Elle n’est d´efinie que pour presque tout t ∈ R

RAPPEL

Soit f ∈ L²_T, l’´egalit´e

f ^L=^{2 X}e^ikt signifie :

f(t) =

+∞X

−∞

e^ikt pour presque tout t ∈ R et la s´erie converge dans L². Elle n’est d´efinie que pour presque tout t ∈ R_.

Un th´eor`eme ponctuel

Si f est T-p´eriodique et de classe C¹ par morceaux :

1. en chaque point t o`u f est continue S_N(t) =

XN

−N

c_ke^ikωt −→

N→∞ f(t)

2. en chaque point t de discontinuit´e S_N(t) −→

N→∞

f(t + 0) + f(t − 0) 2

3. Si, de plus, f est continue sur [a, b], S_N CVG uniform´ement vers f sur [a, b].

DEF. – Γ ⊂ R³ _{est un r´eseau} s’il existe une base (e₁, e₂, e₃) de R³ _{telle que,}

γ ∈ Γ ⇔ γ = x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃ x₁, x₂, x₃ ∈ Z On dit alors que (e₁, e₂, e₃,) est une base du r´eseau.

DEF. – f d´efinie dans R³ _{est Γ-p´eriodique} si f(x + γ) = f(x) pour tout γ ∈ Γ.

TH. – (e₁, e₂, e₃) base de Γ; (f₁, f₂, f₃) base de R³_.

P matrice de passage : f_i = ^P3

i=1p_ije_j {(f₁, f₂, f₃) base de Γ}

m

{p_ij ∈ Z _{et det(P) = ±1}}

DEF. – Base r´eciproque d’une base (e₁, e₂, e₃) de R³ : l’unique base (e^∗₁, e^∗₂, e^∗₃) telle que e_i · e^∗_j = 2πδ_ij

TH. – Γ : r´eseau de R³ _{et k ∈} R³_{. Alors} (a)⇔(b)⇔(c)

(a) – La fonction x 7→ e^ik·x est Γ-p´eriodique.

(b) – Pour tout γ ∈ Γ, on a k · γ ∈ 2πZ_.

(c) – Si (e_j) est une base de Γ, et si (e^∗_j) est la base r´eciproque, k = ^P

j k_je^∗_j avec k_j ∈ Z_.

DEF. – R´eseau r´eciproque Γ^∗ : ensemble des k poss´edant ces propri´et´es.

TH. – f : Γ-p´eriodique; M et M⁰ : deux mailles de Γ.

Z

M f(x)dx =

Z

M⁰ f(x)dx et Vol(M) = Vol(M⁰).

DEF. –

L²_Γ : espace des fonctions Γ-p´eriodiques de carr´e sommable sur tout ensemble born´e.

Produit scalaire : (f|g) = _V^{1 R}_M f(x)g(x)dx

M: maille ; V = volume de M.

TH. – Les e_k(x) = e^ik·x, pour k ∈ Γ^∗, for- ment une base hilbertienne de L²_Γ.

Explicitation

∀f ∈ L²_Γ, f ^L=^{2 X}

k∈Γ^∗

c_k(f)e^ik·x

(CVG en moyenne quadratique sur tout ensemble born´e)

c_k(f) = 1 V

Z

M e^−ik·xf(x)dx 1

V

Z

M |f(x)|²dx = ^X

k∈Γ^∗

|c_k(f)|² (Bessel-Parseval).

TH. & DEF. (convolution) Soient f, g ∈ L¹(Rⁿ₎

(f ? g)(x) =

Z

f(x − y)g(y)

| {z }dy

• Pour presque tout x ∈ Rⁿ_{, ↑} est sommable en y

• La fonction f ? g est sommable et kf ? gk₁ ≤ kfk₁kgk₁

commutativit´e : (f ? g)(x) = ^R g(x −y)f(y)dy

associativit´e : (f ? g) ? h = f ? (g ? h)

TH. – g continue et born´ee, f ∈ L¹(Rⁿ_).

(f ?g)(x) =

Z

f(x−y)g(y)dy =

Z

g(x−y)f(y)dy est d´efinie en tout point, continue et born´ee.

– Si g a des d´eriv´ees partielles continues et born´ees, f ? g aussi et

∂(f ? g)

∂x_j = f ? ∂g

∂x_j, ∂²(f ? g)

∂x_j∂x_k = f ? ∂²g

∂x_j∂x_k

Autres cas o`u ? est d´efinie

• f ∈ L¹(Rⁿ_{), g ∈ L}²₍Rⁿ_{). Alors f ? g ∈ L}² kf ? gk₂ ≤ kfk₁kgk₂

• f et g ∈ L²(Rⁿ_{). Alors f ? g} est continue et born´ee

kf ? gk_∞ ≤ kfk₂kgk₂

• f ∈ L¹_loc(Rⁿ_{), g ∈ L}¹ nulle hors d’un en- semble born´e

f ? g ∈ L¹_loc(Rⁿ₎

• f, g ∈ L¹_loc(R₎ nulles pour x assez petit (x ≤ A ∈ R₎

f ? g ∈ L¹_loc(R₎

Approximations de l’identit´e TH. – Soit h ∈ L¹(Rⁿ_{) avec}

Z

Rn h(x)dx = 1 h(x) = ⁻ⁿh(x/)

f ∈

( L¹(Rⁿ₎ L²(Rⁿ₎

)

alors f ?h −→

→0 f dans

( L¹(Rⁿ₎ L²(Rⁿ₎

REM. – Si h ∈ C^∞ alors f ? h ∈ C^∞