme monopole sur chacun des segments.

Le profit de la firme qui produit ces deux biens, s’écrit

π= p1q₁−C₁(q₁))

+ p2q₂−C₂(q₂)) ,

et, sous l’hypothèse qu’elle est en monopole et qu’elle vend tout ce qu’elle produit

π= p₁D₁(p₁)−C₁(D₁(p₁))

+ p₂D₂(p₂)−C₂(D₂(p₂)) ,

la conduite de la firme est donc de choisir p1, q1 et p2, q2 solution du programme maxp₁,q₁p₂,q₂ p1q1−C1(q1))

+ p2q2−C2(q2)) , s.c. q1≤D1(p1)

q₂≤D₂(p₂)

(1)

Ce que l’on demande dans cette de justifier est que la firme est donc de choisir p1, q1 d’une part et p2, q2 d’autre part qui sont solutions des programmes

max_p1,q1 p₁q₁−C₁(q₁)) s.c. q₁≤D₁(p₁)

et max_p2,q2 p₂q₂−C₂(q₂)) , s.c. q₂≤D₂(p₂)

(2)

Il est immédiat que toute solution de (??) est une solution de (??). Une firme qui produit les deux biens ne saurait mieux faire que l’addition du profit du monopole sur chacun des biens.

En retour, la solution de (??) est donc la solution de (??)

2 Coût d’une firme utilisant plusieurs inputs

On considère dans une première partie une firme qui produit avec la technologie y =√ K√

L. On supposant que le coût du travail estw, que le coût du capital est k. On rappelle que le Taux Marginal de Substitution Technique de capital en travail qu’on noteT M ST(y)égale ∂y

∂K/∂y

∂L (rapport qu’on écrit encoreyK/yL).

1) Définir et calculer la fonction de coût C(y). On vérifiera en particulier les conditions secondes.

Quand une firme utilise une technologie K, L, le coût qu’elle subit est le coût de ses facteurs de production C(K, L) =kK+wL,

C’est une fonction de K etL. La fonction de coût C(y) résulte de décisions de gestion, qunad à la production de y : quand on veut produire y, quelle est la meilleure combinaison des facteurs de production à utiliser ? Il s’agit de produire au coût le plus bas possible. Ainsi, qund elle produit y, la firme doit auparavant résoudre le programme

minK,L kK+wL s.c.

√ K

√ L≥y Programme que l’on peut écrire

maxK,L −kK−wL s.c.

√ K

√ L≥y

La contrainte est saturée : on ne choisirait pas de produire plus que y pour minimiser le coûts ! Pour calculer les FOC, on calcule les dérivées premières de f =−kK−wL et deg=√

K√

L−y par rapport à K et L :

∂f

∂K =−k (3)

∂f

∂L =−w (4)

∂g

∂K =

√L 2√

K (5)

∂g

∂L =

√ K 2√

L (6)

Les conditions premières fK/gK=fL/gL s’écrivent

−k2√

√K

L =−w2√

√ L K, condition qui se simplifie en s’écrivant de manière équivalente :

kK=wL

La meilleure combinaison de facteur est la solution du système







√K√

L =y kK =wL

⇐⇒







KL =y² L =_w^kK

⇐⇒







k

wK² =y² L =_w^kK

⇐⇒







K =ypw k

L =y qk

w

Le coût optimal est donc :

C(y) =ky rw

k +wy rk

w = 2y√ k√

w

A propos des conditions secondes, il est immédiat que la fonction objectif étant linéaire, elle est quasi-concave.

On devrait pouvoir vérifier que la contrainte définit un ensemble de production convexe.

Ensemble de production convexe, Il faut démontrer que dans R² l’ensemble {(K, L)/√ K√

L≥y} est convexe, cad que l’ensemble {(K, L)/KL ≥ y²} est convexe. Cela ressemble à la question 3 de la partie précédente. On peut transposer l’argument. Je propose ici une autre manière de le vérifier. Il nous faut vérifier que si (K₁, L₁) et (K2, L2)appartiennent à cet ensemble alors(αK1+ (1−α)K2, αL1+ (1−α)L2)appartiennent à cet ensemble. cad que (αK1+ (1−α)K2)∗(αL1+ (1−α)L2)≥y². Or :

(αK1+ (1−α)K2)∗(αL1+ (1−α)L2) =α²K1L1+ (1−α)²K2L2+α(1−α) [K1L2+K2L1] (7)

≥α²y+ (1−α)²y+α(1−α) L₂

L1

+L₁ L2

y (8)

≥α²y+ (1−α)²y+ 2α(1−α)y (9)

=y (10)

En effeet, l’inégalité (??) s’obtient en utilisant successivement les inéglités K₁L₁ ≥ y, K₂L₂ ≥ y, K₁ ≥ y/L₁ et K2≥y/L2.

L’inégalité (??) s’obtient en utilisant le fait bien connu que pour tout réel positif la somme de ce réel positif et de son inverse (ici L2

L₁ et L1

L₂) est toujours supérieure ou égale à 2.

L’inégalité (??) s’obtient en utilisant l’identité remarquable bien connue α²+ (1−α)²+ 2α(1−α) = 1 CQFD

2) Définir et calculer le Taux Marginal de Substitution Technique de capital en travail T M ST(y)

Quand une firme a pour objectif de produire y et que ses facteurs de production sont substituables, elle doit recherche avant toute chose quelle est la meilleure combinaison des facteurs de production à utiliser. Il s’agit de produire au coût le plus bas possible. Ainsi, quand elle produit y, la firme doit auparavant résoudre le programme

minK,L kK+wL s.c.

√ K

√ L≥y

Le TMST demandé est alors celui que l’on calcule avec ces facteurs de production optimaux (calculés à la question précédente).

Le TMST de capital en travail est le rapport

T M ST =

∂y

∂K

∂y

∂L .

Quand la firme utilise la technologie y=√ K√

L, on calcue donc le numérateur, le dénominateur, puis le TMST

∂y

∂K =

√L 2√

K

∂y

∂L =

√K 2√

L T M ST = L

K

Lorsque







K =ypw k

L =yq

k w

le TMST de capital en travail vaut

T M ST =w/k,

ce TMST est indépendant du niveau de productiony. Plus le capital est cher, plus vaudra cher, en unité de travail 1 unité de capital.

On considère dans une seconde partie une firme qui produit avec la technologiey=K^1/3L^1/3T^1/3,T désignant dans une économie agricole la terre. On notera` le coût de la terre (`pour loyer).

3) Calculer la fonction de coût C(y). On vérifiera si nécessaire les conditions secondes, en admettant pour toutα∈[0,1], x∈R+

queαx+ (1−α)1 x ≥2p

α(1−α), et que pour toutα∈[0,1]α³+ (1−α)³+ 6(α)^3/2(1−α)^3/2≥1.

Le programme ordinaire de gestion quand une firme utilise une technologie K, L, T est : min

K,L,T kK+wL+`T s.c. K^1/3L^1/3T^1/3≥y Programme que l’on peut écrire

max

K,L −kK−wL−`T s.c. K^1/3L^1/3T^1/3≥y

La contrainte est saturée : on ne choisirait pas de produire plus que y pour minimiser les coûts !

Pour calculer les FOC, on calcule les dérivées premières def =−kK−wL−`T et deg=K^1/3L^1/3T^1/3−y par rapport à K etL :

∂f

∂K =−k (11)

∂f

∂L =−w (12)

∂f

∂L =−` (13)

∂g

∂K = 1

3K^−2/3L^1/3T^1/3 (14)

∂g

∂L = 1

3K^1/3L^−2/3T^1/3 (15)

∂g

∂T = 1

3K^1/3L^1/3T^−2/3 (16)

Les conditions premières f_K/g_K=f_L/g_L=f_T/g_T s’écrivent

3kK^2/3L^−1/3T^−1/3= 3wK^−1/3L^2/3T^−1/3= 3`K^−1/3L^−1/3T^2/3 conditions qui en fait sont deux conditions que l’on peut écrire

3kK^2/3L^−1/3T^−1/3= 3wK^−1/3L^2/3T^−1/33kK^2/3L^−1/3T^−1/3 = 3`K^−1/3L^−1/3T^2/3 ce qui se simplifie en s’écrivant de manière équivalente :

kK=wL kK=`T ou encore

L= k wK T =k

`K

La meilleure combinaison de facteur est la solution du système















K^1/3L^1/3T^1/3 =y

L = k

wK

T =k

`K La première équation s’écrit, après substitution

K k

w k

` ^1/3

=y⇐⇒K=y w`

k^{2 1/3}

On trouve donc les facteurs optimaux de production

K=y w`

k^{2 1/3}

L=y k`

w^{2 1/3}

T=y kw

`^{2 1/3}

Le coût optimal est donc :

C(y) =y k w`

k² 1/3

+w k`

w² 1/3

+` kw

`² 1/3!

= 3y kw`1/3

A propos des conditions secondes, il est immédiat que la fonction objectif étant linéaire, elle est quasi-concave.

On devrait pouvoir vérifier que la contrainte définit un ensemble de production convexe.

Ensemble de production convexe, Il faut démontrer que dansR³l’ensemble{(K, L, T)/K^1/3L^1/3T^1/3≥y}est convexe, cad que l’ensemble{(K, L, T)/KLT ≥y³}est convexe. Cela ressemble à la question 2 précédente. On peut transposer l’argument. Il nous faut vérifier que si (K1, L1, T1) et (K2, L2, T2) appartiennent à cet ensemble alors (αK1+ (1− α)K2, αL1+ (1−α)L2, αT1+ (1−α)T2) appartient à cet ensemble. cad que(αK1+ (1−α)K2)∗(αL1+ (1−α)L2)∗(αT1+ (1−α)T₂)≥y³. Notons P rod= (αK₁+ (1−α)K₂)∗(αL₁+ (1−α)L₂)∗(αT₁+ (1−α)T₂)ce produit. On a :

P rod=α³K₁L₁T₁+ (1−α)³K₂L₂T₂+α²(1−α) [K₁L₁T₂+K₁L₂T₁+K₂L₁T₁] +α(1−α)²[K₁L₂T₂+K₂L₁T₂+K₂L₂T₁]

≥α³y+ (1−α)³y+α²(1−α)y[T2

T1

+L2

L1

+K2

K1

] +α(1−α)²[K1

K2

+L1

L2

+T1

T2

+ (17)

≥α³y+ (1−α)³y+α(1−α)y

αL2

L1

+ (1−α)L1

L2

+

αK2

K1

+ (1−α)K1

K2

+

αT2

T1

+ (1−α)T1

T2

(18)

≥α³y+ (1−α)³y+α(1−α)yh 2p

α(1−α) + 2p

α(1−α) + 2p

α(1−α)i

(19)

≥y

α³+ (1−α)³+ 6(α)^3/2(1−α)^3/2

(20)

≥y (21)

En effet, l’inégalité (??) s’obtient en utilisant successivement les inéglités K1L1T1 ≥y, K2L2T2 ≥y, K1L1 ≥y/T1, K1T1≥y/L1, L1T1≥y/K1, puis L2T2≥y/K2,K2T2≥y/L2 etK2L2≥y/T2.

L’inégalité (??) s’obtient en regroupant les termes deux par deux.

L’inégalité (??) s’obtient en utilisant le fait que pour tout x réel, αx+ (1−α)1 x ≥2p

α(1−α), reprise de l’énoncé, appliqué successivement à x=L₂/L₁, à x=K₂/K₁ et à x=T₂/T₁

L’inégalité (??) est une simplification,

L’inégalité (??) est l’inégalité admise dans l’énoncé : α³+ (1−α)³+ 6(α)^3/2(1−α)^3/2≥1.

CQFD

Fin du corrigé du TD 7