satisfait les conditions suivantes qui d´efinissent une norme : 1

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2018-2019 Math IV - Analyse

Feuille d’exercices n^o2 Espaces vectoriels norm´es

I. Normes

Exercice 1. (Normes dansRⁿ) Dans cet exercice on fixen∈N^∗. (A) Montrer que la fonction

k k2 : Rⁿ −→ R+

x= (x₁, . . . , x_n) 7−→ pPn i=1x²_i . satisfait les conditions suivantes qui d´efinissent une norme :

1. pour toutx∈Rⁿ kxk2≥0, etkxk2= 0 si et seulement six= 0 ; 2. pour toutx∈Rⁿ et toutλ∈R, kλxk2=|λ|kxk2;

3. pour tousx, y∈Rⁿ,kx+yk2 ≤ kxk2+kyk2. (Pour v´erifier quek k2 satisfait l’in´egalit´e triangulaire, vous pouvez vous servir sans preuve del’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :

pour tous (a1, . . . , an), (b1, . . . , bn)∈Rⁿ ,

n

X

i=1

aibi

≤ v u u t

n

X

i=1

a²_i v u u t

n

X

i=1

b²_i .)

(B)Montrer que les applications suivantes d´efinies pour toutx= (x1, . . . , xn)∈Rⁿ par : kxk∞= max

i=1,...,n|xi|, kxk1=

n

X

i=1

|xi|,

d´efinissent des normes. DessinerB((0,0),1) dansR², par rapport `akxk_∞et kxk₁. (C)Montrer que la fonction

k k : R −→ R x 7−→ kxk

d´efinit une norme surRsi et seulement si elle est de la formekxk=α|x|avecα∈R^∗+ fix´e.

Exercice 2. On travaille surRⁿ,n∈N^∗.

1. Justifier (sans calcul) que les normesk · k1,k · k2et k · k_∞sont ´equivalentes deux `a deux.

2. Trouver des constantsα,β etγpositives telles que pour toutu∈Rⁿ :

kuk₁≤αkuk₂≤βkuk_∞≤γkuk₁. (1)

En d´eduire directement de (1) que les normesk · k1,k · k2 etk · k∞ sont ´equivalentes deux `a deux.

3. Soientk k_pla normepavecp≥1 qui est d´efinie par||x||_p=p^p

|x₁|^p+· · ·+|x_n|^petk k_∞la norme∞qui est d´efinie par||x||_∞= max(|x1|, . . . ,|xn|) pour toutx= (x1, ..., xn)∈Rⁿ. Montrer que lim_p→∞||x||p=||x||_∞.

Exercice 3. On consid`ere les applications suivantes :

N1 : R² −→ R

(x1, x2) 7−→ |x1+x2|+|x1| , N2 : R² −→ R

(x1, x2) 7−→ max(|x1+ 3x2|,|x1−x2|) . 1

1. V´erifier que chacune de ces applications d´efinit une norme.

2. Tracer la boule unit´e ferm´ee autour de l’origine par rapport `aN1,et par rapport `a N2.

Exercice 4. Les applicationsN suivantes sont-elles des normes ? 1. N:C(R,R)−→R, f 7−→sup

x∈R

|f(x)|.

2. N:C([0; 1],R)−→R,f 7−→ sup

x∈[0;1]

|f(x)|².

3. N:C([0; 1],R)−→R,f 7−→ sup

x∈[^0;12]

|f(x)|.

4. N:C([0; 1],R)−→R,f 7−→ sup

x∈[0;1]

|f(x)|.

5. N :C([0; 2π],R)−→R,f 7−→

Z 2π

0

|f(t) sint|dt.

6. N :Cb(R,R)−→R,f 7−→sup

x∈R

|f(x)|

7. N :C([0; 1],R)−→R,f 7−→

Z 1

0

f(t)dt . 8. N :R²−→R, (x, y)7−→ |x|+ 2|y|.

9. N :R²−→R, (x, y)7−→p

|x|+p

|y|² .

o`uCb(R,R) d´esigne l’espace vectoriel des fonctions continues born´ees deRdansR.

Exercice 5. Pour toutf ∈C([0; 1],R), on d´efinit

kfk1= Z 1

0

|f(t)|dt, kfk2= s

Z 1

0

(f(t))²dt, et kfk_∞= sup

t∈[0;1]

|f(t)|.

1. En adaptant un peu l’exercice pr´ec´edent, on sait quek k1et k k∞ sont des normes surC([0; 1],R). Montrer quek k2d´efinit aussi une norme surC([0; 1],R).

2. Montrer que pour toutf ∈C([0; 1],R), on akfk1 ≤ kfk2 ≤ kfk∞, mais que ces trois normes ne sont pas deux `a deux ´equivalentes.

Indication : on pourra consid´erer les fonctionsfn :x7−→xⁿ, pour toutn∈N.

Exercice 6. Soitn∈N^∗. On d´efinit surM_n(R) l’applicationN_∞parN_∞(A) = max

1≤i,j≤n|a_i,j|, pour toute matrice A= (ai,j)_1≤i,j≤n∈ Mn(R).

1. Montrer queN_∞d´efinit une norme surM_n(R) et que pour tousA, B∈ M_n(R),N_∞(AB)≤nN_∞(A)N_∞(B).

2. SoitN une norme quelconque surMn(R). Montrer qu’il existec >0 tel que :

∀A, B∈ Mn(R), N(AB)≤cN(A)N(B).

II. Suites d’´el´ements d’un espace vectoriel norm´e

Exercice 7. SoientEun espace vectoriel norm´e et (xn)_n∈Nune suite convergente deE. Montrer que l’ensemble desx_n est born´e.

Exercice 8. On se place dans l’espace vectorielE=C([0; 1],R) et on consid`ereN d´efinie par : N(f) =

Z 1

0

e^x|f(x)|dxpour toutf ∈E.

2

1. Montrer queN est une norme surE.

2. On consid`ere la suite de fonctions (f_n)_n∈N? telle quef_n(x) =

(1−nx six∈ 0;_n¹

0 six∈₁

n; 1. (a) Pour unn∈N^?, tracer la courbe de fn.

(b) Montrer que (f_n)_n∈N? converge vers la fonction nulle dans (E, N).

(c) Montrer que (fn)_n∈N^? ne converge pas vers la fonction nulle dans (E,k.k_∞).

(d) Les normesN et k.k∞ sont-elles ´equivalentes ?

Exercice 9. On noteE=R[X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels et on consid`ere une suite de r´eels (α_n)_n∈N. On d´efinit deux applicationsN etN⁰ surE par :

∀P =

n

X

k=0

a_kX^k∈E, N(P) =

n

X

k=0

α_k|a_k| etN⁰(P) = max

k∈J0;nK

|a_k|.

1. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur la suite (α_n)_n pour queN d´efinisse une norme sur E.

On admet queN⁰ d´efinit une norme surE.

2. Dans cette question, on suppose que la suite (αn)n est une suite de r´eels strictement positifs convergeant vers 0. Pour toutn∈N, on posePn=Xⁿ. ´Etudier la convergence de la suite (Pn)_n∈Npour N.

3. Pour toutn∈N, on poseQn= 1 +X+· · ·+Xⁿ. ´Etudier la convergence de la suite (Qn)_n∈N pourN⁰.

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