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4 Distributions en dimension d > 1

4.1 Fonctions r´ eguli` eres et partition de l’unit´ e

Soit Ω⊂R^d un ensemble ouvert. On noteC^k(Ω) l’espace des fonctionsk fois continˆument diff´erentiables dans Ω,

C^∞(Ω) =

∞

\

k=0

C^k(Ω), D(Ω) =

ϕ∈C^∞(Ω), suppϕ⋐Ω . Siα= (α1, . . . , αd),αj∈Z₊, alors on note

|α|=α1+· · ·+αd, ∂^α= ∂^|α|

∂x^α₁¹. . . ∂x^α_d^d.

Lemme 4.1. L’espaceD(Ω)n’est pas vide. De plus, pour tout ensemble compact K⊂Ω il existeϕ∈ D(Ω) tel queϕ= 1surK.

D´emonstration. Soit

f(t) =

e^−1/t, t >0 0, t≤0.

Alorsf ∈C^∞(R). On d´efinit une fonctionω∈C^∞(R^d) parω(x) =f(1− |x|²).

Soitx0∈Ω. Alors la fonctionω ^x−x_ε ⁰

appartient `aD(Ω) pourε≪1.

On fixe maintenant un compact K ⊂ Ω et on note Kδ = {x ∈ R^d : dist(x, K)≤δ}. Soitε >0 tellement petit que K2ε⊂Ω et

ψ(x) = dist(x, K_2ε^c ) dist(x, Kε) + dist(x, K_2ε^c ).

Il est facile `a voir queψ ∈ C(R^d), ψ(x) = 1 pour x ∈ Kε et ψ(x) = 0 pour x∈K_2ε^c . SoitC=R

R^dω(x)dx. Alors la fonction ϕ(x) =C⁻¹

Z

R^d

ψ(y)ωε(x−y)dy, ωε(x) =ε^−dω(x/ε), v´erifie toutes les propri´et´es requises.

Th´eor`eme 4.2. SoitK⊂R^d un compact couvert par des ouverts Ω1, . . . ,Ωm. Alors il existe des fonctions non n´egativesϕj ∈ D(Ωj),j = 1, . . . , m, telles que

m

X

j=1

ϕj ≤1,

m

X

j=1

ϕj= 1 dans un voisinage ouvert deK.

Voir [LS98, Zui02] pour la d´emonstration.

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4.2 Distributions: d´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires

D´efinition 4.3. Soitf : D(Ω) →R(ou C) une fonctionnelle lin´eaire. On dit quef est une distribution si pour toutK⋐Ω il existe un entierm≥0 et une constanteC >0 tels que

|f(ϕ)| ≤CkϕkC^m pour toutϕ∈C₀^∞(K).

Notation:

f(ϕ) = (f, ϕ) = Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx.

Exemples 4.4. (a) La fonction de Dirac concentr´ee au pointx0∈R^d: (δx0, ϕ) =ϕ(x0).

(b) Toute fonctionf localement int´egrable dans Ω d´efinit une distribution : (f, ϕ) =

Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx.

(c) Soit α^j ∈ Z^d₊, aj ∈ R^d et cj ∈ R, j = 1, . . . , m. Alors la fonctionnelle f :D(Ω)→Rd´efinie par la relation

(f, ϕ) =

m

X

j=1

cj∂^αjϕ(aj) est une distribution.

Proposition 4.5. Soitf :D(Ω)→Rune fonctionnelle. Alorsf ∈ D^′(Ω) ssif v´erifie la propri´et´e suivante :

(P) si{ϕj} ⊂ D(Ω) est une suite telle que

suppϕj ⊂K pour tout j≥1,

kϕjk_Cm(K)→0 quandj→ ∞pour toutm≥0, o`uK⊂Ωest un compact, alorsf(ϕj)→0 quandj→ ∞.

Si {ϕj} ⊂ D(Ω) est une suite v´erifiant la propri´et´e (P) pour un ensmble compactK⊂Ω, alors on dit que{ϕj} converge vers z´ero dansD(Ω).

Exercice 4.6. D´emontrer la proposition.

D´efinition 4.7. Soit {fk} ⊂ D^′(Ω) une suite. On dit que{fk} converge vers f ∈ D^′(Ω) si

(fk, ϕ)→(f, ϕ) pour toutϕ∈ D(Ω).

Exemple 4.8. Soitω ∈C₀^∞(R^d),ω≥0,R

ω dx= 1. Alors pour toutx0∈R^d ωn(x) :=n^dω(n(x−x0))→δ(x−x0) dansD^′(R^d).

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Th´eor`eme 4.9. (sans d´emonstration)Soit{fk} ⊂ D^′(Ω)une suite telle que (fk, ϕ)converge pour toutϕ∈ D(Ω). Alors il existef ∈ D^′(Ω) tel quefk →f dansD^′(Ω).

D´efinition 4.10. Soitf ∈ D^′(Ω) et Ω1⊂Ω un ouvert. On dit que f est nulle dans Ω1 si

(f, ϕ) = 0 pour toutϕ∈ D(Ω).

On noteNf l’ouvert maximal dans lequelf est nulle. L’ensemble ferm´e Ω\ Nf

est appel´e le support def:

suppf = Ω\ Nf.

Exemples 4.11. (a) Soit f ∈C(Ω). Alors suppf ={x∈Ω :f(x)6= 0}.

(b) Soitα^j ∈Z^d₊,aj∈R^d et cj ∈R\ {0},j= 1, . . . , m. Soit (f, ϕ) =

m

X

j=1

cj∂^αjϕ(aj), ϕ∈ D(R^d).

Alors suppf ={a1, . . . , am}.

(c) Soitf ∈L¹_loc(Ω) et Ω1 ⊂Ω un ouvert. Alorsf _Ω

1 = 0 si et seulement si f(x) = 0 pour presque toutx∈Ω1.

Proposition 4.12. Soit f ∈ D^′(Ω)etϕ∈ D(Ω). Sisuppf∩suppϕ=∅, alors (f, ϕ) = 0.

D´emonstration. Comme suppf ∩suppϕ = ∅, on a ϕ ∈ D(Nf), d’o`u on voit que (f, ϕ) = 0.

4.3 Op´ erations sur les distributions

4.3.1 Composition avec un diff´eomorphisme

Soit Ω,Ω^′ ⊂R^d des ouverts etu: Ω^′ →Ω un diff´eomorphisme. Si f ∈ D^′(Ω), alors on d´efinitf◦u∈ D^′(Ω^′) par la relation

(f◦u, ϕ) = Z

Ω

f(x) ϕ(u⁻¹(x))

|Ju(u⁻¹(x))|dx, ϕ∈ D(Ω^′), o`uJu(x) d´esigne le Jacobien deuau pointx.

Exercice 4.13. Montrer que la fonctionnelle f ◦ϕ appartient `a D^′(Ω^′) et que l’application

f 7→f◦ϕ, D^′(Ω)→ D^′(Ω^′), est continue.

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4.3.2 Multiplication par une fonction r´eguli`ere

Soitf ∈ D^′(Ω) eta∈C^∞(Ω). On d´efinitaf ∈ D^′(Ω) par la relation (af, ϕ) = (f, aϕ), ϕ∈ D(Ω).

Exercice 4.14. Montrer queaf ∈ D^′(Ω^′) et que l’application f 7→af, C^∞(Ω)× D^′(Ω)→ D^′(Ω), est continue par rapport `a chaqu’un de ses arguments.

4.3.3 D´erivation

Soitf ∈ D^′(Ω) etα= (α1, . . . , αd) un multi-indice. On d´efinit (∂^αf, ϕ) = (−1)^|α|(f, ∂^αϕ), ϕ∈ D(Ω).

Exercice 4.15. Montrer que∂^αf ∈ D^′(Ω) et que l’application f 7→∂^αf, D^′(Ω)→ D^′(Ω), est continue.

Exemple 4.16. Consid´erons l’´equation des ondes :

Lu:=∂_t²u−a²∂_x²u= 0. (4.1) Sif, g∈C²(R), alors la fonction

u(t, x) =f(x−at) +g(x+at) (4.2) v´erfie l’´equation (4.1) au sens classique. Montrons que sif, g∈C(R), alors (4.2) est une solution de (4.1) au sens des distributions. En effet, soitfn, gn∈C²(R) deux suites telles que

fn→f,gn→g uniform´ement sur tout intervalle compact.

Alors, pour toutϕ∈ D(R²), Z

R²

fn(x−at)ϕ(t, x)dtdx→ Z

R²

f(x−at)ϕ(t, x)dtdx, Z

R²

gn(x+at)ϕ(t, x)dtdx→ Z

R²

g(x+at)ϕ(t, x)dtdx.

Comme la d´erivarion est continue dansD^′(R²), on voit que la suite des distri- butions

un(t, x) =fn(x−at) +gn(x+at) converge vers (4.2) avec toutes ses d´eriv´ees. En particulier,

0 =Lun→Lu dansD^′(R²), d’o`u on conclut queLu= 0.