2Lesexemplesdebase 1G´en´eralit´es Int´egralesimpropres

Maths PCSI R´esum´e de cours

Int´egrales impropres

1 G´en´eralit´es

f est CPM surI, intervalle... ouvert ou semi-ouvert deR. Enonc´es dans le cas o`uI= [a, b[,b∈R∪{+∞}.

NotationR_b

a ouR

I.

1.1 Cas des fonctions ≥0

• D´efinition : borne sup´erieure finie (le cas ´ech´eant) des int´egrales de f sur les segments inclus dansI.

• Propri´et´e : si la fonction est int´egrable, alorsR_x

a f−→

x→b

R

I.

• Rque : ICI, il y a ´equivalence entre l’existence d’une limite et l’int´egrabilit´e.

• Exemples :t7→e^−tet t7→ 1

1 +t surR⁺;t7→ 1

t² ett7→√1

t sur ]0,1] et [1,+∞[ ; Z _+∞

0

dt 1 +t²·

1.2 Propri´et´es

Lin´earit´e, Chasles.

1.3 Extension aux fonctions de signe quelconque

• D´efinition :f int´egrable ssi|f|l’est.

• Proposition : f est int´egrable ssif⁺ etf⁻ le sont). On d´efinit alorsR f =R

f⁺−R f⁻.

• Proposition : sif est int´egrable sur [a, b[, alorsR_x

a f −→

x→b⁻

R_b

a f.

• Remarque : ici, il n’y a plus l’´equivalence vue pour les fonctions positives (cas det7→ sint

t sur [0,+∞[).

• Lin´earit´e et Chasles : pas de probl`eme.

2 Les exemples de base

2.1 Crit`ere de domination

• Proposition : si g est int´egrable et |f| ≤g (ouf = o(g), ou f ∼g) “au voisinage du point qui pose probl`eme”, alorsf est int´egrable.

• Enonc´e ”dual”.

• La plupart des preuves d’int´egrabilit´e font appels `a ces r´esultats, en utilisant un “exemple r´ef´erence”

qui suit. Tout probl`eme d’int´egrabilit´e pour ϕ en 1 se ram`ene `a un probl`eme en 0 en cherchant un

´equivalent deϕ(1−u) lorsqueutend vers 0...

2.2 t

en 0

t7→t^α est int´egrable sur ]0,1] si et seulement siα >−1.

2.3 t

en +∞

t7→t^α est int´egrable sur [1,+∞[ si et seulement siα <−1.

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2.4 Int´egrales de Bertrand (exercice)

t7→t^αln^βtest int´egrable sur [1,+∞[ si et seulement si (α <−1) OU (α=−1 ETβ <−1).

3 Techniques de calcul

• Principe : passer `a la limite des IPP ou changement de variable dans des int´egrales sur des segments.

• Exemples : Z _+∞

0 tⁿe^−tdt, Z ₁

0

t (1 +t²)√

1−t⁴dt= 1/2 (u=t²,u= sinx...)

• Exercice : calcul de Z _+∞

0 e^−t2dt, grˆace `a : Z ^√_n

0 1−t² n

_n dt≤

Z ^√_n

0 e^−t2dt≤

Z ^√_n

0 1 + t² n

_−n dt, puis `a Wallis, viat=√

nsinθet t=√ ntanθ.

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