X ∼ χ 2 p.Trouveraet btels queP (a ≤ X ≤ b) = 0.95

(1)

L3 EURIA

Feuille d'exercices 2

27 janvier 2010

Exercice 1

a.Soit

X ∼ χ ² _p

^.^Trouver

a

^et

b

^tels ^que

P (a ≤ X ≤ b) = 0.95

b.Soit

X ∼ χ ² ₁

^.^Montrer, ^en^utilisant^la^table^de^la^loi

N (0, 1)

^,^que

P (X < 1.96 ² ) = 0.95

c.Soit

X ∼ F 20,15

^.^Trouver

a

^et

b

^tels^que

P (a ≤ X ≤ b) = 0.95

d.Soit

X ∼ F 1,500

^.^Trouver

a

^tel^que

P (X ≤ a) = 0.95

^.^Vérier^que

a ≈ 1.96 ²

^.^Justier.

e.Soit

X ∼ T 20

^.^Trouver

a

^et

b

^tels^que

P (a ≤ X ≤ b) = 0.95

f.Soit

X ∼ T 200

^.^Trouver

a

^tel^que

P(|X | ≤ a) = 0.95

^.^Vérier^que

a ≈ 1.96 ²

^.^Justier.

Exercice 2

Lorsducontrôled'unchaînedemédicaments,ons'intéresseaunombredecomprimésdéfectueux

dansunlot.Lestests eectuéssur20lotschoisisauhasardontdonnélesrésultatssuivants:

1,0,0,3,2,0,5,2,0,0,1,2,1,3,0,1,0,0,2,7

Onsupposeraquecesobservationsproviennentd'unéchantillond'uneloideprobabilité

inconnue,d'espérancemathématique

µ

^et ^de^variance

σ ²

^.

a.Onconsidèrelesquatreestimateurssuivantspour

µ

^:

T 1 = X 1

T 2 = ^X ¹ ^+X ₂ ²

T 3 = ^X ¹ ^+X ₃ ²

X ¯ = ^X ¹ ^+X ² ^+...+X _n ⁿ

Quereprésentent

X i

^et

n

^dans^la^dénition ^desestimateurs?Quelleshypothèsessontfaitessur

X 1 , X 2 , ..., X n

^?

Calculerlebiais,lavarianceetl'erreurquadratiquemoyennedeces4estimateurs.Quelestle

meilleurestimateur?Quelleestl'estimation correspondante?

b.Proposerunestimateurde

σ ²

^et ^calculerl'estimationcorrespondante.

c.Proposerunestimateurdelaproportiondelots quicontiennentaumoins uncomprimé

défectueuxet calculerl'estimationcorrespondante.

Exercice 3

Existe-t-ilunestimateursansbiaisduparamètre

θ = _π ¹

^pour^unéchantillondetaille1d'uneloi deBernoullideparamètre

π

^?

(2)

Soit

(X 1 , ..., X n )

ⁿ ^variables^aléatoires^i.i.d.^d'une^loi^de^moyenne

µ

^et ^de^variance

σ ²

^.

a.Donneruneconditionnécessaireetsusantesurlesconstantesréelles

a 1 , ..., a n

^pour^que

_n

i=1 a i X i

^soit ^un^estimateur^sans^biais^de

µ

^.

b.Parmitouslesestimateursde

µ

^de^la^forme

_n

i=1 a i X i

^,^quel^est^celui^de^variance^minimale^?

Quelest lebiaisdecetestimateur?

c.Parmitouslesestimateursde

µ

^de^la^forme

_n

i=1 a i X i

^,^quel^est^celui^dont^l'erreurquadratique moyenneest minimale?

d.Parmilesestimateurssansbiaisde

µ

^de^la^forme

_n

i=1 a _i X _i

^,^quel^est^celui^de^variance

minimale?

X ∼ χ 2 p.Trouveraet btels queP (a ≤ X ≤ b) = 0.95

X ∼ χ 2 p

a

b

P (a ≤ X ≤ b) = 0.95

X ∼ χ 2 1

N (0, 1)

P (X < 1.96 2 ) = 0.95

X ∼ F 20,15

a

b

P (a ≤ X ≤ b) = 0.95

X ∼ F 1,500

a

P (X ≤ a) = 0.95

a ≈ 1.96 2

X ∼ T 20

a

b

P (a ≤ X ≤ b) = 0.95

X ∼ T 200

a

P(|X | ≤ a) = 0.95

a ≈ 1.96 2

µ

σ 2

µ

T 1 = X 1

T 2 = X 1 +X 2 2

T 3 = X 1 +X 3 2

X ¯ = X 1 +X 2 +...+X n n

X i

n

X 1 , X 2 , ..., X n

σ 2

θ = π 1

π

(X 1 , ..., X n )

µ

σ 2

a 1 , ..., a n

n

i=1 a i X i

µ

µ

n

i=1 a i X i

µ

n

i=1 a i X i

µ

n

i=1 a i X i

X ∼ χ ² _p

X ∼ χ ² ₁

P (X < 1.96 ² ) = 0.95

a ≈ 1.96 ²

a ≈ 1.96 ²

σ ²

T 2 = ^X ¹ ^+X ₂ ²

T 3 = ^X ¹ ^+X ₃ ²

X ¯ = ^X ¹ ^+X ² ^+...+X _n ⁿ

σ ²

θ = _π ¹

σ ²

_n

_n

_n

_n

i=1 a _i X _i