Représentations des groupes et identités polynomiales

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

L. H

ABSIEGER

Représentations des groupes et identités polynomiales

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 3, n

o

_{1 (1991), p. 1-11}

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Représentations

des

_groupes

et

identités

_{polynomiales.}

par L. HABSIEGER

Résumé 2014 Plusieurs _problèmes liés au _problème de _Waring utilisent des

identités où l’on _exprime une forme linéaire en x comme somme ou différence

de puissances k-ièmes de formes linéaires en x. La plupart de ces identités sont fournies _par des solutions au _problème de Tarry-Escott, sauf deux

d’entre _elles, dues à Rao et Vaserstein. Nous montrons que ces deux iden

tités sont naturellement liées aux _groupes S2 S2 et _{S3, puis développons}

une théorie _{qui permet} d’associer à _{chaque groupe} fini _quelques identités

de ce _type.

1. Problèmes liés au

problème

de

Waring

Dans toute cette section k

_désignera

un entier naturel donné

supérieur

ou

égal

à 2.

Le

_problème

de

_Waring

consiste à trouver l’entier naturel s minimal

pour

lequel

tout entier naturel s’écrit comme somme de s

puissances

k-ièmes d’entiers naturels. Le

_problème

est résolu

_(cf.

_[H-W,

p.

337]

et

[D-D])

et l’on a en

général

g(k)

=

2~

_-f-

[(3/2)k] -

2,

où

g(k)

est l’entier

minimal recherché et où

_~x~

_représente

la

_partie

entière d’un nombre réel x . Le

_problème

de

_Waring

_asymptotique

consiste à déterminer l’entier

na-turel s minimal _pour

_lequel

tout entier naturel suffisamment

_grand

s’écrit

comme somme de s

puissances

k-ièmes d’entiers naturels. Ce

minimum,

noté

_G(k)

n’est connu _{que pour} deux valeurs

de k,

à savoir

G(2) =

4 et

G(4) =

16. En fait on a

toujours

G(2"’ ) &#x3E;

2m+2

et on

conjecture

_que

G(~)

4~. Toutefois la meilleure

_majoration

de

_G(k)

semble être

_{[K] :}

Le

_problème

de

_{Waring signé}

_(que

_Wright

_[W]

avait malencontreusement

baptisé problème

de

_{Waring "plus}

_facile")

consiste à trouver l’entier naturel

s minimal _pour

lequel

tout entier naturel s’écrit comme somme ou différence de s

_puissances

k-ièmes d’entiers naturels. Ce

_minimum,

noté

_v(k),

n’est connu _que

pour k

= 2 et on a

v(2)

= 3. En fait _{on a}

toujours

v(2"’ ) &#x3E;

~~.+1

+ 1 et on

_conjecture

_que

v(k)

21~ + 1. Toutefois la meilleure borne

supérieure

pour

v(k)

est celle

(triviale)

donnée par

v(k)

+ 1. Le

_problème

de

_Waring

rationnel

_signé

consiste à déterminer l’entier naturel s minimal _pour

_lequel

tout rationnel

_s’exprime

comme somme ou

différence de s

_puissances

k-ièmes de rationnels. Ce

minimum,

noté

_p(k)

[C-C]

est

_majoré

_par 2k - 2 _pour

_plus

_p(6)

8 et

p(8)

12.

Le

_problème

de

_Waring

en 0 consiste à trouver une

représentation

non triviale de 0 comme somme ou différence de

puissances

k-ièmes d’entiers naturels. Le nombre minimal de termes de cette

_{représentation,}

noté

_0(k),

est déterminé

_{pour k E}

_{{2,3,4} :}

on a

_{0(2) =}

₃ en utilisant des

triplets

pythagoréens,

0(3)

= 4 en utilisant le

_grand

théorème de Fermat et

_{l’égalité}

103

+

9‘~

= 123 ₊

13

_et

0(4)

= 4 en utilisant le

_grand

théorème de Fermat

et les solutions de Elkies

_[E]

et

_Frye

de

_{l’équation}

A4

_{-~- B4}

+

C4

=

D4.

De

même l’identité de Lander et Parkin

_[L-P]

27‘5

+

84’~

+

110‘5

+

133‘5

=

144-5

entraine _que

₀₍₅₎

E

_{4,5}.

Enfin Chowla et Cowles

_[C-C]

ont montré _que

e(~)

2k.

Un outil fructueux dans l’étude de ces trois derniers

problème

est l’uti-lisation de solutions au

_problème

de

_{Tarry-Escott.}

Ce dernier

_problème

consiste à chercher l’entier naturel s minimal _pour

_lequel

il existe deux

s-uplets

d’entiers

_{(as , ... , a, )}

et

_{(bl,..., b.,)}

tels que

ai

+.+a’

=

b -f- -f- b R

pour 1 i -~- ~ ~ ~ + -E- ~ ~ ~ + . Ce

minimum,

noté

_T(k)

est minoré

_{par k}

+ 1. De

_plus

Hua

_[Hu]

a montré _que

ce

_qui

est assez loin de la valeur

_conjecturée

T(k)

= k + 1. Cette

conjecture

a été _vérifiée

_{pour k}

₉

_{(cf. [T], [Es], [L]).}

_{Ces solutions}

_permettent

d’écrire des identités du

_type

avec

C ~

0. Ainsi le

changement

de variable _y = Cx _{+ D} donne la

ma-joration

p(k) 2T(k - 2).

De

_{même, quand}

Cx + D =

zk,

_on voit que

8(1~~ 2T(k - 2)

+ 1. Enfin ce

_type

d’identité ramène l’étude du

problème

de

_{Waring signé}

dans Z au même

_problème

dans

_Z/CZ,

_pour

_lequel

on connaît de bonnes

_majorations

_[F-W].

_Toutefois,

il existe deux identités

polynomiales qui

permettent

d’améliorer les bornes fournies par les

solu-tions au

_problème

de

_{Tarry-Escott.}

Tout d’abord l’identité de Rao

_[R]

s’écrit

qui

permet

d’obtenir

_{v(6) 14, p(6)}

9 et

₀₍₆₎

9. De même l’identité de Vaserstein

_[V]

permet

d’obtenir

_{v(8) 28, p(8)}

12 et

₀₍₈₎

13.

Ces deux identités semblent être isolées.

_L’objet

de cet

_exposé

est de

montrer

_qu’elles

sont en fait deux

_exemples

d’une théorie _que nous allons

développer

et

_qui

fait

_appel

aux

représentations

de _{groupes finis. Dans} un

premier

temps

nous allons chercher des

_symétries

dans les formules

( 1.1 )

et

(1.2),

qui

motiveront les définitions à introduire. Nous donnerons alors les

principales propriétés

de cette nouvelle classe

_d’objets.

Enfin nous décrirons

l’algorithme

qui

permettra

d’obtenir de nouvelles identités

_polynomiales

et

donnerons

_{quelques exemples significatifs.}

Une

_{présentation}

_plus

_détaillée,

2. Définitions

Effectuons le

_changement

de variables

L’identité

_{( 1.2)}

s’écrit alors

l’..." 1

Dans l’identité

_~2.1),

le _groupe

₈₃

des

_permutations

de

_{{u, v, w~}

_apparaît

naturellement. Plus

_{précisement,}

_posons

_{w); y) =}

_{(u 7v}

et définissons

où

_désigne

la

_signature

de la

_permutation

u.

L’identité

_(2.1)

s’écrit alors

De

_plus

cette

_approche

_permet

de

_donner

une _preuve

rapide

de

(2.2).

Con-sidérons le coefficient

Ci

de _pour i E

_{{1, 2, 3},}

dans

_{F(y~ -}

_F(-y~.

On trouve

Comme les trois vecteurs

_{(50,50,18), (46,30,30)}

et

_{(42,10, 42)}

sont in-variants sous l’action d’une

transposition,

les

Ci

(i

6 {1,2,3})

sont nuls.

Remarquons

enfin _que ces trois vecteurs invariants s’obtiennent comme

combinaisons linéaires des vecteurs

_(7,10,0)

et

_(5,0,6)

intervenant dans la définition de

_{fo ;}

de

_plus

les coefficients de ces combinaisons linéaires

sont connus d’avance. Cette _remarque

_permet

_{d’expliquer}

comment on

peut

trouver intuitivement la formule

_(2.2).

Cherchons

_fo(y)

sous la forme

(e°

+

efJ y)8 ,

où e" et

efl

sont des

_{exponentielles}

formelles de vecteurs de

((:3 .

Les conditions d’invariance des

_Ci

fournissent un

système

de trois

équations

linéaires satisfaites _par les vecteurs a et

Q,

dont

(7,10, 0)

et

_(5,0,6)

sont

des solutions non triviales. Ce _{processus est} en fait un

algorithme général,

que nous décrirons dans la dernière section.

En suivant ce

_procédé

nous _pouvons aussi trouver _{et prouver}

_(1.1).

Plus

précisement,

en

_posant

on a

G(x) -

G(-x)

= C’x. Il semble donc _que les identités de Rao et de Vasertein soient naturellement associées aux _groupes

52

x

₆₂

et

Sa

respec-tivement. Nous allons maintenant

_développer

une théorie

qui s’applique

à

tout _groupe fini.

Donnons nous un _groupe fini

G,

un caractère non trivial défini sur G noté E, un _corps K de

caractéristique

nulle et une

représentation

V de

G sur K. Pour k e

_N,

nous dirons _que G est k-admissible sur V _par

rapport

à e si et seulement

si,

_{pour tout}

couple

de

k-uplets

de rationnels

(A,

/) =

... ,

Ak), (Pl,...,

J-lk»,

il existe deux vecteurs a et

Q

de V

qui

satisfont aux deux conditions

Ici

_{Fix g}

_désigne

l’ensemble des vecteurs des V laissés invariants _par l’action de _g. la condition

_i)

fournit un

système

d’équations

satisfaites _par a et

_Q

et la condition

_ii)

_exige

des solutions non triviales. De

_plus

ce

système

étant

_homogène,

les solutions

_pourront

en

_{général s’exprimer}

sous

forme de déterminants en

(À,

Ceci motive une seconde définition. Nous

deux fonctions

_polynomiales

à et

_,Q,

en 21~ variables

Ai , ... , A k ,

_{p , ... , Pk)} à valeurs dans V telles _que

Ici Fix

_désigne

l’ensemble des fonctions

_polynomiales

laissés invariantes

par l’action

de g

(qui

opère

sur une fonction

f

à valeurs dans V _par

=

On

_peut

montrer que, si G est

_(faiblement)

k-admissible sur V _par

rap-port

à _f, alors G est

_(faiblement)

i-admissible sur V _par

_rapport

à _{E, pour}

tout entier naturel inférieur à I~. De

_plus,

comme les _gi

_qui

interviennent

dans les conditions

_i)

et

_iii)

sont

_distincts,

l’entier k est formément borné

par l’ordre de G. Ceci nous

_permet

de

(resp.(F,,(V;K»

comme étant le

plus grand

entier k _pour

lequel

G est k-admissible

_(resp.

faiblement

_{k-admissible)}

sur V _par

rapport

à E. De même nous _pouvons

définir comme étant la valeur maximale des

K) (resp.

kf(V;

I))

lorsque V

parcourt toutes les

_{représentations}

de

G.

_L’objet

de la

_prochaine

section sera de tenter de calculer ces diverses

quantités.

3.

_{Propriétés.}

Dans le but de réduire le nombre de

_{représentations}

de G à considérer

pour

calculer k,(G;K),

nous avons

montré,

en utilisant des vecteurs du

typea+Oou

que :

En

_particulier,

si G

_agit

trivialement sur

~2,

il y a

égalité.

Nous verrons même ultérieurement _que la deuxième

_inégalité

est en fait

_toujours

une

égalité.

La similarité de ces deux

inégalités

ainsi _que des définitions du

-

Pour

_supporter

cette

_conjecture,

nous avons

prouvé

~’),

ce

qui

justifie

le

terminologie

"faiblement" . De

plus

cette dernière

inégalité

permettra

d’utiliser des formules de faible k-admissibilité dans le cas usuel. Plus

précisement

nous avons la formule exacte

Cette formule

_exprime

le fait

_qu’il

existe des solutions non triviales si le

nombre d’inconnues est strictement

_supérieur

au _{rang du}

système

considéré. Nous _pouvons en déduire

quelques

corollaires intéressants comme :

-

--Notons

_{donc k,(G)}

= Le deuxième

corollaire, jumelé

_avec

la formule donnant

_h’),

_permettra

de

_transposer

notre étude dans un _corps

_{algébriquement}

_clos,

dont les

_{représentations}

sont

_plus

aisées à décrire. En

_particulier

nous

aurons k,(G)

=

max k,(V; C),

lorsque

V

parcourt

les

_{représentations}

_complexes

irréductibles de G. Ainsi

_k,(G)

est calculable en un nombre fini

_d’étapes,

à l’aide de la formule donnant Par

_exemple,

en notant

Dn,

le groupe dihédral d’ordre

_2n,’

nous avons = = n _pour n

_3,

3

_{pour n &#x3E;}

_3,

lorsque

E est le déterminant usuel.

En vue d’utiliser ces résultats _pour aborder les

problèmes

décrits dans la

première section,

nous sommes amené à chercher à minimiser la taille des

groupes considérés. En notant Un le groupe des racines

primitives

n-ièmes

de

_l’unité,

_posons donc

Nous avons

gl(k) =

+oo mais +oo _{pour n &#x3E;} 2. En

_effet,

en

utilisant

_{l’inégalité}

il suffit de _{montrer que +oo ;} le résultat s’ensuit car

k, (Cn, ; Q)

=

1,

si e est un caractère bien choisi défini sur le groupe

cyclique C~ .

De

plus,

en

majoration

g2(3~

+

_r)

Ceci nous

_permet

de _{prouver que}

g2(1)

=

_2,

92 (2) -

4,

92 (3) -

6 et

_{g2 (4)}

= 12. Toutefois il

s’agit

là d’une

majoration

assez

grossière

de et elle doit être nettement améliorable _pour des

valeurs de m

plus grandes. Explicitons

maintenant

quelques

identités _que

l’on

_peut

obtenir de cette manière.

4.

_Algorithme

et

_exemples.

Supposons

que G soit k-admissible sur V _par

_rapport

à _c, où E’~ = 1.

Alors il existe

_41GI

formes linéaires distinctes à coefficients dans telles _{que :}

’

- - -- - - - .

-En effet fixons-nous une base

(e~ , ... , ed)

de V _{et, pour} tout

_{vecteur y}

de coordonnées

_{(yy , ... ,}

dans cette

_base,

_posons e7 =

XJ1

... Prenons

tout d’abord

_{(A, ~) _ ((3, 5, ... , 2k+1), (2~-2,2Jb-4,.... 0)).}

Déterminons alors les vecteurs a et

fl sujets

aux conditions

i)

et

ii)

et définissons

Ig,

1 (x)

et _par

_ _ _ _

La fonction

_{F(x~ - F(-x~}

est

_impaire

_et,

_pour i

_{6 {1,..., k},}

son

Ceci montre la

_première

identité. Les trois autres se

_prouvent

de la même manière.

Ecrivons maintenant les formules obtenues à

_partir

des

_premiers

groupes dihédraux.

Considérons tout d’abord la

_{représentation régulière}

de

_{Dl =}

_,S’2,

muni du caractère non trivial. Les deux

premières

fonctions

polynomiales

as-sociées sont définies _par les formules

en

_posant

(a, b) =

(e(3,O), e(O,3»)

et

_{(a, b) =}

_{(e(l,O), e~~~~~)}

_{respectivement.}

Ceci montre que

v(3)

8, v(4)

12,

p(3)

4,

p(4)

4,

0(3)

5,

0(4) :5

5 ;

la

_majoration

_p(4)

4 semble être nouvelle.

Lorsque

G =

D2

=

,5‘Z

_x

82,

on utilise les résultats obtenus _pour

,5‘2

_pour

1

obtenir d’une _part l’identité de Rao et d’autre

_part

l’identité

, , , ,

Ceci montre _que

_v(5)

_13,

_v(6)

_14,

_p(5)

_8,

_p(6)

_8,

₈₍₅₎

_9,

₀₍₆₎

9

; les

majorations

obtenues

pour k

= 6 sont meilleures _que celles fournies

par les solutions du

problème

de

Tarry-Escott.

Lorsque

G =

_{D3 =}

_83,

on choisit la

représentation

tridimensionnelle

naturelle de muni de la

_signature.

Les fonctions

_polynomiales

associées

sont alors définies _par

_{â(~, ~) _}

et =

On trouve ainsi d’une _part l’identité de Rao et

Ceci montre _que

_{v(7) 16, p(8)}

_{28, p(7) 12, p(8) 12, 8(7)}

13,0(8)

13 ;

à _nouveau, les

_majorations

obtenues

_{pour k}

= 8 sont

meilleures _que celles fournies _par les solutions du

_problème

de

_{Tarry-Escott.}

Nous n’avons _pas

_explicité

les identités dont le second membre est nul. En effet les bornes

_{supérieures qu’elles}

fournissent _pour la fonction 0 sont

moins bonnes _que celles trouvées ci-dessus. Ceci est dû au fait _que

g2(k

+

1)

&#x3E;

_g2(k)

+

1,

pour les valeurs de k considérées.

Signalons

enfin _que certaines identités sont

_susceptibles

d’être

raccour-cies,

en

_opérant

les

_{simplifications adéquates.}

Par

_exemple,

_{pour k =}

10,

la méthode

_générale

_appliquée

au _groupe

52

x

₆₃

fournit l’identité

F(x) - F(-x)

= où l’on a

posé

et

En

_imposant

_que

av3w21

-+-

bu9 v2 x

=

bw3u21

_-~-

av9 w2 x,

nous devons _poser

u =

vt4, w

=

vt3,

a =

b~‘~~,

pour un certain t. Ceci nous conduit à l’identité

où l’on a posé

et

Toutefois cette dernière identité fournit une moins bonne

_majoration

_que

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U.F.R. de Mathématiques 351, cours de la Libération