f, g des symboles de fonction binaire

Universit´e Paris 7 15 novembre 2011 Licence Math-Info (L3)

TD de Logique (Brice Minaud)

TD 8

Calcul propositionnel : unification et r´esolution Les questions marqu´ees d’une ´etoile?sont plus difficiles.

Toutes les clauses sont universelles.

Exercice1 : Soient c un symbole de constante ; f, g des symboles de fonction binaire ; k un symbole de fonction ternaire. Unifier le syst`eme :

S={(kf cgv4v₃f cgv₃v₄kv₃v₄v₂, kv₂v₂v₁)}

Exercice2 :Soientf,gdes symboles de fonction binaires ;c, ddes symboles de constante. Unifier le syst`emeS={(f v₁gdv₀, f f cv₂gf v₁v₁c)}, si c’est possible.

Exercice3 :Appliquer la r`egle de r´esolution de deux mani`eres diff´erentes aux clauses suivantes : Sv0⇒(P v0∨Rv0) (P v0∧P f v1)⇒Qv0v1

Exercice4 :On consid`ere le syst`eme form´e des six clauses suivantes : (1) Qf v₀⇒Sv₀ (2) ⇒(Sv₀∨Rf v₀v₀) (3) P v0⇒Qv0 (4) (P v1∧Rv0v1)⇒P v0

(5) ⇒P c (6) Sc⇒

a) On a r´esum´e ci-dessous une r´efutation du syst`eme. On a num´erot´e chaque nouvelle clause d´eriv´ee `a partir de 7 (pour ´eviter toute confusion avec les clauses de d´epart). Pour chaque nouvelle clause, indiquer comment elle est obtenue `a partir des lignes pr´ec´edentes ou des clauses de d´epart.

(7) Qf c⇒ (8) P f c⇒

(9) (P v1∧Rf cv1)⇒ (10) P c⇒Sc (11) ⇒Sc (12)

?b) Proposer une autre r´efutation du syst`eme, en commen¸cant par d´eriver⇒Rf cc.

Exercice5 :On consid`ere le langage form´e des fonctions unairesf etg, de la relation binaireR, et de la constantec. Soit le syst`eme form´e des trois clauses suivantes :

(1) Rv₀v₁⇒Rv₀f v₀ (2) ⇒Rv₀gv₀ (3) ⇒Rf f cc

On veut montrere que la proposition∃v0∃v1∃v2(Rv0v1∧Rv1v2∧Rv2v0) est cons´equence du syst`eme.

a) Montrer que c’est ´equivalent `a r´efuter le syst`eme compos´e des clauses (1), (2), (3) et : (4) Rv0v1∧Rv1v2∧Rv2v0⇒

b) D´eriver du syst`eme de la question (a) la clause :⇒Rv₀f v₀.

c) En s’aidant de la question pr´ec´edente, d´eriver les clauses⇒Rcf c et⇒Rf cf f c.

d) Finalement, r´efuter le syst`eme.

Exercice6 :On consid`ere le langage form´e des symboles de constanteaetb, des relations unaires P, R,S, et de la relation binaireQ, et on s’int´eresse au syst`eme suivant :

(1) P a∧(Rv₀⇒Qav₀) (2) ¬P v0∨ ¬Sv1∨ ¬Qv0v₁ (3) Rb∧Sb

a) Traduire ce syt`eme en un ensemble de clauses.

b) R´efuter le syst`eme en utilisant la m´ethode de r´esolution.

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Exercice7 :On consid`ere le langage form´e des deux symboles de constanteaetb, des symboles de fonction unairehetk, et des symboles de fonction binairef etg. Unifier les syst`emes suivants :

a) {(gv0ghbgv2v3, gggv5v1hv4ghbv0)}.

b) {(gv3ggv2agv0v1, gggv0v2gv0v1ggv2av3)}.

c) {(gv4ggf gv1v6f v5v12gf v10av2f v7v8, gf f v3v9f v11v11ggv2gf v10af v6v0v4)}.

d) {(f v2f f f gv4v1f v3v5f gv7bv0gv6v8, f ggv9v3gv9v10f f v0f gv7bf v11v12v2)}.

e) {(gv0gggkv5gv11v7ggv1ghv2kv8v6hv9, ghgv10v3ggv6ggkkv4ghv2v1gv12v8v0)}.