Géométrie, points entiers et courbes entières

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Géométrie, points entiers et courbes entières

Pascal Autissier

To cite this version:

Pascal Autissier. Géométrie, points entiers et courbes entières. Annales Scientifiques de l’École Nor- male Supérieure, Société mathématique de France, 2009, 42 (2), pp.221-239. �hal-00174050�

hal-00174050, version 1 - 21 Sep 2007

G´eom´etrie, points entiers et courbes enti`eres

Pascal Autissier 21 septembre 2007

Abstract :LetX be a projective variety over a number fieldK (resp. overC). LetH be the sum of “sufficiently many positive divisors” on X. We show that any set of quasi-integral points (resp. any integral curve) in X−H is not Zariski dense.

2000 Mathematics Subject Classification :14G25, 11J97, 11G35.

1 Introduction

Soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K. On note O_K;S l’anneau des S-entiers de K. On s’int´eresse dans cet article aux solutions dans O^r_K;S de syst`emes d’´equations du type

∀i∈ {1;· · ·;n} F_i(x1;· · ·;x_r) = 0 , (∗)

o`u les Fi sont des polynˆomes `a r variables et `a coefficients dansOK;S. Pour formaliser cette

´etude, on utilise le langage de la g´eom´etrie alg´ebrique :

D´esignons par Y la “vari´et´e alg´ebrique” sur K d´efinie par F1 = 0,· · · , Fn = 0. Tout ensemble de solutions de (∗) dansO^r_K;S d´efinit alors un ensemble (de points)S-entier sur Y. Le probl`eme est de donner des conditions g´eom´etriques suffisantes surY pour que tout ensemble S-entier soit non Zariski-dense dansY.

Dans la suite, on se donneY sous la formeY =X−D, o`u X est une vari´et´e projective sur K de dimensiond≥1 et D un diviseur effectif surX. L’esprit de la conjecture de Lang et Vojta (cf conjecture 4.2 de [11] p. 223) est qu’une telle condition suffisante s’exprime en termes de “positivit´e” de D :

Conjecture (Lang, Vojta) :SoitXune vari´et´e projective lisse surKde diviseur canon- iqueKX. Soit D un diviseur effectif surX, `a croisements normaux. Posons Y =X−D. On supposeKX+Dgros (par exemple ample) surX. Alors tout ensembleS-entier surY est non Zariski-dense dansY.

Les th´eor`emes de Siegel et de Faltings [7] montrent cette conjecture lorsque X est une courbe. Plus g´en´eralement, cet ´enonc´e est connu de Faltings [8] lorsqueX est une sous-vari´et´e de vari´et´e ab´elienne. Notons cependant que la conjecture est encore largement ouverte : le

cas o`uX =P²_K n’est par exemple pas connu.

Dans cet article, on d´emontre des cas particuliers de cette conjecture, lorsqueD a “suff- isamment” de composantes irr´eductibles. Plus pr´ecis´ement, on prouve le r´esultat suivant (cf section 2 pour les d´efinitions) :

Th´eor`eme 1.1 : Soit X une vari´et´e projective sur K de dimension d ≥ 2. Soient D1;· · ·;D_dδ des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux

`

a deux (avec δ ≥2). On suppose que toute intersection de δ+ 1quelconques d’entre eux est vide. Posons Y =X−D1∪ · · · ∪D_dδ. Alors Y est arithm´etiquement quasi-hyperbolique. En particulier, tout ensemble E ⊂Y(K) S-entier sur Y est non Zariski-dense dans Y.

Cet ´enonc´e am´eliore un r´esultat r´ecent de Levin (cf th´eor`eme 10.4A de [13]). En fait, Levin a besoin de 2jδ+ 1

2

kd+ 1 diviseurs au lieu dedδ.

On d´emontre en outre l’´enonc´e suivant (on prouve en fait un r´esultat plus g´en´eral) : Th´eor`eme 1.2 : Soit X une vari´et´e projective sur K de dimension d ≥ 2. Soient D1;· · ·;D_r des diviseurs effectifs amples sur X qui se coupent proprement (avec r ≥ 2d).

Posons L=

r

X

i=1

D_i et Y =X−D1∪ · · · ∪D_r. On suppose que le diviseur L−2dD_i est nef pour tout i∈ {1;· · ·;r}. Alors Y est arithm´etiquement quasi-hyperbolique.

L’hypoth`ese sur les L−2dDi est v´erifi´ee lorsque les Di vivent dans un cˆone “suffisam- ment ´etroit” du groupe de N´eron-Severi deX. L’int´erˆet de ce r´esultat r´eside dans le nombre (potentiellement lin´eaire en d) de diviseurs `a consid´erer.

Remarquons que les th´eor`emes 1.1 et 1.2 s’inscrivent bien dans le cadre de la conjecture de Lang et Vojta, puisque siXest lisse surK de diviseur canoniqueKX et lesD<sub>i</sub>sont amples sur X, alorsKX+D1+· · ·+Drest ample surXd`es quer≥d+2 (cfexemple 1.5.35 de [12] p. 87).

Les d´emonstrations reposent sur une extension (th´eor`eme 3.3) de travaux de Corvaja- Zannier [5] et de Levin [13], qui donne des conditions g´eom´etriques de non-Zariski-densit´e des points S-entiers, et sur un bon choix (th´eor`eme 4.4) de multiplicit´es associ´ees aux diviseurs D_i.

L’ingr´edient arithm´etique principal est la version de Vojta [18] du th´eor`eme du sous- espace de Schmidt [15] et Schlickewei [14] (c’est un ´enonc´e d’approximation diophantienne qui g´en´eralise le th´eor`eme de Roth).

Par ailleurs, Vojta [17] a d´evelopp´e un “dictionnaire” entre la g´eom´etrie diophantienne et la th´eorie de Nevanlinna : l’´etude des points S-entiers sur les vari´et´es sur K est mise en analogie avec l’´etude des courbes enti`eres sur les vari´et´es complexes.

Pour ´etayer ce dictionnaire, on montre aussi les ´enonc´es qui “correspondent” aux th´eor`emes 1.1 et 1.2 :

Th´eor`eme 1.3 : Soit X une vari´et´e complexe projective de dimension d ≥ 2. Soient D1;· · ·;D<sub>dδ</sub> des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux `a deux (avec δ ≥ 2). On suppose que toute intersection de δ + 1 quelconques d’entre eux est vide. Posons Y =X−D1∪ · · · ∪D_dδ. AlorsY est Brody quasi-hyperbolique. En particulier, toute courbe enti`ere f :C→Y(C) est d’image non Zariski-dense dans Y.

Th´eor`eme 1.4 : Soit X une vari´et´e complexe projective de dimension d ≥ 2. Soient D1;· · ·;D_r des diviseurs effectifs amples sur X qui se coupent proprement (avec r ≥ 2d).

Posons L=

r

X

i=1

Di et Y =X−D1∪ · · · ∪Dr. On suppose que le diviseur L−2dDi est nef pour tout i∈ {1;· · ·;r}. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

Je remercie Antoine Chambert-Loir et Christophe Mourougane pour de fructueuses dis- cussions.

2 D´ efinitions et ´ enonc´ es

2.1 G´eom´etrie

SoitK un corps de caract´eristique nulle.

Conventions :On appelle vari´et´e surK tout sch´ema quasi-projectif et g´eom´etriquement int`egre sur K. Le mot “diviseur” sous-entend “diviseur de Cartier”.

SoitX une vari´et´e projective surK de dimensiond≥1. LorsqueLest un diviseur surX tel que h⁰(X;L) ≥1, on d´esigne par B_L le lieu de base de Γ(X;L) et par Φ_L :X−B_L → P(Γ(X;L)) le morphisme d´efini par Γ(X;L). Pour tout diviseur effectif DsurX, on note 1_D la section globale deOX(D) qu’il d´efinit.

D´efinition :Un diviseurL sur X est dit libre lorsqueB_L est vide.

D´efinition :Un diviseurL sur X est dit groslorsque lim inf

n→+∞

1

n^dh⁰(X;nL)>0.

D´efinition : Soit L un diviseur gros sur X. On dit que L est presque ample lorsqu’il existe un entier n≥1 tel quenL soit libre.

D´efinition : Un R-diviseur L sur X est ditnef lorsque pour tout 1-cycle effectif C sur X, on a

L.C

≥0 (o`u L.C

d´esigne le nombre d’intersection).

D´efinition : Soient D1 et D2 deux diviseurs effectifs sur X. On dit que D1 et D2 se coupent proprement lorsqueOX(−D1−D2) =OX(−D1)∩ OX(−D2).

D´efinition : Plus g´en´eralement, soient D1;· · ·;D_r des diviseurs effectifs sur X. On dit queD1;· · ·;D_rse coupent proprementlorsque pour toute partieI non vide de{1;· · ·;r},

la section globale (1_Di)_i∈I de M

i∈I

OX(D_i) est r´eguli`ere (autrement dit, pour toutx ∈\

i∈I

D_i, en notantϕ_i une ´equation locale deD_ienx, les (ϕ_i)_i∈I forment une suite r´eguli`ere de l’anneau local O_X;x).

Soit L un diviseur sur X tel que h⁰(X;L) ≥ 1. Soient D₁;· · ·;D_r des diviseurs effectifs non nuls surX (avec r≥1). Notons P l’ensemble des partiesI non vides de{1;· · ·;r}telles que \

i∈I

D_i soit non vide. Pour I ∈ P, a = (a_i)_i ∈ N^I et k ∈ N^∗, on d´efinit le sous-espace vectoriel V_I;a;k de Γ(X;L) par

V_I;a;k=X

b

Γ

X;L−X

i∈I

b_iD_i

o`u la somme porte sur les b∈N^I tels que X

i∈I

a_ib_i≥k .

D´efinition :On poseν(L;D1;· · ·;Dr) = inf

I∈P inf

a∈N^I−{0}

X

k≥1

dimV_I;a;k h⁰(X;L)X

i∈I

a_i. On d´emontre `a la section 4 le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 2.1 : On suppose d ≥ 2. Soient D1;· · ·;Dr des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux `a deux ; supposons que toute intersection de δ+ 1 quelconques d’entre eux est vide (avec2≤δ≤r). Il existe alors (m₁;· · ·;m_r)∈N^∗r tel qu’en posant L=

r

X

i=1

m_iD_i, on ait lim inf

n→+∞

1

nν(nL;m1D1;· · ·;m_rD_r)> r dδ. Posonsλ_d=h

1− 1− 1

d

d+1i d

d+ 1. On prouve `a la section 5.2 l’´enonc´e suivant : Th´eor`eme 2.2 : Soient D1;· · ·;Dr des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui se coupent proprement. On suppose que L =

r

X

i=1

D_i est ample. Soit θ > 1 un r´eel tel que le R-diviseur L−dθD_i soit nef pour tout i∈ {1;· · ·;r}. On a alors la minoration

lim inf

n→+∞

1

nν(nL;D1;· · ·;D_r)≥λ_dθ .

Remarque :On a λ_d> 1

2 pour toutd≥2. En outre, λ_dconverge vers 1−e⁻¹ lorsqued tend vers +∞.

2.2 Hyperbolicit´e

Lorsque K est un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K, on note OK;S

l’anneau desS-entiers deK,i.e.l’ensemble desx∈K tels que|x|v ≤1 pour toute place finie v /∈S.

SoitK un corps de nombres.

D´efinition : Soient Y une vari´et´e sur K, K^′ une extension finie de K et S un ensem- ble fini de places de K^′. Un ensemble E ⊂ Y(K^′) est dit S-entier surY lorsqu’il existe un O_K′;S-sch´ema int`egre et quasi-projectifY de fibre g´en´erique Y_K′ tel queE ⊂ Y(OK^′;S).

D´efinition : Soient Y une vari´et´e sur K et K^′ une extension finie de K. Un ensemble E ⊂Y(K^′) est ditquasi-entier surY lorsqu’il existe un ensemble finiS de places de K^′ tel que E soit S-entier sur Y.

D´efinition : Soit Y une vari´et´e sur K. On dit que Y est arithm´etiquement quasi- hyperboliquelorsqu’il existe un ferm´eZ 6=Y tel que pour toute extension finieK^′ de K et tout ensemble quasi-entier E ⊂Y(K^′) sur Y, l’ensembleE −Z(K^′) soit fini.

D´efinition :SoitY une vari´et´e complexe. Unecourbe enti`eresurY est une application holomorphef :C→Y(C) non constante.

D´efinition :SoitY une vari´et´e complexe. On dit queY estBrody quasi-hyperbolique lorsqu’il existe un ferm´eZ 6=Y tel que pour toute courbe enti`eref surY, on aitf(C)⊂Z(C).

L’int´erˆet de la d´efinition deν r´eside dans les crit`eres suivants :

Th´eor`eme (3.3) : Soit X une vari´et´e projective sur K de dimension d ≥ 1. Soient D1;· · ·;D<sub>r</sub> des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux `a deux.

Posons Y =X−D1∪ · · · ∪D_r. Soitn≥1un entier. On suppose que le diviseurL=n

r

X

i=1

D_i est libre et gros sur X et que ν(L;D1;· · ·;D_r) > n. Alors Y est arithm´etiquement quasi- hyperbolique.

Th´eor`eme (3.5) : Soit X une vari´et´e complexe projective de dimension d≥ 1. Soient D<sub>1</sub>;· · ·;D<sub>r</sub> des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux `a deux.

Posons Y =X−D1∪ · · · ∪D_r. Soitn≥1un entier. On suppose que le diviseurL=n

r

X

i=1

D_i est libre et gros sur X et que ν(L;D₁;· · ·;D_r)> n. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

On en d´eduit le th´eor`eme 1.1 —respectivement 1.3— en appliquant le th´eor`eme 2.1 (avec r =dδ) puis le th´eor`eme 3.3 —respectivement 3.5—.

On en d´eduit de mˆeme les th´eor`emes 1.2 et 1.4 en appliquant le th´eor`eme 2.2.

3 D´ emonstration des crit` eres

3.1 Rappels

SoitX une vari´et´e complexe projective. Soit Lun faisceau inversible sur X. On munitL d’une m´etrique (continue) k ket on pose ˆL= (L;k k).

Soitf une courbe enti`ere surX. On d´efinit lafonction caract´eristiqueTL;fˆ :R<sub>+</sub>→R de f relativement `a ˆL de la mani`ere suivante :

On choisit une section rationnellesdeLd´efinie et non nulle enf(0). Pour tout r´eelr≥0, on pose

TL;fˆ (r) = X

|z|≤r

µ_z(f^∗s) ln r

|z|− Z 2π

0

lnks(f(re^iθ))kdθ

2π + lnks(f(0))k , o`u µ_z(f^∗s) d´esigne l’ordre de f^∗sen z∈C. Cela ne d´epend pas du choix des.

Soient K un corps de nombres et X^′ une vari´et´e projective sur K. Soit L^′ un faisceau inversible surX^′. On munit L^′ d’une m´etrique ad´elique (k kv)_v et on pose ˆL^′ = (L^′; (k kv)_v) (pour des pr´ecisions sur les m´etriques ad´eliques, on pourra consulter le paragraphe 1.2 de [21]).

Soient K^′ une extension finie de K et P ∈X^′(K^′). On d´efinit la hauteur (normalis´ee) hLˆ^′(P) de P relativement `a ˆL^′ de la fa¸con suivante :

On choisit une section rationnelles^′ de L^′ d´efinie et non nulle enP. On pose hLˆ^′(P) =− 1

[K^′ :Q]

X

v

lnks^′(P)kv ,

o`u v parcourt l’ensemble des places de K^′. Ce r´eel ne d´epend pas du choix des^′.

3.2 Cas arithm´etique

Commen¸cons par un r´esultat facile d’alg`ebre lin´eaire :

Lemme 3.1 : Soient K un corps et V un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit (Fk)_k≥1 une suite d´ecroissante de parties deV telle queFk ={0} pour toutk assez grand. Il existe alors une base B deV adapt´ee `a la suite (F_k)_k≥1, i.e.B ∩ F_kest une base deVect(F_k) pour tout k≥1.

D´emonstration :Soit m≥ 1 un entier tel queF_k = {0}. On pose B_m =∅. On construit par r´ecurrence une suite (Bm;· · ·;B1) de parties deV de la mani`ere suivante :

Pour k ∈ {1;· · ·;m−1}, on compl`ete la partie libre Bk+1 en une base Bk de Vect(Fk) contenue dans F_k.

Pour finir, on compl`eteB1 en une baseB deV.

SoientK un corps de nombres et X une vari´et´e projective surK de dimension d≥1. On va utiliser la version suivante du th´eor`eme du sous-espace de Schmidt, Schlickewei et Vojta : Proposition 3.2 :SoitL∈Pic(X)libre et gros. Notonsq =h⁰(X;L). On munit Ld’une m´etrique ad´elique(k kv)_v. Soients1;· · ·;s_N des sections non nulles engendrant Γ(X;L). Soit ε > 0. Il existe alors un ferm´e Z 6= X tel que pour toute extension finie K^′ de K et tout ensemble fini S de places de K^′, l’ensemble des points P ∈(X−Z)(K^′) v´erifiant

X

v∈S

maxJ∈L

X

j∈J

lnks_j(P)k⁻¹_v ≥(q+qε)[K^′ :Q]hLˆ(P) (1)

est fini, o`u L d´esigne l’ensemble des parties J de {1;· · ·;n} telles que (s_j)_j∈J soit une base de Γ(X;L).

D´emonstration :En posantV = Γ(X;L), on a un morphisme ΦL :X→P(V) g´en´eriquement fini. Il existe donc un ferm´e Z1 6=X tel que Φ_L|X−Z1 soit `a fibres finies. On applique alors la version de Vojta (cfth´eor`eme 0.3 et reformulation 3.4 de [18]) du th´eor`eme du sous-espace : Il existe une r´eunion finie H de K-hyperplans de P(V) ≃ P^q−1_K telle que pour toute extension finie K^′ de K et tout ensemble fini S de places de K^′, l’ensemble des points P ∈(X−Z1∪Φ⁻¹_L (H))(K^′) v´erifiant (1) est fini.

Remarque :Vojta a en fait montr´e que l’on peut trouver un Z ind´ependant de ε, mais on n’en aura pas besoin dans la suite.

On montre ci-dessous une extension d’un r´esultat de Levin (cf th´eor`eme 8.3A de [13]), lui-mˆeme inspir´e de travaux de Corvaja et Zannier (cfth´eor`eme principal de [5] p. 707-708) : Th´eor`eme 3.3 : SoientD1;· · ·;D<sub>r</sub> des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux `a deux. Posons Y =X−D1∪ · · · ∪D_r. Soit m≥1 un entier. On suppose que le diviseur L =m

r

X

i=1

D_i est libre et gros sur X et que ν(L;D1;· · ·;D_r) > m. Alors Y est arithm´etiquement quasi-hyperbolique.

D´emonstration : On proc`ede en deux ´etapes : dans la premi`ere, on construit un ferm´e Z 6=X candidat `a contenir “presque tous les points entiers” ; dans la seconde, on prouve que Y est arithm´etiquement quasi-hyperbolique.

Etape 1 :´ On pose ε = 1

4m(ν(L;D1;· · ·;D_r)−m) et q =h⁰(X;L), on choisit un entier c ≥ 1 tel que h⁰(X;L−cD_i) = 0 pour tout i ∈ {1;· · ·;r}, et on fixe un entier b ≥ cr

mε. Choisissons aussi une base B0 de Γ(X;L).

D´esignons parP l’ensemble des partiesI non vides de{1;· · ·;r}telles que \

i∈I

D_i soit non vide. Soit I ∈ P. On note ∆I l’ensemble des a= (a_i)_i ∈N^I tels queX

i∈I

a_i =b. Soit a∈∆_I. Pour k∈N^∗, on poseFk=[

b

Γ

X;L−X

i∈I

b_iD_i

o`u la r´eunion porte sur les b∈N^I tels que X

i∈I

a_ib_i ≥ k, et on note V_I;a;k = Vect(Fk). Le lemme 3.1 fournit une base BI;a de Γ(X;L) adapt´ee `a la suite (Fk)_k≥1.

On munit chaque faisceau OX(Di) d’une m´etrique ad´elique. Appliquons le th´eor`eme du sous-espace (proposition 3.2) avec {s1;· · ·;s_N}=B0∪[

I;a

BI;a (remarquons que cette r´eunion est finie puisque P et les ∆_I le sont) :

Il existe un ferm´eZ6=X tel que pour toute extension finieK^′ de K et tout ensemble fini

S de places deK^′, l’ensemble des pointsP ∈(X−Z)(K^′) v´erifiant l’in´egalit´e (1) est fini.

Etape 2 :´ Soient K^′ une extension finie de K et S un ensemble fini de places de K^′ contenant les places archim´ediennes. SoitE ⊂Y(K^′) un ensembleS-entier surY. Raisonnons par l’absurde en supposantE −Z(K^′) infini. On choisit une suite injective (P_n)_n≥0d’´el´ements de E −Z(K^′).

Quitte `a extraire, on peut supposer (par compacit´e) que pour toutv ∈S, la suite (Pnv)n≥0

converge dansX(K_v^′) vers uny_v ∈X(K_v^′).

Pour tout v ∈ S, on note Iv l’ensemble des i ∈ {1;· · ·;r} tels que yv ∈ Di. Quitte `a extraire de nouveau, on peut supposer que pour tout v ∈S tel que I_v soit non vide et tout i∈I_v, la suite

lnk1Di(P_n)kv

X

j∈Iv

lnk1Dj(Pn)kv

n≥0

converge vers unt_vi ∈[0; 1]. Remarquons que l’on a

X

i∈Iv

t_vi= 1.

Fait : Soitv∈S. Il existe une base (s_1v;· · ·;s_qv) de Γ(X;L) contenue dans{s1;· · ·;s_N} telle que l’on ait la minoration suivante pour toutn≥0 :

−

q

X

k=1

lnkskv(P_n)kv ≥ −(q+ 2qε) lnk1L(P_n)kv−O(1) , (2) o`u le O(1) est ind´ependant de n.

Prouvons ce fait. SiI_v est vide, on prend {s_1v;· · ·;s_qv}=B0 et on obtient la minoration (2) en remarquant que lnk1L(P_n)kv =O(1) (puisque y_v ∈/ L).

On suppose maintenantI_v non vide. On a donc I_v ∈ P. Choisissons una_v= (a_vi)_i ∈∆_Iv tel que|bt_vi−a_vi| ≤1 pour touti∈I_v. On prend alors{s_1v;· · ·;s_qv}=B_Iv;av. V´erifions que ce choix convient.

Soit s∈ Γ(X;L)− {0}. Pour tout i∈ {1;· · ·;r}, notons µ_i(s) le plus grand entier µtel que le diviseur div(s)−µD_i soit effectif. Puisque les diviseursD_i se coupent proprement deux

`

a deux, le diviseur div(s)−X

i∈Iv

µ_i(s)D_i est encore effectif. Ceci implique

−lnks(P_n)k_v ≥ −X

i∈Iv

µ_i(s) lnk1_Di(P_n)k_v −O(1) .

En remarquant quet_vi> a_vi

b −2mε

cr et que µ_i(s)≤cpour touti∈I_v, on a, par d´efinition des t_vi :

−µ_i(s) lnk1_Di(P_n)k_v ≥ −a_vi

b µ_i(s)−2mε r

X

j∈Iv

lnk1_Dj(P_n)k_v pour toutn assez grand et touti∈I_v.

On en d´eduit l’in´egalit´e (pour toutn≥0)

−lnks(P_n)k_v ≥ −1 b

X

i∈Iv

a_viµ_i(s)−2mε X

j∈Iv

lnk1_Dj(P_n)k_v−O(1) .

On ´ecrit cette in´egalit´e pours=s_kv, puis on somme surk. En observant que pouri∈I_v, on a

q

X

k=1

X

i∈Iv

a_viµ_i(s_kv) = X

µ≥1

#n

k∈ {1;· · ·;q}

X

i∈Iv

a_viµ_i(s_kv)≥µo

= X

µ≥1

dimV_Iv;av;µ≥ν(L;D1;· · ·;D_r)qb= (1 + 4ε)qbm ,

on trouve alors

−

q

X

k=1

lnks_kv(P_n)k_v ≥ −(q+ 2qε)mX

j∈Iv

lnk1_Dj(P_n)k_v −O(1) .

Le fait ´enonc´e (2) s’en d´eduit en remarquant que lnk1Dj(P_n)kv =O(1) pour tout j /∈I_v. Maintenant, l’ensembleE est S-entier surY, donc pour toutn≥0, on a

[K^′ :Q]hLˆ(P_n) =−X

v∈S

lnk1_L(P_n)k_v +O(1) . En utilisant la minoration (2), on obtient (pour toutn≥0)

−X

v∈S q

X

k=1

lnkskv(P_n)kv ≥(q+ 2qε)[K^′ :Q]h_Lˆ(P_n)−O(1) . D’o`u une contradiction avec (1).

3.3 Cas analytique

SoitX une vari´et´e complexe projective de dimensiond≥1.

Proposition 3.4 :SoitL∈Pic(X)libre et gros. Notonsq =h⁰(X;L). On munit Ld’une m´etrique k k. Soient s1;· · ·;s_N des sections non nulles engendrant Γ(X;L). Soit ε > 0. Il existe alors un ferm´eZ 6=X tel que pour toute courbe enti`eref sur X d’image non contenue dans Z(C), l’ensemble des r´eelsr ≥0 v´erifiant

Z _2π

0

maxJ∈L

X

j∈J

lnksj(f(re^iθ))k⁻¹dθ

2π ≥(q+qε)TL;fˆ (r) (1^′)

est de mesure de Lebesgue finie, o`u L d´esigne l’ensemble des parties J de {1;· · ·;n} telles que (s_j)_j∈J soit une base deΓ(X;L).

D´emonstration :En posantV = Γ(X;L), on a un morphisme Φ_L :X→P(V) g´en´eriquement fini. Il existe donc un ferm´e Z1 6=X tel que Φ_L|X−Z1 soit `a fibres finies. On applique alors la version de Vojta (cfth´eor`eme 2 de [20]) du th´eor`eme de Cartan :

Il existe une r´eunion finie H d’hyperplans de P(V) ≃ P^q−1_C telle que pour toute courbe enti`ere d’image non contenue dans Z₁∪Φ⁻¹_L (H), l’ensemble des r´eels r ≥0 v´erifiant (1^′) est

de mesure de Lebesgue finie.

Th´eor`eme 3.5 : SoientD1;· · ·;D<sub>r</sub> des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux `a deux. Posons Y =X−D1∪ · · · ∪Dr. Soit m≥1 un entier. On suppose que le diviseur L =m

r

X

i=1

Di est libre et gros sur X et que ν(L;D1;· · ·;Dr) > m. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

D´emonstration : On proc`ede en deux ´etapes : dans la premi`ere, on construit un ferm´e Z 6=X candidat `a contenir toutes les courbes enti`eres ; dans la seconde, on prouve queY est Brody quasi-hyperbolique.

Etape 1 :´ On reprend la d´emonstration du th´eor`eme 3.3, jusqu’`a la construction des bases B_I;a. On munit chaque faisceauO_X(D_i) d’une m´etriquek k. Appliquons le th´eor`eme de Cartan et Vojta (proposition 3.4) avec {s1;· · ·;s_N}=B0∪[

I;a

B_I;a :

Il existe un ferm´eZ 6=Xtel que pour toute courbe enti`eref surXd’image non contenue dansZ(C), l’ensemble des r´eelsr ≥0 v´erifiant l’in´egalit´e (1^′) est de mesure de Lebesgue finie.

Etape 2 :´ Soitf une courbe enti`ere surY. Raisonnons par l’absurde en supposantf(C)6⊂

Z(C).

Par compacit´e de X(C), il existe un r´eel M >0 tel que pour tout y∈X(C), l’ensemble d’indicesI_y ={i∈ {1;· · ·;r} | −lnk1_Di(y)k ≥M} appartienne `aP ∪ {∅}(il suffit d’extraire du recouvrement ouvert n

y ∈ X(C)

∃I ∈ P ∪ {∅} ∀i /∈ I −lnk1Di(y)k < Mo

M >0 un recouvrement fini).

Fait : Soity∈Y(C). Il existe une base (s_1y;· · ·;s_qy) de Γ(X;L) contenue dans{s1;· · ·;s_N} telle que l’on ait la minoration suivante :

−

q

X

k=1

lnksky(y)k ≥ −(q+ 3qε) lnk1L(y)k −O(1) , (2^′) o`u le O(1) est ind´ependant de y.

Prouvons ce fait. SiI_y est vide, on prend {s1y;· · ·;s_qy}=B0 et on obtient la minoration (2^′) en remarquant que−lnk1_L(y)k< M r.

On suppose maintenant I_y non vide. On a donc I_y ∈ P. Pour tout i ∈ I_y, on pose t_yi = lnk1_Di(y)k

X

j∈Iy

lnk1Dj(y)k. Remarquons que l’on a X

i∈Iy

t_yi = 1. Choisissons un a_y = (a_yi)_i ∈∆_Iy tel que |bt_yi−a_yi| ≤1 pour tout i∈I_y. On prend alors{s_1y;· · ·;s_qy}=B_Iy;ay. V´erifions que ce choix convient.

Soit s∈Γ(X;L)− {0}. Puisque les diviseursD_i se coupent proprement deux `a deux, le

diviseur div(s)−X

i∈Iy

µ_i(s)D_i est effectif. Ceci implique

−lnks(y)k ≥ −X

i∈Iy

µ_i(s) lnk1Di(y)k −O(1) .

En remarquant quet_yi≥ a_yi b −mε

cr et queµ_i(s)≤c pour touti∈I_y, on a, par d´efinition des t_yi :

−µi(s) lnk1Di(y)k ≥ −a_yi

b µ_i(s)−mε r

X

j∈Iy

lnk1Dj(y)k pour touti∈I_y.

On en d´eduit l’in´egalit´e

−lnks(y)k ≥ −1 b

X

i∈Iy

a_yiµ_i(s)−mε X

j∈Iy

lnk1Dj(y)k −O(1) .

On ´ecrit cette in´egalit´e pours=s_ky, puis on somme surk. En observant que pouri∈I_y,

on a q

X

k=1

X

i∈Iy

ayiµi(s_ky)≥ν(L;D1;· · ·;Dr)qb= (1 + 4ε)qbm comme dans la d´emonstration du th´eor`eme 3.3, on trouve alors

−

q

X

k=1

lnksky(y)k ≥ −(q+ 3qε)mX

j∈Iy

lnk1Dj(y)k −O(1) .

Le fait ´enonc´e (2^′) s’en d´eduit en remarquant que−lnk1Dj(y)k< M pour toutj /∈I_y. Maintenantf est une courbe enti`ere surY, donc pour toutr ≥0, on a

T_L;fˆ (r) =− Z 2π

0

lnk1L(f(re^iθ))kdθ

2π +O(1) . En utilisant la minoration (2^′), on obtient (pour tout r≥0)

Z _2π

0

maxJ∈L

X

k∈J

lnksk(f(re^iθ))k⁻¹dθ

2π ≥(q+ 3qε)TL;fˆ (r)−O(1) .

D’o`u une contradiction avec (1^′) (puisque TL;fˆ (r) tend vers +∞ lorsquer tend vers +∞).

4 D´ emonstration du th´ eor` eme 2.1

SoientK un corps de caract´eristique nulle etXune vari´et´e projective surK de dimension d≥2. Pour tous diviseursL1;· · ·;L_d surX, on d´esigne par

L1· · ·L_d

leur nombre d’inter- section. Lorsque L est un diviseur sur X tel que q = h⁰(X;L) ≥1 et E un diviseur effectif

non nul surX, on pose α(L;E) = 1 q

X

k≥1

h⁰(X;L−kE).

Proposition 4.1 :SoitLun diviseur sur X tel queq =h⁰(X;L)≥1. SoientD₁;· · ·;D_r des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux `a deux ; supposons que toute intersection de δ+ 1 quelconques d’entre eux est vide (avec 2≤δ ≤r). On a alors

ν(L;D1;· · ·;Dr)≥ 2 δinf

i α(L;Di) .

D´emonstration :On utilise les notations de la section 2.1. Lorsquexest un r´eel, on d´esigne par ⌈x⌉ le plus petit entier ≥x. Soient I ∈ P eta∈ N^I− {0}. Quitte `a r´eduire I, on peut supposer que ai ≥1 pour tout i∈I. Observons que #I ≤δ.

SiI est un singleton{i}, alorsV_I;a;k= Γ

X;L−lk a_i

m D_i

, donc on a bien X

k≥1

V_I;a;k=a_iX

k≥1

h⁰(X;L−kD_i)≥a_iq2 δinf

j α(L;D_j) .

On suppose maintenant #I ≥2. On choisit deux indicesj < ldansI tels quea_l≥a_j ≥a_i pour touti∈I− {j;l}. Pour (b1;b2)∈N², on pose W(b1;b2) = Γ(X;L−b1D_j−b2D_l).

Soitk un entier≥1. L’espace vectorielV_I;a;k contient alors le sous-espace V_k^′ =W

0;lk a_l

m+

⌈k/al⌉−1

X

b=0

Wlk−a_lb aj

m;b .

Puisque les diviseursD_j et D_l se coupent proprement, on a l’´egalit´e suivante pour tout b^′ ∈ {0;· · ·;⌈k/a_l⌉ −1} :

Wlk−a_lb^′ a_j

m;b^′ \h W

0;lk a_l

m+

⌈k/al⌉−1

X

b=b^′+1

Wlk−a_lb a_j

m;bi

=Wlk−a_lb^′ a_j

m;b^′+ 1 .

En utilisant⌈k/a_l⌉fois la formule dim(W1+W2) = dimW1+ dimW2−dimW1∩W2, on obtient que la dimension de V_k^′ vaut

dimW 0;lk

a_l m+

⌈k/al⌉−1

X

b=0

hdimWlk−a_lb a_j

m;b

−dimWlk−a_lb a_j

m;b+ 1i .

Maintenant, on somme surkl’´egalit´e pr´ec´edente. Apr`es simplifications, on trouve X

k≥1

dimV_k^′=a_lX

k≥1

h⁰(X;L−kD_l) +aj

X

k≥1

h⁰(X;L−kDj) . On en conclut la minoration

X

k≥1

dimV_I;a;k≥X

k≥1

dimV_k^′ ≥(a_j+a_l)qinf

i α(L;D_i)≥X

i∈I

a_i q2

δ inf

j α(L;D_j) .

D’o`u le r´esultat.

On aura besoin dans la suite d’une variante des “in´egalit´es de Morse holomorphes” (cf[6]

§12 et [1]) :

Lemme 4.2 : Soient E un diviseur libre et gros sur X et L un diviseur sur X tel que L−E soit nef. Soit β un r´eel>0. Pour tout couple d’entiers (n;k) v´erifiant 1≤k≤βn, on a alors la minoration

h⁰(X;nL−kE)≥ L^d

d! n^d−

L^d−1E

(d−1)! n^d−1k+d−1 d!

L^d−2E²

n^d−2min(k²;n²)−O(n^d−1) , o`u le O ne d´epend pas de (n;k).

D´emonstration :On a deux cas.

Cas k≤n : La formule de Hirzebruch-Riemann-Roch donne que χ(X;nL−kE) est une fonction polynomiale en (n;k) dont on peut expliciter la composante homog`ene dominante :

Pour tout (n;k) tel que 1≤k≤n, on aχ(X;nL−kE) = 1 d!

(nL−kE)^d

+O(n^d−1).

Par ailleurs, d’apr`es le th´eor`eme 1.4.40 de [12] p. 69 (ou plutˆot d’apr`es sa d´emonstration), on a hⁱ(X;nL−kE) = O(n^d−i) pour tout i ≥ 1, puisque L et L−E sont nefs. On a en particulierh⁰(X;nL−kE) = 1

d!

(nL−kE)^d

+O(n^d−1).

Or un calcul montre (par multilin´earit´e) la formule (nL−kE)^d

= L^d

n^d−d

L^d−1E

n^d−1k+

d

X

i=2

(i−1)

Lⁱ⁻²(nL−kE)^d−iE²

nⁱ⁻²k² . L’in´egalit´e de l’´enonc´e s’en d´eduit facilement : les diviseurs L, nL−kE et E sont nefs, donc on a

Lⁱ⁻²(nL−kE)^d−iE²

≥0 pour tout i∈ {2;· · ·;d−1}.

Cas k > n : D’apr`es le th´eor`eme de Bertini (cf corollaire 6.11 de [10] p. 89), il existe s∈Γ(X;E)− {0} tel queZ = div(s) soit g´eom´etriquement int`egre surK.

Soitiun entier tel que n≤i≤βn. On a la suite exacte de OX-modules suivante : 0→ OX(nL−(i+ 1)E)→ OX(nL−iE)→ OX(nL−iE)_|Z →0 . On en d´eduit une suite exacte en cohomologie qui fournit l’in´egalit´e

h⁰(X;nL−(i+ 1)E) ≥h⁰(X;nL−iE)−h⁰(Z; (nL−iE)_|Z) . En utilisant la majoration

h⁰(Z; (nL−iE)_|Z)≤h⁰(Z;nL_|Z) =

L^d−1E

(d−1)! n^d−1+O(n^d−2)

(obtenue par Hirzebruch-Riemann-Roch), on trouve h⁰(X;nL−kE) ≥ h⁰(X;nL−nE)−

k−1

X

i=n

h⁰(Z; (nL−iE)_|Z)

≥

L^d d! n^d−

L^d−1E

(d−1)! n^d−1k+d−1 d!

L^d−2E²

n^d−O(n^d−1) (la minoration deh⁰(X;nL−nE) est donn´ee par le premier cas). D’o`u le r´esultat.

Remarque : La d´emonstration fournit en fait une minoration de h⁰(X;nL−kE) − h¹(X;nL−kE).

On note ici g : R₊ → R₊ l’application continue d´efinie par g(β) = β³

3 si β ≤ 1 et g(β) =β−2

3 siβ ≥1.

Corollaire 4.3 :Soient E un diviseur effectif libre et gros sur X et L un diviseur sur X tel que L−E soit nef. On a alors

lim inf

n→+∞

1

nα(nL;E)≥

L^d 2d

L^d−1E+ (d−1)

L^d−2E² L^d g

L^d d

L^d−1E

.

D´emonstration : On poseβ =

L^d d

L^d−1E et M = (d−1)

L^d−2E²

. Grˆace au lemme 4.2, on a les estimations suivantes :

X

k≥1

h⁰(X;nL−kE) ≥

⌊βn⌋

X

k=1

L^d

d! n^d−

L^d−1E

(d−1)! n^d−1k+M

d!n^d−2min(k²;n²)

−O(n^d)

=

L^d d! β−

L^d−1E (d−1)!

β² 2 +M

d!g(β)

n^d+1−O(n^d) . D’o`u la minorationα(nL;E)≥β

2 + M

L^dg(β)

n−O(1).

Montrons maintenant le r´esultat principal de cette section :

Th´eor`eme 4.4 :SoientD1;· · ·;D_r des diviseurs effectifs presque amples surX. Il existe alors des entiers m1;· · ·;m_r tels qu’en posant L=

r

X

i=1

m_iD_i, on ait

mi≥1 et lim inf

n→+∞

1

nα(nL;miDi)> r

2d pour tout i∈ {1;· · ·;r} .

D´emonstration : On pose ici ∆ = {(t1;· · ·;t_r) ∈ R^r₊ | t1 +· · ·+t_r = 1}. Pour tout t = (t1;· · ·;t_r) ∈ ∆, on d´esigne par L_t le R-diviseur L_t =

r

X

j=1

t_jD_j et on pose φ(t) = X^r

i=1

1 L^d−1_t D_i

−1

.

On notef : ∆→∆ l’application continue d´efinie parf(t) = φ(t)

L^d−1_t D₁;· · ·; φ(t) L^d−1_t D_r

pour tout t ∈ ∆. D’apr`es le th´eor`eme de Brouwer, f admet un point fixe x = (x1;· · ·;x_r).

On a alorsφ(x) =

L^d−1_x D_i

x_i pour tout i∈ {1;· · ·;r}, doncφ(x)r= L^d_x

. On en d´eduit l’in´egalit´e

L^d_x 2d

L^d−1x D_i

x_i + (d−1)

L^d−2_x D_i² x²_i

L^d_x g L^d_x d

L^d−1x D_i x_i

> r

2d pour touti∈ {1;· · ·;r} . On approche x par un y ∈ Q^∗r₊ ∩∆ de la forme y = m1

m;· · ·;m_r m

de telle sorte que l’in´egalit´e pr´ec´edente soit encore valable avec y au lieu de x, et on conclut en appliquant le corollaire 4.3.

On en d´eduit le th´eor`eme 2.1 en appliquant la proposition 4.1.

5 G´ eom´ etrie bis

5.1 Pr´eliminaires

Soient r et m des entiers ≥ 1. On pose ∆ = {0;· · ·;m}^r. On munit ∆ de l’ordre lexi- cographique. Notonsm= (m;· · ·;m) le plus grand ´el´ement de ∆. Pour toutb= (b₁;· · ·;b_r)∈

∆, on d´esigne par J_b l’ensemble desi∈ {1;· · ·;r} tels queb_i < m.

Commen¸cons par la variante suivante du lemme 2.2 de [4] :

Lemme 5.1 : Soit A un anneau local. Soit (ϕ1;· · ·;ϕ_r) une suite r´eguli`ere de A. Pour tout b∈∆, on a alors l’inclusion d’id´eaux

(ϕ^b₁¹· · ·ϕ^b_r^rA)∩X

c>b

ϕ^c₁¹· · ·ϕ^c_r^rA

⊂ X

j∈Jb

ϕ^b₁¹· · ·ϕ^b_r^rϕ_jA .

D´emonstration :On raisonne par r´ecurrence surr. Si r= 1, alors l’inclusion est ´evidente.

Supposonsr ≥2 et le r´esultat au cran r−1. Posons ∆^′ ={0;· · ·;m}^r−1 etb^′= (b2;· · ·;b_r).

Soit x∈(ϕ^b₁¹· · ·ϕ^b_r^rA)∩X

c>b

ϕ^c₁¹· · ·ϕ^c_r^rA

. On a deux cas.

Cas b₁=m : L’´el´ement x s’´ecrit x = ϕ^m₁ y = X

c^′>b^′

ϕ^m₁ a_c′ avec un y ∈ ϕ^b₂²· · ·ϕ^b_r^rA et des a_c^′ ∈ϕ^c₂²· · ·ϕ^c_r^rA. En simplifiant par ϕ^m₁ , on obtient quey appartient `a X

c^′>b^′

ϕ^c₂²· · ·ϕ^c_r^rA. Or (ϕ2;· · ·;ϕ_r) est une suite r´eguli`ere de A, donc y est un ´el´ement de X

j∈Jb

ϕ^b₂²· · ·ϕ^b_r^rϕ_jA par hypoth`ese de r´ecurrence.

Cas b₁< m: L’´el´ementx s’´ecritx=ϕ^b₁¹y =ϕ^b₁¹⁺¹z+X

c^′>b^′

ϕ^b₁¹a_c′ avec uny∈ϕ^b₂²· · ·ϕ^b_r^rA, unz∈Aet desa_c′ ∈ϕ^c₂²· · ·ϕ^c_r^rA. On ´ecrity =ϕ^b₂²· · ·ϕ^b_r^rwavecw∈A. On simplifie parϕ^b₁¹ puis on r´eduit moduloϕ1; on trouve ainsi dansA^′=A/ϕ1Al’´egalit´e ¯y = X

c^′>b^′

¯ a_c′. On en d´eduit que ¯y appartient `a ( ¯ϕ2b2· · ·ϕ¯_r^brA^′)∩ X

c^′>b^′

¯

ϕ2c2· · ·ϕ¯_r^crA^′

. Or ( ¯ϕ2;· · ·; ¯ϕ_r) est une suite r´eguli`ere deA^′, donc ¯yest un ´el´ement de X

j∈Jb−{1}

¯

ϕ₂^b2· · ·ϕ¯_r^brϕ¯_jA^′par hypoth`ese de r´ecurrence. En simplifiant par ¯ϕ2b₂· · ·ϕ¯_r^br, on obtient que ¯w est dans X

j∈Jb−{1}

¯

ϕ_jA^′. On en conclut que wappartient `a X

j∈Jb

ϕ_jA.

D’o`u le r´esultat.

SoientK un corps de caract´eristique nulle etXune vari´et´e projective surK de dimension d≥1.

D´efinition : Un OX-module coh´erent C sur X est dit acyclique lorsque hⁱ(X;C) = 0 pour touti≥1.

SoitLun diviseur surXtel queq =h⁰(X;L)≥1. SoientD₁;· · ·;D_rdes diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement.

Pour toutb∈∆, on poseLb=OX

L−

r

X

i=1

b_iD_i

. Pour b∈∆, on d´efinit le sous-module C_b deL_b par

C_b = X

j∈Jb

O_X

L−D_j−

r

X

i=1

b_iD_i .

Soit (a1;· · ·;a_r)∈N^r. Pour k∈N^∗, on noteV_k le sous-espace de Γ(X;L) d´efini par V_k=X

b

Γ(X;Lb) o`u la somme porte sur lesb∈N^r tels que

r

X

i=1

a_ib_i ≥k . Lemme 5.2 :Avec ces notations, on a la minoration suivante :

X

k≥1

dimV_k≥

r

X

i=1

a_iX

b∈∆

hh⁰(X;Lb)−h⁰(X;Cb)i b_i .

D´emonstration :Soitkun entier tel que 1≤k≤

r

X

i=1

aim. NotonsD_kl’ensemble desb∈∆ tels que

r

X

i=1

a_ib_i ≥k. L’espace vectorielV_k contient alors le sous-espace V_k^′ = X

b∈Dk

Γ(X;L_b).

Soit b ∈ D_k− {m}. Le lemme 5.1 fournit l’inclusion de O_X-modules L_b ∩X

c>b

L_c ⊂ C_b, puisque les diviseurs D1;· · ·;D_r se coupent proprement. On a en particulier l’inclusion d’es- paces vectoriels

Γ(X;Lb)∩X

c>b

Γ(X;Lc)⊂Γ(X;Cb) .

En utilisant #D_k−1 fois la formule dim(W1+W2) = dimW1+ dimW2−dimW1∩W2, on trouve l’in´egalit´e

dimV_k^′ ≥h⁰(X;Lm) + X

b∈Dk−{m}

h

h⁰(X;L_b)−h⁰(X;C_b)i .

On obtient le r´esultat en sommant surk cette in´egalit´e.

Proposition 5.3 :On suppose de plus que L_b est acyclique pour tout b∈∆. On a alors X

k≥1

dimV_k ≥

r

X

i=1

a_i

m

X

k=1

h⁰(X;L−kD_i) .

On a en particulier ν(L;D₁;· · ·;D_r)≥ 1 q inf

i m

X

k=1

h⁰(X;L−kD_i).

D´emonstration :Soit b∈∆− {m}. Pour toute partie I de J_b, posons ici Lb;I =OX

L−X

j∈Jb

D_j −

r

X

i=1

b_iD_i .

On pose aussi p= #J_b etEb= M

j∈Jb

L_b;{j}.

Les diviseurs (Dj)j∈Jbse coupent proprement, donc on a la suite exacte de Koszul suivante (cf[9] p. 431) :

0→Λ^pEb→ · · · →Λ¹Eb → Cb →0 . On remarque que Λ^jEb = M

#I=j

Lb;I (qui est en particulier acyclique) pour tout j ∈ {1;· · ·;p}. La suite de Koszul pr´ec´edente induit donc par acyclicit´e une suite exacte en image directe :

0→Γ(X; Λ^pEb)→ · · · →Γ(X; Λ¹Eb)→Γ(X;Cb)→0 . On en d´eduit la relation

h⁰(X;Lb)−h⁰(X;Cb) = X

I⊂Jb

(−1)^#Ih⁰(X;Lb;I) .

Maintenant, on fixei∈ {1;· · ·;r} etc ∈ {0;· · ·;m}, et on somme sur l’ensemble ∆^′_c des b∈∆ tels que b_i =c. Un r´earrangement des termes permet de simplifier et montre que :

X

b∈∆^′_c

X

I⊂Jb

(−1)^#Ih⁰(X;L_b;I) =

(h⁰(X;L−cD_i)−h⁰(X;L−(c+ 1)D_i) sic < m;

h⁰(X;L−mD_i) sic=m.

(En effet, si p^′ = #{j 6=i |bj ≥1} ≥1, alors le terme h⁰(X;L_b) apparaˆıt 2^p′−1 fois avec le signe plus et 2^p′−1 fois avec le signe moins ; de mˆeme avec le terme h⁰(X;L_b;{i}) dans le cas c < m).

On en d´eduit l’´egalit´e X

b∈∆

hh⁰(L_b)−h⁰(C_b)i

b_i = h⁰(L−mD_i)m+

m−1

X

c=0

hh⁰(L−cD_i)−h⁰(L−(c+ 1)D_i)i c

=

m

X

k=1

h⁰(X;L−kD_i) . On conclut en appliquant le lemme 5.2.

5.2 D´emonstration du th´eor`eme 2.2

SoientK un corps de caract´eristique nulle etXune vari´et´e projective surK de dimension d ≥ 1. Soient D₁;· · ·;D_r des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement (avec r≥1). NotonsP l’ensemble des parties I non vides de{1;· · ·;r}telles que \

i∈I

D_i soit non vide.

Th´eor`eme 5.4 : Soit L un diviseur ample sur X. On suppose que D_i est nef pour tout i∈ {1;· · ·;r}. Soit θ >1 un r´eel tel que le R-diviseurL−θX

i∈I

D_i soit nef pour tout I ∈ P.

On a alors l’in´egalit´e lim inf

n→+∞

1

nν(nL;D1;· · ·;Dr)≥ θ (d+ 1)

L^dinf

i d

X

j=0

L^d−j(L−θDi)^j .

D´emonstration : D’apr`es le th´eor`eme d’annulation de Fujita (cfth´eor`eme 1.4.35 de [12]

p. 66), il existe n0≥1 tel quen0L+N soit acyclique pour toutN ∈Pic(X) nef.

On pose n^′ = ⌊(n−n0)θ⌋ pour tout n > n0. En appliquant la proposition 5.3 (avec m=n^′), on obtient (pour toutn > n0)

ν(nL;D1;· · ·;D_r)≥ 1

h⁰(X;nL)inf

i n^′

X

k=1

h⁰(X;nL−kD_i) .

Soiti∈ {1;· · ·;r}. Grˆace `a la formule de Hirzebruch-Riemann-Roch, on a les estimations suivantes :

n^′

X

k=1

h⁰(X;nL−kD_i) = 1 d!

n^′

X

k=1

h

(nL−kD_i)^d

+O(n^d−1)i

= 1

d!

d

X

j=0 n^′

X

k=1

C^j_d

L^d−jD_i^j

n^d−j(−k)^j+O(n^d)

= 1

d!

d

X

j=0

C^j_d

L^d−jD^j_i(−1)^j

j+ 1θ^j+1n^d+1+O(n^d) . Or un calcul montre la formule

d

X

j=0

C^j_d

L^d−jD^j_i(−1)^j

j+ 1θ^j+1= θ d+ 1

d

X

j=0

L^d−j(L−θD_i)^j .

D’o`u l’in´egalit´e de l’´enonc´e.

Corollaire 5.5 : Soit L un diviseur ample sur X. On suppose que D_i est nef pour tout i∈ {1;· · ·;r}. Soitθ >1un r´eel tel que leR-diviseurL−dθDi soit nef pour touti∈ {1;· · ·;r}.

On a alors

lim inf

n→+∞

1

nν(nL;D1;· · ·;Dr)≥λ_dθ .

D´emonstration :Pour toutI ∈ P, le R-diviseurL−θX

i∈I

D_i est nef puisque #I ≤d. Soit i∈ {1;· · ·;r}. LesR-diviseursL−θD_i−

1−1 d

L etLsont nefs, donc on a L^d−j(L−θD_ij

≥ 1− 1

d j

L^d

pour tout j∈ {1;· · ·;d} . En appliquant le th´eor`eme 5.4, on trouve ainsi

lim inf

n→+∞

1

nν(nL;D1;· · ·;D_r)≥ θ d+ 1

d

X

j=0

1−1

d j

=λ_dθ . D’o`u le r´esultat.

R´ ef´ erences

[1] F. Angelini :An algebraic version of Demailly’s asymptotic Morse inequalities. Proceed- ings of the AMS124 (1996), 3265-3269.

[2] P. Autissier : G´eom´etrie des surfaces alg´ebriques et points entiers. Pr´epublication de l’IRMAR (2006) ; math.NT/0606184.