f (t)dt par la m´ ethode des trap` ezes

MPSIA 2012/2013 Devoir surveill´e n˚20 Vendredi 11 Avril 2013

Calcul approch´ e de Z

b

a

f (t)dt par la m´ ethode des trap` ezes

Soienta < bdes r´eels tels quea < betfd´efinie sur [a, b]. Supposons que f est une fonction de classeC²sur [a, b] .

Partie I

Un r´esultat interm´ediaire : approximation d’une int´egrale par l’aire d’un trap`eze 1. Justifier l’existence d’une constanteM telle que∀x∈[a, b],|f⁰⁰(x)|6M.

2. Soientα < βdeux points de [a, b]. On d´efinitgcomme la fonction affine (i.e. dont le graphe est une droite) telle queg(α) =f(α) etg(β) =f(β). Pour toutt∈[a, b], exprimerg(t) en fonction deα,β,f ett.

3. On d´efinit la fonctionϕsur [α, β] par :ϕ(t) =f(t)−M

2 (t−α)(β−t).

(a) ´Etablir queϕ est de classe C² sur [α, β] et que pour toutt ∈[α, β], ϕ⁰⁰(t)>0. Que valent ϕ(α) et ϕ(β) ?

(b) Soithla fonctionϕ−g, d´efinie sur [α, β]. Dresser le tableau des variations deh.

(c) En d´eduire que :

∀t∈[α, β], f(t)−g(t)6 M

2 (t−α)(β−t).

4. En d´efinissant la fonctionψsur [α, β] par :ψ(t) =f(t) +M

2 (t−α)(β−t), et en s’inspirant de la question pr´ec´edente, montrer que :

∀t∈[α, β], f(t)−g(t)>−M

2 (t−α)(β−t).

5. En d´eduire que :

∀t∈[α, β], |f(t)−g(t)|6 M

2 (t−α)(β−t).

6. Montrer que :

Z β

α

f(t)dt−(β−α)f(α) +f(β) 2

6 M

12(β−α)³.

Partie II Approximation sur [a, b] ` a l’aide de subdivisions

1. Dans toute la suite de cette partie,nsera un entier>1 etu= (x_i)_06i6n une subdivision de [a, b] de pas constant.

(a) Exprimerxi en fonction de a,b,net i. Quel est le pas de la subdivision ?

(b) Sur chaque intervalle ]x_i, x_i+1[, on remplacef par la fonction affine qui co¨ıncide avecf enx_i etx_i+1. Faire un dessin repr´esentant ces deux fonctions.

(c) ´Etablir que l’int´egrale de la fonction affine par morceaux ainsi d´efinie est :

Tn(f) =b−a 2n

n−1

X

i=0

(f(xi) +f(xi+1)).

(d) Justifier le terme dem´ethode des trap`ezes.

2. `A l’aide de la partie I, majorer

Z x_i+1

x_i

f(t)dt−(b−a) n

f(x_i+f(x_i+1) 2

pouri∈ {0, . . . , n−1}.

3. Montrer alors la majoration de l’incertitude de l’approximation par des trap`ezes :

Z b

a

f(t)dt−Tn(f)

6M(b−a)³ 12n² .

4. ´Ecrire une proc´edure Maple qui, `a la donn´ee de a, b et f, calcule l’approximation par la m´ethodes des trap`ezes de l’int´egrale def sur l’intervalle [a, b].

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