Interrogation de Novembre 2006

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM360 B

Vendredi 17 novembre 2006

Topologie et Calcul Diff´ erentiel Interrogation

Dur´ee 2 heures – sans document

I 1) Soit f la fonction x 7→ 1

1 +x² de R dans R⁺. Montrer que f est continue sur R, mais n’atteint pas sa borne inf´erieure.

Soient E un espace m´etrique complet non vide et f une fonction continue de E dans R⁺. On veut montrer que, pour tout ε >0, il existe un pointx^∗ deE o`uf atteint “presque”

sa borne inf´erieure, dans le sens quef(x^∗)<inf_y∈Ef(y) +ε et que, pour tout x de E on a f(x)>f(x^∗)−εd(x, x^∗) .

2) Montrer que pour tout point x de E, la fonction y 7→ f(y) +εd(x, y) est positive, et que µ(x) := inf_y∈Ef(y) +εd(x, y) v´erifie µ(x)6f(x).

3) Soitx0 ∈E tel quef(x0)<inf_y∈Ef(y) +ε. Montrer qu’on peut d´efinir par r´ecurrence une suite (x_n) de points de E telle que, pour tout n, on ait

f(x_n+1)6f(x_n) et f(x_n+1) +εd(x_n+1, x_n)6µ(x_n) + 2⁻ⁿ⁻¹

Montrer qu’alors on a d(xn+1, xn) 6 1 ε

≥2⁻ⁿ⁻¹ + f(xn) − f(xn+1)¥

et en d´eduire par r´ecurrence surp que, pour n < p, on a

d(x_n, x_p)6 1 ε

≥2⁻ⁿ−2^−p +f(x_n)−f(x_p)¥

4) Montrer que la suite (f(x_n)) est d´ecroissante et converge dans R⁺ vers un nombre α.

En d´eduire que (x_n) est une suite de Cauchy, et converge dansE vers un pointx^∗. Montrer que, pour tout x de E et tout entier n, on a

f(xn+1) +εd(xn+1, xn)−2⁻ⁿ⁻¹ 6µ(xn)6f(x) +εd(x, xn) et en d´eduire que f(x^∗)6f(x) +εd(x, x^∗). Conclure.

II

1) SoientX un espace topologique et (X_n) une suite de parties connexes deX. On suppose que, pour tout ouvert non vide U de X, il existe un entier ntel que U ∩X_m 6=∅ pour tout m>n.

On veut montrer que X est connexe. Supposant que X est r´eunion de deux ouverts disjoints non videsU etV, montrer qu’il existe un entierntel queU∩X_n 6=∅etV ∩X_n 6=∅. En d´eduire que U ∩X_n et V∩X_n forment une partition de X_n en deux ouverts non vides.

Conclure.

2) SoitK le compact [0,1]^N. Pour m entier on note X_m l’ensemble X_m={(x_n)_n∈N ∈K :x_m = 1 et ∀p > m x_p = 0}

Montrer que l’application : (x₀, x₁, . . . , x_m−1) 7→ (x₀, x₁, . . . , x_m−1,1,0,0,0, . . .) est un hom´eomorphisme de [0,1]^m sur X_m. En d´eduire que X_m est ferm´e dans K et connexe.

3) Soient U un ouvert non vide de K et α = (a₀, a₁, . . . , a_n, . . .) un point de U. Si α^(m) d´esigne le point (a0, a1, . . . , a_m−1,1,0,0, . . .) de K, montrer que α^(m) appartient `a Xm et que α= lim_m→1α^(m). En d´eduire que X_m∩U 6=∅ pour tout entierm assez grand.

4) D´eduire de ce qui pr´ec`ede queX =S

mX_m est connexe, et qu’il est r´eunion d’une suite de ferm´es relatifs deux-`a-deux disjoints.

5) Montrer que X est localement connexe.