S´eance 4 Distributions

(1)

Plan

S´ eance 4 Distributions

P. Laurent Math´ ematiques 2

13 janvier 2006

(2)

Plan

1 Introduction

Quelques probl` emes Un probl` eme de m´ ecanique

La m´ ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´ efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl` eme de m´ ecanique

Conclusion

(3)

Introduction Les distributions surR Conclusion

Quelques problèmes Un problème de mécanique La méthode des charges ponctuelles

Distributions

1 Introduction

Quelques probl` emes Un probl` eme de m´ ecanique

La m´ ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´ efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl` eme de m´ ecanique

Conclusion

(4)

Qu’est-ce qu’une charge concentr´ ee ?

Densit´ e et charges ponctuelles

les forces, les charges, les masses... sont d´ efinies par Des densit´ es d´ efinies par des fonctions sur R ³ . Des densit´ es surfaciques, lin´ e¨ıques....

Des forces, charges, masses “ponctuelles”.

Le probl` eme

Comment repr´ esenter math´ ematiquement ces notions ?

(5)

Qu’est-ce qu’une charge concentr´ ee ?

Densit´ e et charges ponctuelles

les forces, les charges, les masses... sont d´ efinies par Des densit´ es d´ efinies par des fonctions sur R ³ . Des densit´ es surfaciques, lin´ e¨ıques....

Des forces, charges, masses “ponctuelles”.

Le probl` eme

Comment repr´ esenter math´ ematiquement ces notions ?

(6)

Exemple en ´ electrostatique

D´ etermination du potentiel Densit´ e de charges ρ dans R ³ .

−∆U = ρ 0

Solution

Potentiel dˆ u ` a une charge ponctuelle q au point y U y (x) = 1

4π ₀ q kx − y k ₂ 7→ Potentiel dˆ u ` a une charge r´ epartie ρ

U (x) = 1 4π ₀

Z

R

³

ρ(y )

kx − yk ₂ dV

Comment g´ en´ eraliser cette m´

P. Laurent Math´ematiques 2

ethode ?

S´eance 4 Distributions

(7)

Exemple en ´ electrostatique

D´ etermination du potentiel Densit´ e de charges ρ dans R ³ .

−∆U = ρ 0

Solution

Potentiel dˆ u ` a une charge ponctuelle q au point y U y (x) = 1

4π ₀ q kx − y k ₂ 7→ Potentiel dˆ u ` a une charge r´ epartie ρ

U (x) = 1 4π ₀

Z

R

³

ρ(y )

kx − yk ₂ dV

(8)

Corde tendue charg´ ee

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−3

−2

−1 0 1 2 3

(9)

Corde tendue charg´ ee

Tension k

Charge r´ epartie f (x) Fl` eche u (x)

Equation d’´ equilibre

−k d ² u

dx ² = f , u(0) = u(L) = 0 ou formulation faible

∀v ∈ V ₀ Z L

0 k du dx

dv dx dx =

Z L

0 fv dx

ou encore si W 0 = v ∈ C ² ([0, 1]) v(0) = v(L) = v ⁰ (0) = v ⁰ (L) = 0

∀v ∈ W 0

Z L

u(−k d ² v dx ² ) dx =

Z L

fv dx

(10)

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

F=1 Une charge ponctuelle

(11)

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

On met une charge ponctuelle 1 au point x = t Quelle est la fl` eche u _t (x ) ?

Comment s’´ ecrit l’´ equation d’´ equilibre, i.e. diff´ erentielle ? Avec la formulation faible on obtient

∀v ∈ W 0

Z L

0 u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v (t)

(12)

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

Mais : comment calculer la fl` eche u t (x) ?

(13)

Une solution par des principes m´ ecaniques.

−1 −0.8 −0.6−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N charges ponctuelles

(14)

Une solution par des principes m´ ecaniques.

1 charge ponctuelle 1 au point x = t → u t (x) N charges ponc- tuelles F _i au point t _i → u _h (x)

calcul de la fl` eche u _h (x) Principe de superposition

u h (x) = X

i

F i u t

i

(x) Formulation faible

∀v ∈ W 0

Z L

0 u h (−k d ² v

dx ² ) dx = X

i

F i v(t i )

(15)

Une solution par des principes m´ ecaniques.

(16)

Corde tendue, charge r´ epartie

Charge r´ epartie f (x) Fl` eche u ₍ x)

On passe ` a la limite

Une charge r´ epartie f (x) est la limite de charges ponctuelles

F i = hf (t i ).

(17)

Corde tendue, charge r´ epartie

Charge r´ epartie f (x) Fl` eche u ₍ x)

On passe ` a la limite

Une charge r´ epartie f (x) est la limite de charges ponctuelles

F i = hf (t i ).

(18)

Corde tendue, charge r´ epartie

Charge r´ epartie f (x) Fl` eche u ₍ x)

On passe ` a la limite

Une charge r´ epartie f (x) est la limite de charges ponctuelles F i = hf (t i ).

Solution

u(x) = lim

h→0

X

i

hf (t i )u t

i

(x) = Z L

0 u t (x)f (t) dt On pose K (x, t) = u t (x)

u(x) = Z L

0 K (x, t)f (t) dt

(19)

Corde tendue, charge r´ epartie

Charge r´ epartie f (x) Fl` eche u ₍ x)

On passe ` a la limite

Une charge r´ epartie f (x) est la limite de charges ponctuelles F i = hf (t i ).

Probl` eme

Comment ´ etendre cette m´ ethode ` a des ´ equations “abstraites” ?.

(20)

D´efinition

Distributions et fonctions

Distributions

1 Introduction

Quelques probl` emes Un probl` eme de m´ ecanique

La m´ ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´ efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl` eme de m´ ecanique

Conclusion

(21)

D´efinition

D´ efinitions pr´ eliminaires

D´ efinition (Fonctions “tests”) Soit Ω un intervalle ouvert de R .

D(Ω) = {φ ∈ C ^∞ (Ω) / ∃a, b ∈ Ω supp(φ) ⊂ [a, b]}

D(T) = {φ ∈ C ^∞ (R) / φ(x ) est p´ eriodique de p´ eriode 2π}

D´ efinition (Convergence des fonctions “tests”)

lim n φ _n = φ ⇔ ∃a, b ∈ Ω / supp(φ _n ) ⊂ [a, b] et ∀k φ ^(k) _n → φ ^(k) φ ^(k) _n est la d´ eriv´ ee d’ordre k de φ _n

La convergence est prise au sens de la convergence uniforme.

(22)

D´efinition

D´ efinitions pr´ eliminaires

D´ efinition (Fonctions “tests”) Soit Ω un intervalle ouvert de R .

D(Ω) = {φ ∈ C ^∞ (Ω) / ∃a, b ∈ Ω supp(φ) ⊂ [a, b]}

D(T) = {φ ∈ C ^∞ (R) / φ(x ) est p´ eriodique de p´ eriode 2π}

D´ efinition (Convergence des fonctions “tests”)

lim n φ _n = φ ⇔ ∃a, b ∈ Ω / supp(φ _n ) ⊂ [a, b] et ∀k φ ^(k) _n → φ ^(k) φ ^(k) _n est la d´ eriv´ ee d’ordre k de φ _n

La convergence est prise au sens de la convergence uniforme.

(23)

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´ efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions

p´ eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´ eaires continues

sur D(Ω) (resp. D(T )) .

(24)

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´ efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´ eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´ eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

1) Une fonction continue f (x) ∈ C ( R ) d´ efinit de mani` ere unique une distribution

< T _f , φ >=

Z +∞

−∞

f (x)φ(x) dx

(25)

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´ efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´ eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´ eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

2) Une fonction localement int´ egrable (au sens de Lebesgue) d´ efinit

de mˆ eme une distribution mais deux fonctions qui sont ´ egales

presque partout d´ efinissent la mˆ eme distribution.

(26)

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´ efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´ eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´ eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

3) On appelle distribution de Dirac au point a la distribution

< δ a , φ >= φ(a)

Si φ repr´ esente un d´ eplacement,< δ a , φ >= φ(a) est le travail d’une

force ponctuelle d’intensit´ e 1 plac´ ee au point a.

(27)

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´ efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´ eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´ eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

Interpr´ etation physique

A une force appliqu´ ee ` a un syst` eme est associ´ e :

− Une fonction, i.e. sa densit´ e f (x), pas toujours bien d´ efinie.

− Une “mesure” : E → R

E f (x)dx.

− Une forme lin´ eaire, φ → R L

0 f (x)φ(x)dx

i.e. le travail de cette force pour un d´ eplacement φ(x).

(28)

D´efinition

Extension aux distributions des propri´ et´ es des fonctions

Deux ´ etapes

1

Traduction ` a l’aide de la forme lin´ eaire R

R f φ dx.

Exemple : f ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) R

R f φ dx ≥ 0

2

Extension aux distributions.

Exemple : T ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) hT , φi dx ≥ 0

(29)

D´efinition

Extension aux distributions des propri´ et´ es des fonctions

Deux ´ etapes

1

Traduction ` a l’aide de la forme lin´ eaire R

R f φ dx.

Exemple : f ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) R

R f φ dx ≥ 0

2

Extension aux distributions.

Exemple : T ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) hT , φi dx ≥ 0

(30)

D´efinition

Un outil : moyenne concentr´ ee

Soit ψ n une suite de fonctions C ^∞ , positives, nulles en dehors de l’intervalle [− _n ¹ , ¹ _n ] et d’int´ egrale 1.

Si f (x) ∈ C (R) on a

f (0) = lim

n

Z +∞

−∞

f (x)ψ _n (x) dx

(31)

D´efinition

Valeur d’une fonction en un point

Comment retrouver la valeur ? Si f (x) ∈ C ( R ) on a

f (a) = lim

n

Z +∞

−∞

f (x)ψ n (x − a) dx Traduction :

T _f (a) = lim

n hT _f , ψ _n (x − a)i Attention

1) Cette valeur n’existe pas toujours.

2) Les valeurs ne d´ efinissent pas toujours la distribution.

(32)

D´efinition

Valeur d’une fonction en un point

D´ efinition (Valeur en un point) Extension :

On d´ efinit la valeur en “a” d’une distribution par la formule T (a) = lim

n < T , ψ n (x − a) >

Attention

1) Cette valeur n’existe pas toujours.

2) Les valeurs ne d´ efinissent pas toujours la distribution.

(33)

D´efinition

Valeur d’une fonction en un point

D´ efinition (Valeur en un point) Extension :

On d´ efinit la valeur en “a” d’une distribution par la formule T (a) = lim

n < T , ψ n (x − a) >

Attention

1) Cette valeur n’existe pas toujours.

2) Les valeurs ne d´ efinissent pas toujours la distribution.

(34)

D´efinition

D´ eriv´ ee des distributions

Comment retrouver la d´ eriv´ ee ? Si f ∈ C ¹ ( R ) et φ ∈ D( R )

Z

R

f ⁰ φ dx = − Z

R

f φ ⁰ dx Traduction :

∀φ ∈ D(R) < T f

⁰

, φ >= − < T f , φ ⁰ >

D´ efinition (D´ eriv´ ee d’une distribution) Extension :

On d´ efinit la d´ eriv´ ee d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x) >

(35)

D´efinition

D´ eriv´ ee des distributions

Comment retrouver la d´ eriv´ ee ? Si f ∈ C ¹ ( R ) et φ ∈ D( R )

Z

R

f ⁰ φ dx = − Z

R

f φ ⁰ dx Traduction :

∀φ ∈ D(R) < T f

⁰

, φ >= − < T f , φ ⁰ >

D´ efinition (D´ eriv´ ee d’une distribution) Extension :

On d´ efinit la d´ eriv´ ee d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x) >

(36)

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

D´ efinition (D´ eriv´ ee d’une distribution)

On d´ efinit la d´ eriv´ ee d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D(R) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x) >

(37)

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

D´ efinition (D´ eriv´ ee d’une distribution)

On d´ efinit la d´ eriv´ ee d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D(R) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x) >

Cas T = T _f

Si f (x) est continue et C ¹ par morceaux (T _f ) ⁰ = T _f

⁰

o` u f ⁰ est une fonction ´ egale ` a la d´ eriv´ ee quand elle est d´ efinie et

quelconque ailleurs.

(38)

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

D´ efinition (D´ eriv´ ee d’une distribution)

On d´ efinit la d´ eriv´ ee d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D(R) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x) >

Cas T = T _H , H fonction d’Heaviside i.e. H(x) = 0 si x < 0, H(x) = 1 si x ≥ 1

(T _H ) ⁰ = δ 0

(39)

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

D´ efinition (D´ eriv´ ee d’une distribution)

On d´ efinit la d´ eriv´ ee d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D(R) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x) >

Cas T = T _f

Plus g´ en´ eralement, si f (x) est une fonction C ¹ sauf aux points x i

o` u la fonction admet une limite ` a gauche et ` a droite (T _f ) ⁰ = T _f

⁰

+ X

i

(f (x _i ⁺ ) − f (x _i ⁻ ))δ _x

_i

(40)

D´efinition

Retour sur le probl` eme de m´ ecanique

Formulation faible

∀v ∈ W 0

Z L

0 u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v (t) Donc en particulier

∀φ ∈ D([ 0 , 1 ]) Z L

0 −ku _t ( d ² φ

dx ² ) dx = φ(t) Traduction :

−k(T _u ) ⁰⁰ = δ t

D´ efinition

Fonction de Green On appelle une fonction de Green.la solution

d’un probl` eme diff´ erentiel avec pour second membre une

distribution de Dirac

(41)

D´efinition

Retour sur le probl` eme de m´ ecanique

Formulation faible

∀v ∈ W 0

Z L

0 u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v (t) Donc en particulier

∀φ ∈ D([ 0 , 1 ]) Z L

0 −ku _t ( d ² φ

dx ² ) dx = φ(t) Traduction :

−k(T _u ) ⁰⁰ = δ t

D´ efinition

Fonction de Green On appelle une fonction de Green.la solution

d’un probl` eme diff´ erentiel avec pour second membre une

distribution de Dirac

(42)

D´efinition

Un exercice

R´ esoudre T ⁰ = 0 ?

i.e. trouver les distributions T telle que T ⁰ = 0 Traduction :

∀φ ∈ D( R ) Z

R

hT , φ ⁰ i = 0 Soit ψ ∈ D( R ). ∃ ? φ ∈ D( R ) telle que ψ = φ ⁰ ? Solution

∃φ ∈ D( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ Z

R

ψ(x) dx = 0

∃φ ∈ D( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ hT ₁ , ψi = 0 donc

∀ψ ∈ D( R ) / hT ₁ , ψi = 0 ⇒ hT , ψi = 0

⇒ ∃λ ∈ R /

P. Laurent Math´

T = λT 1

ematiques 2

= T λ

(43)

D´efinition

Un exercice

R´ esoudre T ⁰ = 0 ?

i.e. trouver les distributions T telle que T ⁰ = 0 Traduction :

∀φ ∈ D( R ) Z

R

hT , φ ⁰ i = 0 Soit ψ ∈ D( R ). ∃ ? φ ∈ D( R ) telle que ψ = φ ⁰ ? Solution

∃φ ∈ D( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ Z

R

ψ(x) dx = 0

∃φ ∈ D( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ hT ₁ , ψi = 0 donc

∀ψ ∈ D( R ) / hT ₁ , ψi = 0 ⇒ hT , ψi = 0

(44)

D´efinition

Application aux fonctions de Green

Comment trouver une fonction de Green ? i.e. comment trouver une fonction u(x) telle que

−(T _u ) ⁰⁰ = δ _t Traduction :

∀φ ∈ D ( R ) Z

R

u(x)φ ⁰⁰ (x) dx = φ(t) Solution

u est une fonction continue d´ erivable sauf en t (donc (T _u ) ⁰ = T _u

⁰

)

∃ u ⁰ (t ⁻ ) et u ⁰ (t ⁺ )

−(T _u ) ⁰⁰ = −T _u

⁰⁰

− (u ⁰ (t ⁺ ) − u ⁰ (t ⁻ ))δ t

donc u ⁰⁰ (x ) = 0 si

P. Laurent Math´

x 6= t

ematiques 2

et (u ⁰ (t ⁺ ) −

u ⁰ (t ⁻ )) = −1

(45)

D´efinition

Application aux fonctions de Green

Comment trouver une fonction de Green ? i.e. comment trouver une fonction u(x) telle que

−(T _u ) ⁰⁰ = δ _t Traduction :

∀φ ∈ D ( R ) Z

R

u(x)φ ⁰⁰ (x) dx = φ(t) Solution

u est une fonction continue d´ erivable sauf en t (donc (T _u ) ⁰ = T _u

⁰

)

∃ u ⁰ (t ⁻ ) et u ⁰ (t ⁺ )

−(T _u ) ⁰⁰ = −T _u

⁰⁰

− (u ⁰ (t ⁺ ) − u ⁰ (t ⁻ ))δ t

(46)

Retour sur un probl`eme de m´ecanique Conclusion

Distributions

1 Introduction

Quelques probl` emes Un probl` eme de m´ ecanique

La m´ ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´ efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl` eme de m´ ecanique

Conclusion

(47)

Les distributions existent-elles ?

Les distributions de Dirac existent, je les ai rencontr´ ees.

(48)

Corde tendue charg´ ee

Tension k Fl` eche u (x)

Charge r´ epartie f (x)

−k d ² u

dx ² = f + cond. lim.

ou pb. d’optimisation min v

1 2

Z _L

0 k dv dx

2 − fv dx

(49)

Corde tendue charg´ ee

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−3

−2

−1 0 1 2 3

(50)

Corde tendue charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. : Position

P. Laurent Math´ematiques 2 S´eance 4 Distributions

(51)

Corde tendue charg´ ee avec appui

Tension k

Fl` eche u (x), appui u(x ) ≤ c(x) Charge r´ epartie f (x)

min v ≤c

1 2

Z L

0 k dv dx

2 − fv dx Multiplicateurs de Lagrange = R´ eaction d’appui :

λ(x) = −k d ² u

dx ² − f

(52)

Corde tendue charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−10

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10

Fig. : R´ eactions ou multiplicateurs

(53)

Poutre encastr´ ee charg´ ee

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

(54)

Poutre encastr´ ee charg´ ee

Module de Young E, Moment d’inertie I Fl` eche u (x)

Charge r´ epartie f (x) EI d ⁴ u

dx ⁴ = f + cond. lim.

ou pb. d’optimisation min v

1 2

Z L

0 k d ² v dx ²

2 − fv dx

(55)

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

(56)

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

Module de Young E, Moment d’inertie I Fl` eche u (x)

Charge r´ epartie f (x), appui u(x) ≤ c(x) min v ≤c

1 2

Z L

0 EI d ² v dx ²

2 − fv dx

(57)

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−200

−150

−100

−50 0 50 100 150 200

(58)

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2000

−1500

−1000

−500 0 500 1000 1500 2000

Fig. : R´ eactions ou multiplicateurs

(59)

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

Conclusion

La densit´ e de force de r´ eaction est la somme d’une fonction et de

deux distributions de Dirac.

(60)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension ` a R ⁿ

(61)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension ` a R ⁿ

(62)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension ` a R ⁿ

(63)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension ` a R ⁿ

(64)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension ` a R ⁿ

(65)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension ` a R ⁿ

(66)

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´ energ´ etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

S´eance 4 Distributions