Chapitre III : MATRICES ET OPERATIONS

Chapitre III : MATRICES ET OPERATIONS

I- Notion de matrice

Définition 1 : et désignent deux entiers naturels non nuls.

On appelle matrice de taille (ou format) (, ) tout tableau de nombres réels à lignes et colonnes.

Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice et sont notés où désigne le numéro de la ligne et celui de la colonne.

Notation générale : =

…

…

⋮ ⋮

⋱ ⋮

…

⎭⎪⎬

⎪⎫

! ""#$

lignes

Exemple 1 : + = ,−1 0

5 −3 2,44 : on a donc = −1 = 0 ₅ = = 5 = −3 ₅ = 2,4

Définition 2 :

Lorsque = 1, on dit que est une matrice colonne.

Lorsque = 1, on dit que est une matrice ligne.

Lorsque = , on dit que est une matrice carrée d’ordre . Dans ce cas, les coefficients s’appellent les coefficients de la diagonale ou coefficients diagonaux.

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux.

La matrice identité d’ordre est la matrice diagonale d’ordre dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1. On la note 6.

La matrice nulle de format (, ) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note 0_,.

Exemple 2 : 1) 8−13 9 et : 5

−0; sont des matrices colonne.

2) (0 5 −1) et (−2 1 5 7) sont des matrices ligne.

3) :

5 −2 0

5 1 0

−2 −3 −1

; est une matrice carrée d’ordre 3.

4) 6 = 81 00 19 et 6₅ = =1 0 0 0 1 0 0 0 1>

5) 0_,5 = 80 0 00 0 09 et 0_?, = : 0 00 0 0 00 0

;

Définition 3 : Dire que deux matrices sont égales signifie qu’elles ont le même format et que les nombres qui occupent la même position sont égaux.

Autrement dit : deux matrices A et B de format (, ) sont égales lorsque, pour tous ∈ {1; 2; … ; } et ∈ {1; 2; … ; }, on a = D .

Exemple 3 : On donne les matrices + et E suivantes : + = = 2D

D 9

7 4> et E = =3 − 2 4 4 2 + 5 7 + D>

Déterminer les valeurs de et D pour que les matrices + et E soient égales.

Définition 4 : Une matrice carrée d’ordre est symétrique lorsque, pour tous ∈ {1; 2; … ; } et ∈ {1; 2; … ; }, on a = .

Exemple 4 :

La matrice = 3 −2 0

−2 1 0,5

0 0,5 5 > est une matrice symétrique.

II- Opérations sur les matrices

1) Addition et soustraction de deux matrices

Définition 5 : Soient + et E deux matrices de même taille. La somme (respectivement la différence) des matrices + et E, notée + + E (respectivement + − E) est la matrice obtenue en additionnant

(soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

Exemple 5 : Soit + = = 1 1 −1

−2 4 0

3 0 −1> et E = = 3 −1 1

−2 1 −3 1 −1 1 >.

Alors + + E = = 4 0 0

−4 5 −3

4 −1 0 > et + − E = =−2 2 −2 0 3 3 2 1 −2>

2) Multiplication d’une matrice par un nombre réel

Définition 6 : Soient + une matrice et H un nombre réel. Le produit de la matrice + par le nombre réel H est la matrice notée H+ obtenue en multipliant chaque coefficient de + par H.

Exemple 6 : Soit + = = 1 −1 −1

3 4 1

−1 2 −5> et E = = 4 −6 10

−2 2 −2 18 −6 12>.

Alors 2+ = = 2 −2 −2

6 8 2

−2 4 −10> et −E = =−2 3 −5 1 −1 1

−9 3 −6>

Remarque 1 : Par convention, le réel H s’écrit à gauche de la matrice +.

3) Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne

Définition 7 : Soient K une matrice ligne de taille (1; ) et L une matrice colonne de taille(; 1). Le produit K × L (dans cet ordre) est le nombre réel défini par :

K × L = (N N … N) × O O O⋮

= N× O+ N× O+ ⋯ + N× O= Q N_R× O_R

RS

Exemple 7 : Soit K = (−3 2 −1) et L = =−2 53 >

Alors KL = (−3 2 −1) =−2

53 > = −3 × (−2) + 2 × 5 + (−1) × 3 = 13

4) Multiplication de deux matrices carrées

Définition 8 : Soient + une matrice de taille (T; ) et E une matrice de taille (; ). Le produit de la matrice + par la matrice E, noté +E, est la matrice L de taille (T; ) dont l’élément O est le produit de la ligne de + par la colonne de E.

Autrement dit : pour tous 1 ≤ ≤ T et 1 ≤ ≤ , O = Q _R× D_R

RS

Exemple 8 : Soit + = = 1 1 −1

−1 0 2

−2 −1 0 > et E = =5 0 1 6 1 −3 0 0 1 >.

=5 0 1 6 1 −3 0 0 1 >

= 1 1 −1

−1 0 2

−2 −1 0 > = 11 1 −3

−5 0 1

−16 −1 1 >

5) Propriétés du calcul matriciel

Soient A, B et C trois matrices carrées de même taille.

Soient H et H’ deux réels.

a) Addition de matrices Propriété 1 :

Commutativité : + + E = E + +

Associativité : (+ + E) + L = + + (E + L) = + + E + L

Alors +E = = 11 1 −3

−5 0 1

−16 −1 1 >

b) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Propriété 2 :

(H + H′)+ = H+ + H′+ H(+ + E) = H+ + HE (HH′)+ = H(H′+)

(H+)E = H(+E) = +(HE)

c) Multiplication de matrices Propriété 3 :

Associativité : (+ × E) × L = + × (E × L) = + × E × L = +EL

Distributivité : + × (E + L) = + × E + + × L et (+ + E) × L = + × L + E × L

Remarque 2 : La multiplication des matrices n’est pas commutative : Exemple 9 : + = 81 00 09 et E = 80 01 09

+ × E = 80 00 09 et E × + = 80 01 09

Remarque 3 : Dans le cas particulier où + × E = E × + on dit que les matrices + et E commutent.

d) Propriétés de la matrice identité Propriété 4 :

Pour toute matrice carrée + d’ordre , on a : + × 6 = 6 × + = +

6) Puissances des matrices carrées

Définition 9 : Soit + une matrice carrée d’ordre n et k un entier naturel non nul.

On note : +²= + × + +⁵ = + × + × +

et plus généralement +^R = + × + × … × +

R _ `$

Par convention : Pour toute matrice carrée de taille , on a +^a = 6. Exemple 10 :

Soit + = =1 1 1 1 1 1 1 1 1>

Calculer +, +⁵, +^?. Que peut-on conjecturer pour +^R pour tout entier naturel H non nul ?

III- Matrice inverse d’une matrice carrée

Définition 10 : Soit + une matrice carrée de taille .

On dit que + est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée E de taille telle que : + × E = E × + = 6.

Remarque 4 :

1) La matrice E ainsi définie est unique. On dit alors que la matrice E est la matrice inverse de + et on note : E = +^b.

2) Il suffit en fait de montrer que + × E = 6 ou E × + = 6 pour prouver que + est inversible de matrice inverse E (résultat admis).

3) Si l’une des conditions précédentes est vérifiée, on dit que + et E sont inversibles et inverses l’une de l’autre.

4) Tout nombre non nul admet un inverse noté ^b mais toute matrice non nulle n’admet pas forcément une matrice inverse…

Exemple 11 :

1) 6× 6 = 6 : donc 6 est inversible et égale à son inverse.

2) Pour + = 81 11 29 et E = 8 2 −1−1 1 9 : + × E = 81 11 29 8 2 −1

−1 1 9 = 82 − 1 −1 + 1

2 − 2 −1 + 29 = 81 0

0 19 = 6donc + est inversible et E = +^b.

De même E est inversible et + = E^b.

Propriété 5 : Soit + une matrice carrée de taille 2 : + = 8 DO c9 1) Si c − DO ≠ 0, alors + est inversible et +^b= _efbgh 8 c −D−O 9. 2) Si c − DO = 0, alors + n’est pas inversible.

Remarque 5 : Le nombre réel c − DO est appelé déterminant de la matrice et noté det().

Démonstration :

1) Supposons que c − DO ≠ 0 :

efbgh8 c −D−O 9 × 8 D

O c9 = ^efbgh 8 c − DO cD − Dc

−O + O −DO + c9 = ^efbgh 8c − DO 0

0 c − DO9 = 6

De même

efbgh8 DO c9 × 8 c −D

−O 9 = 6 Ainsi la matrice 8 DO c9 est inversible et

efbgh8 c −D−O 9 est sa matrice inverse.

2) On suppose que c − DO = 0 et que + est inversible (par l’absurde) et notons E = 8 c −D−O 9. Il est clair que E = +^b× + × E = +^b× 8 DO c9 × 8 c −D

−O 9 = +^b× 8c − DO 0

0 c − DO9 = i Ainsi = D = O = c = 0 et donc + = i ce qui est impossible car + est inversible …

Propriété 6 : Soient +, , j des matrices carrées de taille et i la matrice nulle de taille . On suppose de plus que + est inversible :

1) Si + × = i, alors = i 2) Si + × = + × j, alors = j 3) Si + × = j, alors = +^b× j

Démonstration :

1) + × = i ⇒ +^b× + × = +^b× i ⇒ 6× = i ⇒ = i

2) + × = + × j ⇒ + × − + × j = i ⇒ +( − j) = i ⇒ − j = i ⇒ = j 3) + × = j ⇒ +^b× + × = +^b× j ⇒ 6× = +^b× j ⇒ = +^b× j

IV- Application aux systèmes linéaires

Exemple 12 :

On considère le système (S) suivant : l2m − 3n = 15m − 7n = 3 On pose + = 82 −35 −79, o = 8m

n9 et p = 8139 La matrice colonne +o est égale à : q2m − 3n5m − 7nr

Le système (S) est donc équivalent à l’égalité matricielle : +o = p Propriété 7 : Soit +o = p l’écriture matricielle d’un système linéaire.

Si la matrice carrée + est inversible, alors le système admet une unique solution égale à la matrice colonne +^b× p.

Démonstration : Voir 3) de la propriété 6.

Propriété 8 (admise) : Soit +o = p l’écriture matricielle d’un système linéaire.

Si la matrice carrée + n’est pas inversible, alors le système admet une infinité de solutions ou aucune solution.

Résolution de l’exemple 12 :

Tout d’abord, la matrice + est inversible et +^b= 8−7 3−5 29 l2m − 3n = 15m − 7n = 3 ⇔ +o = p ⇔ o = +^b× p = 8−7 3−5 29 81

39 = 82 19 Ce système a donc pour solution (m; n) = (2; 1)