2nd10 DS 5 Correction : Variations de fonction et statistique 22 janvier 2019 Exercice 1 : Questions classiques sur les fonctions affines (15 minutes) (41/2 points)
1. Soitf d´efinie surRparf(x) = 5x+ 2. f est-elle une fonction affine ? Justifier.
2. Dresser le tableau de signes puis d´ecrire les variations de f d´efinie par f(x) =−3x+ 5.
3. Tracer sur un graphique les fonctionsf etg d´efinie par f(x) =−2x+ 3 etg(x) = 16x+ 56. Solution:
1. f n’est pas une fonction affine. En effetf(1) = 7, f(2) = 52 + 2 = 92 etf(3) = 53 + 2 = 113. f(3)−f(2)6=f(2)−f(1). La progression n’est donc pas lin´eaire.
2.
x
−3x+ 5
−∞ 53 +∞
+ 0 −
−3<0 donc la fonction est d´ecroissante.
3. f(0) = 3 et f(2) =−1 et f(1) = 1 etf(7) = 2.
On obtient le graphique :
−1 1 2 3 4 5 6 7
−1 1 2 3
0 A
B C
D a
b
Exercice 2 : Questions classiques sur les vecteurs (15 minutes) (41/2 points) On se donne un rep`ere (O;I;J). SoientA(1; 2),B(3; 3), C(8;112 ),D(3; 1) et E(10; 5).
1. (a) Les vecteurs−−→
AB et−−→
BC sont-ils colin´eaires ? (b) Que peut-on en conclure ?
2. (a) Les vecteurs−−→
AB et−−→
DE sont-ils colin´eaires ? (b) Que peut-on en conclure ?
3. Est-il possible que les vecteurs~u x+57
et~v x−5−4
soient colin´eaires ? Justifier.
Solution:
1. −−→ AB 21
et −−→ BC 55
2
. 5−−→
AB= 2−−→ BC.
Donc −−→ AB et−−→
BC sont colin´eaires.
Les points A,B etC sont align´es.
(a)2. (a) −−→ AB 21
et −−→
DE 74 .
2×4 = 8 et 7×1 = 7 donc −−→
AB et−−→
DE ne sont pas colin´eaires.
(b) Les droites (AB) et (DE) ne sont pas parall`eles.
3. Les vecteurs~u et~v sont colin´eaires
⇔(x+ 5)(x−5)−7× −4 = 0⇔x2−25 + 28 = 0⇔x2+ 3 = 0.
Il n’y a pas de solution `a l’´equation donc les vecteurs~u et~v ne peuvent pas ˆetre colin´eaires.
Exercice 3 : Petit probl`eme avec fonction affine (10 minutes) (31/2 points) Monsieur Benoit, c´el`ebre informaticien (et math´ematicien), se lance dans la vente d’algorithmes aux ´el`eves du lyc´ee pour payer un voyage scolaire `a ses secondes.
2nd10 DS 5 Page 2 sur 3 Il d´epense 60 euros en frais divers pour concevoir 200 algorithmes.
Chaque algorithme est vendu 70 centimes.
1. S’il r´eussit `a vendre 50 algorithmes, quel sera son b´en´efice ? S’il r´eussit `a vendre 150 algorithmes, quel sera son b´en´efice ?
2. D´eterminer l’expression de la fonctionf qui, `a un nombrex d’algorithmes vendus associe le b´en´efice f(x).
3. Dresser le tableau de signes def(x).
4. Quel renseignement ce tableau de signes donne `a monsieur Benoit ?
5. Monsieur Benoit a-il une chance de payer le voyage scolaire `a ses secondes avec ces ventes ? Solution:
1. S’il vend 50 algorithmes, son b´en´efice sera 50×0,7−60 = 35−60 =−25. Il perdera 25 euros.
S’il vend 150 algorithmes, son b´en´efice sera 150×0,7−60 = 45. Il gagnera 45 euros.
2. f(x) = 0,7x−60.
3.
x f(x)
−∞ 6007 +∞
− 0 +
4. Monsieur Benoit gagnera de l’argent `a partir de 86 algorithmes vendus.
5. Monsieur Benoit peut gagner au maximum 200×0,7−60 = 80.
Il ne pourra pas payer de voyage scolaire avec si peu d’argent pour 36 ´el`eves (environ 2,2 euros par ´el`eve).
Exercice 4 : ´Ecrire une fonction (10 minutes) (31/2 points) 1. On se donne la fonction suivante :
1 def m y s t e r e ( a , b ) :
2 tmp = a
3 i f tmp < b :
4 tmp = b
5 return tmp
(a) Que retourne la fonction sia= 5 etb= 7 ? Si a= 3 etb= 2 ? Sia= 4 etb= 4 ?
(b) Expliquer ce que fait cette fonction.
2. ´Ecrire la fonctionmaxiqui prend en argumenta, betcet renvoie le plus grand nombres entre les 3.
Solution:
1. (a) Poura= 5 etb= 7, la fonction retourne 7.
Pour a= 3 etb= 2, la fonction retourne 3.
(b) Cette fonction retourne le maximum des nombresa etb.
2.
1 def maxi ( a , b , c ) :
2 tmp = a
3 i f tmp < b :
4 tmp = b
5 i f tmp < c :
6 tmp = c
7 return tmp
Exercice 5 : Parall´elogramme et alignement (10 minutes) (4 points) On consid`ere un parall´elogramme ABCD.
1. Construire les points M etN d´efinis par :
2nd10 DS 5 Page 3 sur 3
• −−→
AM = 3−−→
AD • −−→
BN = 1 2
−−→ AB 2. Exprimer −−→
CN en fonction de −−→
AB et−−→
AD. 3. Exprimer−−→
CM en fonction de −−→
AB et−−→ AD.
4. Montrer que les pointsC,M etN sont align´es.
Solution:
1.
A B
C D
M
N g
2. −−→
CN =−−→ CB+−−→
BN =−−−→
AD+12−−→ AB.
3. −−→
CM =−−→
CD+−−→ DA+−−→
AM =−−−→
AB+ 2−−→ AD.
4. On remarque que−2−−→
CN =−−→
CM.
