Chapitre I : Intégrale de Riemann

Chapitre I : Intégrale de Riemann

1) Fonctions en escaliers

Soit [a, b] un intervalle fermé borné deR. On appelle subdivision de [a, b], qu’on note (d), toute suite finie et strictement croissante de points de [a, b], de premier terme a et de dernier terme b :

x₀ =a < x₁ <· · ·< x_n=b.

On écrit (d) = (x₀ =a, x₁,· · · , x_n =b).

Définition 1 (Subdivisions d’un segment ou d’intervalle fermé borné).

Le nombre δ(d) = sup

1≤k≤n

(x_k−xk−1) s’appelle le pas de la subdivision (d).

A chaque subdivision (d) = (x₀ =a, x₁,· · · , x_n=b), on associe l’ensembleD={x₀, x₁,· · · , x_n} des valeurs de la suite (d).

Soient (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , x_n = b) et (d⁰) = (x⁰₀ = a, x⁰₁,· · · , x⁰_n = b) deux subdivisons de [a, b] dont les ensembles associés sont D et D⁰ respectivement.

On dit que (d⁰) est plus fine que (d) si D⊂D⁰. Définition 2.

Étant donné deux subdivisions (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , xn = b) et (d⁰) = (x⁰₀ = a, x⁰₁,· · · , x⁰_n = b) de [a, b]. On appelle réunion de (d) et (d⁰), qu’on note (d)∨(d⁰), la subdivision (d”) obtenue en rangeant par ordre strictement croissant les points de D∪D⁰.

Définition 3.

Cette subdivision est à la fois plus fine que (d) et (d⁰). L’ensemble des subdivisions d’un intervalle [a, b] sera noté D([a, b]).

(a) Soit n ∈ N. Pour k ∈ {0,1,· · · , n}, pour x_k = a+k(b−a)

n . Alors (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , x_n =b) est une subdivision de [a, b], appelé subdivision régulière de [a, b] :

x_k−x_k−1 = (b−a) n .

(b) Soient deux subdivisions de [0,1], (d) = (0,¹₃,¹₂,1) et (d⁰) = (0,¹₄,¹₂,³₄,1) alors (d)∨(d⁰) = (0,¹₄,¹₃,¹₂,³₄,1)

Exemples.

Une fonction ϕ : [a, b] → R est dite en escalier sur [a, b] s’il existe une subdivision (d) = (x₀ =a, x₁,· · · , x_n =b) de [a, b], dite associée àϕtelle queϕest constante sur chaque intervalle ]xk−1, x_k[, k = 1,· · · , n.

Les valeurs de ϕ aux points x_k (k = 0,· · · , n) n’ont pas d’intérêt. (elles sont quel- conques).

Définition 4 (Fonction en escalier).

(a) Si (d) est une subdivision associée àϕsur [a, b], alors toute subdivision (d⁰) plus fine que (d) est encore associée à ϕsur [a, b].

(b) Toute fonction ϕ en escalier sur [a, b] est bornée sur [a, b], c’est-à-dire ∃ m ∈ R,∃M ∈R tels que m≤ϕ(x)≤M ∀x∈[a, b].

Remarques.

La fonction partie entière ϕ : [−2,4] → R, x 7→ E(x) est une fonction en escalier sur [−2,4].

Exemple.

(a) Soient ϕ et ψ deux fonctions en escalier sur [a, b], alors les fonctions ϕ+ψ et ϕ×ψ sont aussi en escalier sur [a, b].

(b) Si ϕest en escalier sur [a, b], alors pour tout λ∈R,λϕ est aussi en escalier sur [a, b].

(c) Si ϕ : [a, b] → E ⊂ R est une fonction en escalier et si g : E → R est une fonction, alors la fonction composée g◦ϕest en escalier sur [a, b].

Proposition 5.

Démonstration. Voir T.D

2) Intégrale d’une fonction en escalier

On commence par établir le résultat suivant :

Soit ϕ une fonction en escalier sur [a, b] et soit (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , xn = b) une subdivision associée àϕsur [a, b] et soitα_k =ϕ(x), ∀x∈]x_k−1, x_k[k = 1,· · · , n. Alors le nombre I(ϕ, d) =

n

X

k=1

(x_k−xk−1)×αk ne dépend que deϕet non de la subdivision (d) associée à ϕsur [a, b].

Proposition 6.

Démonstration. Il s’agit de montrer que si (d) et (d⁰) sont deux subdivisions associée à ϕ sur [a, b], alors I(ϕ, d) = I(ϕ, d⁰).

Première étape : Supposons queD⁰ =D∪{x}, x∈]a, b[. On a (d) = (x₀ =a, x₁,· · · , x_k, xk−1,· · · , x_n= b) et (d⁰) = (x₀ =a, x₁,· · · , x_k, x, xk−1,· · · , x_n=b), alors

I(ϕ, d) =

n

X

k=1

(x_k−xk−1)×αk

I(ϕ, d⁰) = (x₁−x₀)α₁+· · ·+ (x_k−xk−1)α_k+ (x_k+1−x_k)α_k+1+· · ·+ (x_n−xn−1)α_n

=I(ϕ, d).

Par récurrence, on voit que si (d⁰) est plus fine que (d), on a I(ϕ, d⁰) = I(ϕ, d).

Deuxième étape : (d) et (d⁰) sont deux subdivisions de [a, b] associée à ϕ. Alors

I(ϕ,(d)∨(d⁰)) = I(ϕ, d) I(ϕ,(d)∨(d⁰)) = I(ϕ, d⁰), donc

I(ϕ, d) = I(ϕ, d⁰).

Soit ϕ: [a, b]→ R est une fonction en escalier. L’intégrale de ϕ sur [a, b] est de réel noté

Z b a

ϕ(x)dx définie par

Z b a

ϕ(x)dx=I(ϕ, d) =

n

X

k=1

(x_k−xk−1)×α_k,

où (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , x_n = b) est une subdivision de [a, b] associée à ϕ et α_k = ϕ(x)∀x∈]xk−1, x_k[, ∀k = 1,· · · , n.

Définition 7.

(a) Si ϕ(x) = 1, ∀x∈[a, b], posons (d) = (x₀ =a, x₁ =b) alors

Z b a

ϕ(x)dx= (x₁−x₀)×α₁ =b−a.

(b) Si ϕ(x) = −1, ∀x∈[a, b], posons (d) = (x₀ =a, x₁ =b) alors

Z b a

ϕ(x)dx= (x₁ −x₀)×α₁ =−(b−a) =a−b.

(c) Si ϕ(x) est une fonction qui est nulle sauf en un nombre finie de points de [a, b], alors ϕest une fonction en escalier sur [a, b] et on a

Z b a

ϕ(x)dx= 0.

Exemples. (Exemples Importants)

On donne maintenant quelques propriétés de l’intégrale des fonctions en escalier sur un inter- valle [a, b] de R.

Soit ϕ une fonction en escalier sur [a, b] et soit c ∈]a, b[. Alors ϕ est en escalier sur [a, c] et sur [c, b] et on a

Z b a

ϕ(x)dx=

Z c a

ϕ(x)dx+

Z b c

ϕ(x)dx.

Proposition 8 (Relation de Charles).

Démonstration. Soit (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , x_n = b) une subdivision de [a, b] associée à ϕ, avec ϕ(x) = α_k ∀x∈]xk−1, x_k[.

c∈]a, b[ implique que ∃k₀ tel que c∈ [x_k0−1, x_k0], alors (d₁) = (x₀ = a,· · · , x_k0−1, c) et (d₂) = (c, x_k0,· · · , x_n=b) sont deux subdivisions respectivement de [a, c] et [c, b], et on a :

Z c a

ϕ(x)dx= (x₁−a)α₀+· · ·+ (c−x_k0−1)α_k0

Z b c

ϕ(x)dx= (x_k0 −c)α_k0 +· · ·+ (b−x_n−1)α_n,

alors

Z c a

ϕ(x)dx+

Z b c

ϕ(x)dx= (x₁−a)α₀+· · ·+ (b−xn−1)α_n =

Z b a

ϕ(x)dx.

Soient ϕ et ψ deux fonctions en escalier sur [a, b]. Alors pour tout λ, µ ∈ R, la fonction λϕ+µψ est en escalier sur [a, b] et on a

Z b a

(λϕ+µψ) (x)dx=λ

Z b a

ϕ(x)dx+µ

Z b a

ψ(x)dx.

Proposition 9 (Linéarité).

1− Siϕ une fonction numérique positive en escalier sur [a, b], alors

Z b a

ϕ(x)dx≥0.

2− Si ϕ etψ deux fonctions en escalier sur [a, b] telles que ϕ(x)≤ ψ(x), ∀x∈[a, b], alors

Z b a

ϕ(x)dx≤

Z b a

ψ(x)dx.

Proposition 10 (Croissance).

Démonstration. 1− Soit (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , x_n = b) une subdivision de [a, b] associée à ϕ, avec ϕ(x) = αk ∀x∈]xk−1, xk[, k= 1,· · · , n. Alors αk ≥0 et donc

Z b a

ϕ(x)dx=

n

X

k=1

(x_k−xk−1)α_k≥0.

2− On a ϕ(x)≤ψ(x), ∀x∈[a, b], doncψ(x)−ϕ(x)≥0, ∀x∈[a, b]. Alors

Z b a

(ψ(x)−ϕ(x))dx≥0,

et d’après (1)

Z b a

(ψ(x)−ϕ(x))dx=

Z b a

ψ(x)dx−

Z b a

ϕ(x)dx.

Soit ϕune fonction en escalier sur [a, b]. Alors |ϕ| est aussi en escalier sur [a, b] et on

a

Z b a

ϕ(x)dx

≤

Z b a

|ϕ(x)|dx.

Proposition 11 (Majoration).

Démonstration. Soit (d) = (x₀ = a, x₁,· · · , x_n = b) une subdivision de [a, b] associée à ϕ, avec ϕ(x) = α_k ∀x ∈]xk−1, x_k[, (k = 1,· · · , n). Alors (d) est aussi une subdivision de [a, b]

associée à |ϕ|, avec |ϕ(x)|=|αk|, ∀x∈]xk−1, xk[ (k = 1,· · · , n). Alors

Z b a

ϕ(x)dx

=

n

X

k=1

(x_k−xk−1)α_k

≤

n

X

k=1

|(x_k−xk−1)α_k|=

n

X

k=1

(x_k−xk−1)|α_k|

=

Z b a

|ϕ(x)|dx.